			Multiple Mathematik

Mathematische Darstellbarkeit - offene Fragen

Die Lektüre von Don DeLillo Cosmopolis fürte zur Frage: In welchen Richtungen lassen sich die Fragen der Physik von 1900 und die Entwicklung der auf der Theorie der formalen Sprachen basierenden EDV in den 1950ern neu aufwerfen? Hier einige mögliche Ansatzpunkte.

(1) Der mathematische Differentialkalkül ist fortzuführen. Es genügt nicht, von den "beliebig-kleinen" Epsilon-Umgebungen an den Stellen zu sprechen, wo sich gerade Linien krümmen. Welche Binnenstruktur gibt es hier? Bereits der Differentialkalkül über die komplexen Zahlen hat mit der Funktionentheorie äußerst überraschende Ergebnisse geliefert, die zur Theorie der Elektrodynamik (Maxwell-Gleichungen) und zur Relativitätstheorie führten. Es lohnt daher, auch Differentialkalküle über anderen Algebren zu betrachten.

(2) Die digitale Darstellbarkeit ist verwandt den Dezimaldarstellungen. Die gelingen vollständig nur für rationale Zahlen und finden eine Grenze bei irrationalen Zahlen wie Wurzel aus 2, Wurzel aus 3 usf. Wird z.B. die Dezimaldarstellung von Wurzel 2 gesucht, ergibt sich eine völlig unregelmäßige Folge von Ziffern hinter dem Komma. Diese Zahlen können nicht durch einen Dezimalwert, sondern nur durch eine Regel für die unbegrenzte Darstellung eines Dezimalwerts dargestellt werden. Aden Evans versteht diese Definition der Irrationalzahl ("surd") als Beispiel einer "spur of becoming". "In linguistics, the surd is an unvoiced sound or phoneme, that which is not spoken but is nevertheless carried in the speech." (in: Simon Duffy (Hg.): Virtual Mathematics, Manchester 2006). Möglicherweise gelingt es mit Computerdarstellungen Regelmäßigkeiten zu erkennen, die auf mehrdimensionale Figuren deuten. In seiner Mehrfachbedeutung verweist der englische Ausdruck "surd" zugleich auf Phänomene der Lingustik, die DeLillo in seinem früheren Roman "Weißes Rauschen" angesprochen hat. Die Grundlagenfragen von Linguistik und Mathematik gehen weit tiefer als die Theorie der formalen Sprachen.

(3) Resonanzphänomene sind bisher viel zu wenig untersucht. Resonanz kann Katastrophen auslösen, wenn eine regelmäßige Bewegung die Eigenschwingung eines Körpers oder Systems trifft. Niemand weiß, warum es z.B. in den Wechselwirkungen der sich um die Sonne bewegenden Planeten noch nie zu einer Resonanzkatastrophe gekommen ist. Möglicherweise ist die Gruppe der Asteroiden in der Hestia-Lücke zwischen Mars und Jupiter Ergebnis einer solchen Katastrophe. Ich vermute, dass Resonanzphänomene eine viel weiter reichende Bedeutung haben. Induktivität in Spulen, Umschlag von elektrischer und mechanische Energie in frei beweglichen Spulen (Prinzip des Dynamos und Elektromotors) könnten interpretiert werden als höhere Formen von Resonanz, wenn ein Muster ein anderes auslöst. Können auf diese Weise Resonanzen in dreidimensionalen Gebilden gespeichert werden? Wie sind die Resonanzen in der Teilchenphysik, zwischen Makro-Molekülen in der Biologie, beim Aufbau des Weltalls zu verstehen? Auf andere Weise federn Membrane Resonanzen ab, wenn sie durch ihre Eigenschwingung die Resonanz auffangen. Das Rauschen von Muscheln. Rückkoppelungs-Effekte. Zur Lösung solcher Fragen ist ausgehend von Differentialtopologie, Graphentheorie und Funktionentheorie überhaupt erst die geeignete Mathematik zu entwickeln. Systematischer Ansätze wäre, die geometrischen Eigenschaften von Schraubenlinien zu erforschen.

Albrecht Dürer (1471-1528): Schnecken- und Schraubenlinie. Dürer gelingt es hier, die beiden mathematischen Grundfiguren des Kreises und der Gerade ineinander zu überführen. Dies Bild zeigt eine völlig andere Herangehensweise an die Mathematik als die Versuche, die Welt auf eine "Klötzchen-Welt" zu reduzieren. Welches Grundverständnis der Mathematik zeigt sich hier? Die von Euklid entwickelten Axiome der Geometrie müssen erweitert werden, um Figuren dieser Art entwickeln zu können. Nach ihren Ausflügen in virtuelle Welten muss Mathematik wieder zur Bodenhaftung der Geometrie (Lehre der Erdmessung) zurückfinden. Quelle

(4) Effekte von Störungen werden systematisch von der Materialwissenschaft analysiert (z.B. Hysteresis-Schleifen bei Materialermüdung). In der Realität gibt es nie eine perfekte Kristall-Struktur. Welche Störungen können auftreten und wie können sie sich ausbreiten? Ich bin überzeugt, dass auf diesem Gebiet mathematische Grundlagenarbeit zu leisten ist, die von der Theorie der Parkettierung ausgehen kann. Beschreibungen, wie sich scheinbar festgefügte Strukturen auflockern. Möglicherweise bilden sich auch hier zunächst verborgene Resonanzphänomene aus, die ein nicht wahrnehmbares inneres Flimmern auslösen, bis es sich entlädt. Siehe auch Phänomene aus der Meteorologie wie z.B. die Entstehung von Blitzen, die seit der Antike das menschliche Denken anregen und bis heute nur in Ansätzen beschreibbar sind.

(5) DeLillo zeigt exemplarisch ein verändertes Sprachverhalten, das sich in der Alltagssprache mit einer neuen, oft abgekürzten und sehr harten Syntax durchsetzt. Ist das Zeichen einer Hochbegabung oder einer Aufmerksamkeitsstörung (Asperger-Syndrom)? Beide Gesprächspartner sind nicht mehr einander zugewandt, sondern es sind "zwei Menschen, die laut in eine Richtung denken", ein "horizontales Denken" (David Forster Wallace, S. 205). Die dialogische Logik und die auf sie aufgebauten Sprachtheorien und mathematischen Grundlagen (Imre Lakatos) gelten nicht mehr. Für die ohnehin gescheiterte "Begriffsschrift" von Frege ist ein Nachfolger zu finden. Kann ein vergleichbarer Ansatz wie in der Neurolinguistischen Programmierung (NLP) gewählt werden, die ausgehend von Protokollen psychotherapeutischer Gruppensitzungen entstanden ist? DeLillo hat sich mit Fragen dieser Art auch im Roman "Körperzeit" beschäftigt, siehe dazu die Studie von Kontoulis und Kitis "Don DeLillo’s The Body Artist: Time, Language and Grief". Das sollte bis zur Konsequenz gebracht werden, einen größeren Rahmen zum Verständnis von Sprache zu finden, in dem die Formalen Sprachen nur einen Grenzfall darstellen. Damit würde sich der Informatik und der digitalen Darstellbarkeit ein neuer Horizont öffnen.

2010