Aufblühen der Form

Abstract

Lässt sich an den Gesetzen der Form der Gedanke eines Bedingten Entstehens der Form erkennen? Spencer-Browns »Konstruktion: Triff eine Unterscheidung« (LoF, 3) lässt offen, wer hier spricht, wer angesprochen wird und um welche Art von Gespräch es sich handelt. Sie enthält vier Momente: das Medium (das Formbare, Unterscheidbare, void), in das die Form eingetragen wird, und die Zeichenwerkzeuge, die beim Zeichen eingesetzt und verbraucht werden und deren Material wie z.B. die Tinte ebenfalls in die Zeichnung eingehen; der Zeichner (der Unterscheidende), der mit dieser Aufforderung angeredet wird; der Prozess des Formens (Zeichnens, Unterscheidens); die Form (das Zeichen, der Unterschied), die sich als Resultat ergibt. Im Sinne des Bedingten Entstehens sind die vier Momente wechselseitig voneinander abhängig und können nur gemeinsam (kooperativ) entstehen. Jedes der Momente ist sowohl aktiv wie passiv. Das westliche Denken sieht dagegen die Aktivität ausschließlich beim Subjekt (dem Zeichner, dem Unterscheidenden). Für das westliche Denken ist daher insbesondere der Gedanke ungewohnt, dass auch das Medium aktiv ist und nicht bloß ein passiver Stoff, in den etwas eingetragen wird. Ebenso ungewohnt ist der Gedanke, dass die entstandene Form über eine eigene Aktivität verfügt, mit der sie sowohl auf den Zeichner zurückwirken wie auch andere ansprechen kann, die von dieser Form angezogen oder abgestoßen werden. Sogar der Prozess des Zeichnens (Unterscheidens) verfügt über eine eigene Verlaufsform, die ihre eigene Dynamik entfalten kann (Formen zweiter Ordnung).

Frage, These und Ziel des Beitrags

Traditionell gelten Gesetze als beständige, nahezu unveränderliche Eigenschaften. Kann aus statischen Gesetzen der Form ein Aufblühen der Form hervorgehen, worin sich die Energie der Form zeigt? Kann sich der Beobachter aus seiner Distanz zu den von ihm beobachteten Formen lösen und in eine offene Wechselwirkung mit ihnen eintreten, die über das Medium vermittelt wird? Hat Spencer-Brown mit den Laws of Form ein neues Verständnis von Gesetzen und Beobachtern eingeführt? Der Beitrag ist in 5 Abschnitte gegliedert:

– Der Gedanke des Bedingten Entstehens geht auf Aristoteles und Nagarjuna (den indischen Philosophen des Magayana-Buddhismus) zurück: Eine Bewegung entsteht nicht einseitig durch die Wirkung eines aktiven Subjekts auf ein passives Objekt, sondern aus dem Zusammenspiel des Bewegbaren, des Bewegen-Könnenden und dem daraus hervorgehenden Prozess der Bewegung.

– Die mathematische Kategorientheorie hat einen Rahmen entwickelt, die Eigenschaften statischer Objekte und die Eigenschaften ihrer Bewegungen aufeinander abzubilden. Das soll an den Beispielen mechanischer Bewegungsräume (Tangentialbündel), quantenmechanischer Symmetrieveränderungen und des Verhältnisses der Gleichungen ersten und zweiten Grades bei Spencer-Brown skizziert werden.

– Mit der Evolutionstheorie wurde ein Paradigmenwechsel von einer strikten, deterministischen Bewegung zu einer offenen, auswählenden Bewegung vollzogen, in der sich sowohl für das Bewegbare wie für das Bewegen-Könnende Möglichkeitsfelder ergeben, aus denen dynamisch der Prozess der Bewegung hervorgeht. Das wird mit Ellerman in der Sprache der Kategorientheorie unter dem Stichwort ‘Adjungierte Funktorpaare’ diskutiert.

– Diese Ergebnisse werden auf die Gesetze der Form von Spencer-Brown übertragen. Die drei Prozesse des Formens, Eintragens und Beobachtens bedingen einander wechselseitig.

– Daraus ergibt sich das Resultat: Wenn an einem starren System das Dynamisierbare und das Dynamisieren-Könnende zueinander finden, entsteht aus ihrer Wechselwirkung das Aufblühen des starren Systems in die Lebendigkeit.

– Der Beitrag schließt mit einem Beispiel aus der Entstehungsgeschichte des Pfeils, der zum wichtigsten Operator der Kategorientheorie wurde und an die Stelle der statisch gedachten Zahlen tritt.

Anmerkung: Dieser Beitrag beruht auf einem Vortrag bei der Laws of Form Conference 2022 (LOF22) am 5.8.2022 in Liverpool, der am 21.9.2022 in einem Hegel-Lektürekreis der Universität Tübingen wiederholt wurde. Entsprechend den Gesprächen und Anregungen sind zwei Absätze und zwei Kapitel ergänzt.

Kategorientheorie mechanischer Systeme

Das Aufblühen der Form ist eine Bewegung, die von innen kommt, sich nach außen zeigt und bei jedem Beobachter ein Gefühl der Freude auslöst. Gibt es dafür eine formale Gestalt? Für mich zeigt kein Werk über die Logik eine solch überbordende Freude wie die Gesetze der Form. Heinz von Foerster soll immer wieder vor Begeisterung laut aufgelacht haben, als er dies Buch erstmals zur Hand nahm. In welchem Verhältnis stehen Logik und Freude?

Als Erstes ist die überholte Vorstellung von Zahlen aufzugeben, wonach sie nichts als unveränderliche Größen sind, ohne innere Bewegtheit und Entwicklung. Mathematik und Logik hatten mit Gesetzen begonnen, die unabhängig von Raum und Zeit gelten. Die Wende kam mit der Untersuchung mechanischer Bewegungen. Wurden in der traditionellen Naturwissenschaft bis zum Mittelalter vor allem die Eigenschaften gegebener Dinge untersucht wie ihre Farbe, ihr Geruch, Gewicht usf. und an den Zahlen statische Eigenschaften wie ihre Teilbarkeit, Anordnung und ihre Äquivalenzklassen etwa in alle geraden und ungeraden Zahlen, entstanden mit den Experimenten der Mechanik veränderliche Größen, die Differentiale, die einem eigenen Kalkül genügen. Lange Zeit blieb offen, in welcher Weise die Rechenarten mit gewöhnlichen Zahlen und die höhere Analysis mit Differentialen miteinander in Übereinklang gebracht werden können. Die Antwort entstand Anfang des 20. Jahrhunderts, als es gelang, mit graphischen Methoden das Zusammenspiel beider Kalküle darzustellen. Das lässt sich am besten am Beispiel gekrümmter Kurven veranschaulichen.

Fig. 1a Tangenten entlang einer gekrümmten Kurve

Auf der einen Seite steht eine gekrümmte Kurve, deren Punkte mit x, y bezeichnet sind, auf der anderen Seite die Folge der jeweils geradlinigen Tangenten dx, dy, die an diesen Punkten angelegt sind. In der Mechanik entspricht dx, dy der jeweiligen Momentangeschwindigkeit entlang einer Bewegungsbahn an den Punkten x, y. Der Differentialkalkül stimmt dann mit dem gewöhnlichen Kalkül überein, wenn die voneinander unabhängigen Operationen in beiden Kalkülen im Ergebnis wieder zusammenkommen und übereinstimmen.

Die Tangenten entlang einer stetigen, gekrümmten Kurve bilden einen inneren Zusammenhang. Wird von einer Tangente dx zu einer benachbarten Tangente dy übergegangen, sollte dem ein Übergang der beiden stetig miteinander verbundenen Punkte x und y entsprechen, an denen die Tangenten angelegt sind. An diesem Beispiel zeigt sich die Methode der Kategorientheorie, dies zweidimensional darzustellen:

Fig. 1b Tangentialbündel, Kommutatives Diagramm

Mathematisch wird von einem Kommutativen Diagramm gesprochen, in dem zwei Wege miteinander vertauscht (kommutiert) werden können. Diese Idee wurde im Laufe des 20. Jahrhunderts erweitert. Es werden nicht nur Tangenten entlang einer Kurve betrachtet, sondern auch Kotangenten, lokale Koordinatensysteme und Symmetrien (die übergreifend als Fasern bezeichnet werden).

Fig. 2a Fasern entlang einer gekrümmten Kurve

In diesem Beispiel wird ein regelmäßiges Fünfeck als Symmetrie gewählt, die sich entlang einer Kurve bewegt. Das Fünfeck kann im Verlaufe der Bewegung nicht nur seinen Ort von x nach y verändern, sondern sich mit einer Eigenbewegung drehen und die symmetrischen Eigenschaften seiner Außenseiten verändern. Gemäß dieser Idee werden mit mathematisch deutlich komplexeren Formeln die Eigenschaften der unterschiedlichen Bewegungsformen von mechanischen Bewegungen bis zur Teilchenphysik und Molekularbiologie beschrieben. Für jede Bewegungsform gilt eine bestimmte Symmetrie. Entsprechend den Tangenten soll gelten, dass dem Übergang von einer Symmetrie in eine benachbarte Symmetrie der Übergang benachbarter Punkte einer stetigen Funktion entspricht.

Fig. 2b Faserbündel, Kommutatives Diagramm

Lässt sich dieser Gedanke auf die Gesetze der Form von Spencer-Brown übertragen? Ohne das an dieser Stelle näher auszuführen, soll der Hinweis genügen, dass die von Spencer-Brown und seinen Nachfolgern eingeführten Formen ersten und zweiten Grades in ein ähnliches Verhältnis gebracht werden können:

Fig. 3 Formen und Re-Entries, Kommutatives Diagramm

In der unteren Zeile stehen die Buchstaben a, b und c stellvertretend für Formen ersten Grades. Diese Formen stehen nebeneinander, wie es von den gewöhnlichen Zahlen bekannt ist. Spencer-Brown hat in Kapitel 11 der Gesetze der Form mit den Gleichungen zweiten Grades eine höhere Form gefunden, wie Formen ersten Grades in unendliche Folgen gebracht werden können, die vergleichbar der gewöhnlichen Differentialrechnung über einen Grenzübergang in höhere Formen (Formen zweiten Grades) führen, die einen Re-entry enthalten. Die unendliche Bewegung der Rückkehr des Re-entries entspricht den Differentialen (in der Ausdrucksweise von Newton: den Fluxionen). Die Beziehungen zwischen den Re-entries sind dem Differentialkalkül vergleichbar. Es gibt erste Beispiele, welche Re-entries zu betrachten sind. Für eine elementare Form a kann ein Re-entry gebildet werden, der das Hinausgehen der Form a in ihr Anderes und die Rückkehr aus dem Anderen zu sich selbst beschreibt. Für drei elementare Formen a, b und c kann übergreifend ein Katjekt gebildet werden, wie es kürzlich Dirk Baecker eingeführt hat (Baecker, 14, 57). Mit der Kategorientheorie kann die Frage gestellt werden, ob es einen Zusammenhang von Gleichungen zweiten Grades gibt, der dem Zusammenhang von Fasern entspricht.

Bedingtes Entstehen nach Aristoteles und Nagarjuna

Darüber hinaus lassen sich mit den Methoden der Kategorientheorie Ideen des indischen Philosophen Nagarjuna (ca. 2. Jahrhundert) und des Aristotelismus formalisieren und miteinander verbinden. Von Nagarjuna wird die Einsicht übernommen, dass anders als im westlichen Denken angenommen keine Bewegung eine einseitige Wirkung eines Subjekts auf ein Objekt (eines Handelnden auf seinen Gegenstand) ist, sondern sich aus drei Momenten zusammensetzt, die einander wechselseitig bedingen. Das klassische Beispiel ist die Bewegung des Gehens. Es lässt sich mit den Diagrammen der Kategorientheorie formalisieren:

Fig. 4 Von der Strecke zum Weg

Es kann kein Gehen geben, wenn es niemanden gibt, der gehen kann, und wenn es keine Strecke gibt, die gegangen werden kann. Umgekehrt kann es keinen Gehenden geben, wenn es nicht das Gehen als Bewegungsform gibt und eine Strecke, die er gehen kann. Und schließlich kann es keine zu gehende Strecke geben, wenn es niemanden gibt, der sie geht und keine Bewegungsform des Gehens. Dies Paradox kann vom Beispiel des Gehens verallgemeinert und übertragen werden auf das Zählen, Sprechen, Wahrnehmen, Unterscheiden, Formen, Etwas-in-einen-Grund-Eintragen usf.

Mit dem Bedingten Entstehen werden nicht mehr einfach die vorgefundenen Resultate beschrieben (wie in diesem Beispiel der Weg), sondern der Prozess des Werdens. Er folgt einer eigenen Prozess-Logik, die sich von der statischen Logik der gegebenen Dinge unterscheidet. Der Prozess ist ein Zwischen (Mittendrin, metaxy) zwischen einem Anfang und einem Ende, bei dem noch offen ist, ob die Entwicklung gelingen und wie sie im Ergebnis aussehen wird. Die unterschiedlichen Momente des Entstehens befinden sich im Fluss und verändern sich gegenseitig. Am deutlichsten wird das bei der Zahl. Bevor es eine Zahl geben kann, muss es etwas geben, das gezählt werden kann, und etwas, das zählen kann. Beides sind zunächst nur Möglichkeiten, die zusammenfinden müssen, und ob das Zählen gelingen wird, ist anfangs offen.

Fig. 5 Vom Objekt zur Zahl

Das Zählbare und Zählen-Könnende (und analog das Formbare und Formen-Könnende, Unterscheidbare und Unterscheiden-Könnende usf.) stehen einander nicht äußerlich gegenüber, sondern befinden sich in einer Wechselwirkung. Das Formbare wird gewissermaßen durch das Formen-Könnende in seiner Formbarkeit erweckt, und umgekehrt das Formen-Könnende durch das Formbare. Wer formen kann, lernt diese Fähigkeit erst, wenn er auf Formbares stößt. Das Formbare löst in ihm die Fähigkeit des Formen-Könnens aus. Diese muss zwar bereits vorhanden sein, wird aber erst durch das Zusammentreffen mit etwas Formbaren aktiviert.

Die inneren Unterscheidungen der Zahl übernehme ich von Jeck, die er aus den Aristoteles-Kommentaren von Boethos von Sidon (im 1. Jahrhundert nach Chr.) bis zu Simplikios von Kilikien (um 480 - um 560) zusammengestellt hat: Es ist zu unterscheiden: das Zählbare (alles, was zählbar ist) (arithmeton), das Zählbare selbst (das jeweilige Einzelne, das zählbar ist) (arithmeton auto), das Gezählte (das, was gezählt wird) (arithmoumenon), das Gezähltwerden (arithmeisthai), das Seiende, das zählen wird (arithmesontos), das zählende Seiende (arithmoun) (Jeck, 42).

ERGÄNZUNG 1: Margaretha Hendrickx fragte: Wenn von dem Möglichkeitsfeld des Könnenden gesprochen wird, wer ist mit dem Könnenden gemeint: Nach meinem Verständnis in erster Linie natürlich der jeweilige Mensch, der etwas kann. Aber es kann auch eine Maschine sein (z.B. die Turing-Maschine, in der Wittgenstein eine eigenständige Lebensform des Sprechen-Könnenden sah), das Unbewusste in uns, das kollektive Unbewusste, ein Dämon wie der von Descartes, das Göttliche usf.

ERGÄNZUNG 2: Der Reviewer für die Veröffentlichung in der Zeitschrift Distinction weist mich auf das Vorwort von Spencer-Brown für die Limited Edition der Laws of Form von 1994 hin, die mir unbekannt war. Dort sieht Spencer-Brown in der »conditioned coproduction, called by me the calculus of indications« den Vorläufer seiner eigenen Ideen (Spencer-Brown 1994b, viii). Als Quelle nennt er Sakyamuni, ein Name des Siddharta Gautama, dem Begründer des Buddhismus und versteht ihn als »the only other author who evidently discovered these laws« (Spencer-Brown 1994b, viii). Gegenüber der »falseness of current scientific doctrine, what I call scientific duplicity: that appearance and reality are somehow different« vertritt er den Gedanken einer »triplicity«. Das führt ihn zu Formulierungen, die denen von Nagarjuna sehr nahe kommen: »there can be no appearance that is not an awareness of appearance and, of course, no awareness that is not an appearance of awareness.« (Spencer-Brown 1994b, vii). Wenn ich Spencer-Browns ebenfalls 1994 geschriebenes Vorwort für die deutsche Erstausgabe von Dieses Spiel geht nur zu zweit richtig verstehe, ist er sich am 7. September 1970 durch eine Erleuchtung bewusst geworden, dass seine Gedanken und möglicherweise er selbst eine Wiedergeburt des Denkens von Buddha sind (Spencer-Brown 1994a, 8). Es bedarf einer eigenen Untersuchung, in welchem Verhältnis die Ausführungen im Vorwort von 1994 zu denen von Nagarjuna und anderer Philosophen wie dem ebenfalls in Dreifaltigkeiten denkenden Hegel stehen.

Evolutionstheorie – Von der Instruktion zur Selektion

Mit der Evolutionstheorie gelang der abschließende Schritt: Es wird nicht nur die Möglichkeit betrachtet, ob etwas bearbeitet und bestimmt werden kann bzw. ob etwas über die Fähigkeit verfügt, etwas tun oder denken zu können, sondern Subjekt und Objekt entfalten sich in Möglichkeitsfelder, aus denen eine Vielzahl von Prozessen hervorgehen kann. Der starre Weg einer deterministischen Instruktion wird erweitert in eine Vielzahl von Möglichkeiten, aus denen eine selektiert wird. Ellerman hat dies mit den Methoden der Kategorientheorie formalisiert.

Fig. 6 Evolution
Quelle: Ellerman 2007, 30, Fig. 8

Ellerman wählt seine Begriffe aus der Pädagogik. Die traditionelle Pädagogik gibt Instruktionen: Der Lehrer schreibt dem Schüler vor, was dieser zu tun und zu sagen hat. Die Schüler lernen das Einmaleins und andere Rechenarten auswendig. Sie können und beherrschen das, aber in den meisten Fällen wissen sie nicht, was sie tun und geben es auf. Dann können sie durch Rechenmaschinen ersetzt und überflüssig gemacht werden. Ähnlich ist es bei jeder anderen Art von Arbeit: Instruktionen können von Robotern übernommen werden. Mit Selektion ist dagegen gemeint: Der Schüler lernt, aus einer unbekannten Vielfalt von Aufgaben und Fähigkeiten den eigenen Rechenweg zu finden. Das entspricht in meinem Verständnis der von Kant gemeinten Urteilskraft und geht zurück bis zur Nikomachischen Ethik von Aristoteles. Sie enthält nicht Verbote und Gebote und allgemein Instruktionen, wie in welcher Situation zu handeln ist, sondern will die Fähigkeit zum selbständigen Urteilen und Handeln ausbilden.

Ellerman stellt das an zahlreichen Beispielen dar. Ich wähle als Beispiel das Immunsystem.

Fig. 7 Immunreaktion
Quelle: Ellerman 2007, 32, Fig. 11

Der Körper kann auf manche Erreger (Antigene) unmittelbar mit einer vorbereiteten Antwort reagieren. Das entspricht der Instruktion. Insgesamt ist es jedoch unmöglich, auf alle potentiellen Gefahren mit einer genauen Antwort vorbereitet zu sein. Das Immunsystem hält daher Antworten bereit, die noch unfertig sind und erst im Moment der jeweiligen Gefahr zusammengebaut und aktiviert werden.

ERGÄNZUNG: Ein Teilnehmer weist darauf hin: Wenn das Aktive und das Passive (z.B. das Formbare und das Formen-Könnende, oder das Zählbare und das Zählen-Könnende) aufeinander einwirken und einander erwecken und beflügeln, gibt es nicht nur eine einseitige Richtung auf ein Ergebnis hin, sondern zugleich eine umgekehrte Richtung. Das wird besonders deutlich am Beispiel des Immunsystems. Wenn das Immunsystem an einem Antigen dessen Schwachstellen (das Bezähmbare) aufspürt und entsprechende Antikörper entwickelt, lernt auch umgekehrt das Antigen und bildet neue Varianten, mit denen die Abwehr umgangen werden soll. Siehe dazu die aktuellen Beispiele der Mutationen des Covid-19-Virus. Im Ergebnis gibt es nicht nur eine lineare Bewegung von einem Ausgangspunkt zu einem Resultat, die hier mit den gestrichelten, diagonalen Pfeilen dargestellt ist, sondern eine Wechselwirkung zweiter Ordnung, die die hier dargestellten Verhältnisse spiralförmig in eine dritte Ebene entfalten lässt.

Spencer-Brown

Das lässt sich fast schematisch auf die Grundbegriffe von Spencer-Brown übertragen.

Fig. 8 Form

Sowohl das Formen-Könnende wie das Formbare ändern sich und wandeln auf zwei Wegen (linksherum und rechtsherum) den Stoff in eine Form.

Und auch der Beobachter steht nicht mehr äußerlich dem von ihm Beobachteten gegenüber, sondern befindet sich mit ihm in einer Wechselwirkung.

Fig. 9 Beobachter

Spencer-Brown hat das angedeutet, als er für den Beobachter einen Re-entry zweiter Art eingeführt hat. Wer die Gesetze der Form gelesen und ihren Inhalt beobachtet hat, wird sich anschließend selbst besser verstehen und könnte das Werk von Neuem und in erweiterter Form schreiben.

Sowohl das beobachtete Objekt wie der Beobachter ändern sich und wandeln eine unbestimmte Mannigfaltigkeit in ein System.

Entscheidend ist die Wechselbeziehung der beiden Möglichkeitsfelder miteinander. Wenn sie zueinander finden, führt das zum Aufblühen. Jedes starre System enthält Seiten, dank derer es in Bewegung gebracht (dynamisiert) werden kann, und die Fähigkeit, etwas in Bewegung bringen zu können, wird geweckt, wenn sie auf den geeigneten Stoff trifft.

Fig. 10 Aufblühen

Als Zeichen des Aufblühens wähle ich das Symbol der aus der römischen Mythologie stammenden Vesta, die das heilige Feuer des häuslichen Herdes entzündet und am Leben erhält: ⚶.

Beispiel: Vom Pflasterstein über den Wegweiser zum Pfeil

Abschließend sei ein Beispiel genannt, das auf die Vorgeschichte der Kategorientheorie zurückgeht. Die Kategorientheorie operiert überwiegend mit Pfeilen und nicht mehr mit Zahlen. Dem ist eine Entwicklung vorangegangen, die zuerst von Objekten zu Zahlen und dann von Zahlen zu Pfeilen geführt wird. Als eins der frühesten überlieferten Beispiele für die Verwendung eines Pfeils gilt ein Wegweiser im antiken Ephesos, auf dem ein symbolisierter Fußabdruck als Pfeil auf einen Pflasterstein eingeprägt ist.

Figur 11, Wegweiser in Ephesos, 1. Jahrhundert vor Christus
Quelle: wikimedia.org

Das Zeichen besagt: Gehe dort hin, wohin der Fußabdruck weist. Gehe um das Haus herum, das mit einem Quadrat angedeutet ist. Dann wirst du im Fenster eine Frau sitzen sehen.

Oder in den Worten von Robert J. Finkel, der dies Bild aus Flickr übernommen und in seinen Beitrag History of the Arrow interpretiert hat:

»One of the earliest evidences of an instructional illustration is that of a footprint next to a woman's face. This pictograph is inscribed into the pavement of the ancient Greek city of Ephesus (now present-day Turkey) around the first-century AD. It is a reductive set of directions to the local brothel. The two symbols, a footprint and the woman's face, when united is read to suggest, 'Walk in the direction that the foot is pointing towards to reach the brothel.'«

Der »Fußabdruck« ist präfigural: An den Zehen und der »Zuspitzung« des Fußes mit dem Mittelzeh und dem großen Zeh ist der Vorläufer des Pfeiles ↗ zu sehen. Und er ist prozessual: Er stößt den Prozess an, den Weg zu einem Bordell zu finden. Die Prozessualität ist die Eigenschaft, die zur Herausbildung des Symbols des Pfeils geführt hat.

Fig. 12 a,b Eintragen und Symbol-Bilden

Das Aufblühen der Identität in der Erzählung

Leon Conrad fragt, ob der Pfeil und das Beispiel aus Ephesus eine Erzählung sind. Wer dieses Zeichen sieht, ergänzt für sich eine Erzählung, was diejenigen erlebt haben, die diesem Zeichen gefolgt sind.

In seinem Beitrag The Sense of Sentences fragt er: »What if there is more about sentences than we are taught at school?« Eine Erzählung ist weit mehr als eine Folge von Aussagesätzen oder auch als eine Form, wie sie in diesem Beispiel mit dem Wegzeichen in Ephesos gegeben ist. Sie entführt den Hörer aus seiner gewohnten Umgebung und versetzt ihn in die Situation, in der die Erzählung spielt. Sie rührt seine eigenen Erinnerungen und Erwartungen an (in der Sprache von Husserl: seine Intentionen, Retentionen und Protentionen). In seiner Phantasie überschreitet er vergleichbar dem Tagträumen die übliche Form (Syntax) der gewöhnlichen Sprache und ergänzt die Worte der Erzählung mit einer Fülle von unausgesprochenen Bedeutungen und Gefühlen.

Für mich sind daher die bisher genannten Beispiele des Zählbaren / Zählen-Könnenden usf. zu ergänzen in Richtung des Nennbaren / Nennen-Könnenden und des Erzählbaren / Erzählen-Könnenden. Wird gefragt, was erzählbar ist, so sind dies nicht bloß die zählbaren und messbaren Größen, auf die sich die übliche wissenschaftliche Forschung bewusst beschränkt. Jede Erzählung beginnt mit Namen, wie zum Beispiel: Es war einmal ein kleines Mädchen, Schneewittchen, das hinter den sieben Bergen gelebt hat, ... oder stellt euch vor, was Sindbad der Seefahrer auf der Affeninsel erlebt hat ... Jeder Name regt die Phantasie an: Was kann das kleine Mädchen oder Schneewittchen alles erleben? Welche Erlebnisse wünsche ich ihm und wovor möchte ich es schützen? Mit jedem Eigennamen ist der Zuhörer unmittelbar beteiligt und stellt sich die Welt (das Möglichkeitsfeld) vor, was geschehen wird und wie er es miterleben und direkt eingreifen könnte. Das erzeugt die Spannung, die ein guter Erzähler aufzubauen vermag. Der Erzähler sieht und spürt, wie die Zuhörer mitgehen und reagieren. Ein guter Erzähler wird das spontan aufgreifen. Er wird niemals die gleiche Erzählung zweimal auf die gleiche Art erzählen, sondern jedes Mal auch für ihn selbst neu. Im Grunde müsste er die Erzählung jedes Mal neu schreiben. Jede Erzählung hat die innere Kraft, sowohl den Zuhörer anzuregen und dessen Phantasie zu beflügeln, wie auch den Erzähler selbst. Ihm wird die Erzählung nicht als ein fester, statischer Text erscheinen, sondern als ein Möglichkeitsfeld, an dem er bei jedem neuen Auftritt eine neue, bisher von ihm nicht gesehen Variante entdeckt. Er wird sich bei jeder Erzählung von Neuem von der Energie der Erzählung, des Erzählens und der aufmerksam folgenden Zuhörer mitreißen lassen. (Ich schreibe dies auch als Dankeschön an Leon Conrad, dessen Fähigkeiten als Erzähler mich jedes Mal von Neuem begeistert haben.)

Das hat eine weitreichende philosophische Bedeutung: Die Identität eines Menschen ist kein statischer Begriff (Steckbrief) mit Fakten wie Geburtstag, Geburtsort, Nationalität, Alter, Familienstand, Beruf usf., sondern eine Erzählung, die aus dem wechselseitigen Prozess des Hörens und Erzählens, Hören-Könnens und Erzählen-Könnens aufblüht. Das beginnt mit der Geburt: Wenn die Eltern ihrem Kind einen Namen geben, verbinden sie damit eine Erzählung, welche Hoffnungen und Wünsche sie dem Kind mitgeben, wer dieses Kind sein und was es erleben möchte. Im Weiteren bildet jeder in seinem Leben eine Erzählung (Narrativ), wie er sich und die anderen sieht. Diese Erzählungen werden mit jedem neuen Erlebnis verändert und fortgeschrieben. Die Identität eines Menschen liegt in der Erzählung, wie er sich selbst und andere ihn sehen. Diese Identität wird den Tod überdauern.

Fig. 13 Erzählung

Im Bedingten Entstehen von Erzählen und Hören verwirklicht sich Intersubjektivität. Es kann nur erzählt werden, wovon zuvor gehört worden war. Jede Erzählung ist an Hörer gerichtet, und sei dies in einem Selbstgespräch, einer Meditation oder einem Gebet an mögliche Hörer, deren Gegenwart nahezu leiblich erlebt wird. Jeder Erzähler wird die Erfahrung machen, wie ihn seine Erzählung dank der Reaktionen der anderen nicht weniger verändert als seine Hörer. Es gibt eine Erzählung zweiter Ordnung, was beim Erzählen geschieht. Das geht weit über die Pragmatik von Arbeitszusammenhängen hinaus, aus denen üblicherweise das Entstehen der Sprache erklärt werden soll.

Das Aufblühen imaginärer Zahlen-Mannigfaltigkeiten aus dem Unmöglichen

Claire Ortiz Hill hatte in ihrem Beitrag Laws of Form in Husserl's 'Strange World of the Purely Logical' Husserls Ausführungen über die imaginären Zahlen genannt. Husserl versteht unter imaginären Zahlen nicht nur wie sonst in der Mathematik üblich die imaginäre Zahl i (Wurzel aus −1), sondern alle nicht-natürlichen Zahlen wie die Null, die negativen, die gebrochenen und im engeren Sinn imaginären Zahlen, so bereits 1890 in seinem Brief an Stumpf (Husserl 1890, 245) und nochmals ausdrücklich im Doppelvortrag von 1901 in Göttingen: »[Ich fasse hier natürlich den Titel Imaginarität möglichst weit, wonach auch das Negative, ja selbst der Bruch, die irrationale Zahl u.dgl. als imaginär gelten kann. Historisch hat nur das Imaginäre im Sinne des Negativen und der Lateralzahl Anstoß erregt.]« (Husserl 1901, 92). Das sind Zahlen, die sich weder aus dem Zählen noch dem Messen dinglich gegebener Gegenstände ergeben. Es gibt nichts Zählbares oder Messbares mit einer negativen oder imaginären Anzahl von Elementen. Es gibt keine messbare Größe, die kleiner als 0 oder imaginär ist. Bei gebrochenen Zahlen ist es immerhin möglich, sie als Verhältnis a : b zweier natürlicher Zahlen a und b zu verstehen wie z.B. 3 : 4 oder 1 : 1000. Zähl- oder messbar ist aber nicht das Verhältnis, sondern nur jeweils die beiden Größen a und b, deren Verhältnis betrachtet wird. Es gibt kein dreiviertel oder Tausendstel Verhältnis zweier Zahlen, sondern das wären neu zu berechnende Verhältnisse.

Wer noch wie ein Kind mit Zahlen wie mit Gegenständen spielt, versteht das sofort. Wenn ein Kind gelernt hat, ein Stück Obst zu schneiden, und ihm gesagt wird, jetzt brich eine Zahl, wird es lachen: »Wie soll ich die Zahl in die Hand nehmen und wo soll ich ansetzen?« Gebrochene Zahlen gibt es nur in der Vorstellungskraft (Imagination), sie sind imaginär. Husserl versucht ähnlich wie Spencer-Brown zu einem ursprünglichen Umgang mit den Zahlen zurück zu finden. Wir sind durch Erziehung und Gewöhnung so weit davon entfernt, dass es schwer fällt, Husserls Anliegen zu verstehen und dafür die treffenden Worte zu finden. Wenn z.B. eine Tafel Schokolade in zwei Hälften gebrochen wird, sagen wir, wir haben ½ Tafel. Wir erinnern uns, dass wir eine ganze Tafel gebrochen haben und können jetzt zählen, wie viele Stücke davon vor uns liegen. Hier ist zwischen zwei mathematischen Operationen zu unterscheiden (die Husserl als die ersten beiden Stufen der Logik verstehen wird): Beim Zählen und Messen kann nur jeweils das gezählt und gemessen werden, das vor uns liegt, seien dies nun ganze oder gebrochene Tafeln. (Ein solcher »Gegenstand [ist] direkt erfaßt oder selbst gegenwärtig, der sich im Wahrnehmungsakte in schlichter Weise konstituiert.« Husserl 1921, § 46, 145) Wird das Verhältnis der Anzahl Tafelstücke vor und nach dem Brechen verglichen, so ist dies nur möglich, wenn wir in Gedanken den früheren mit dem späteren, jetzt gegebenen Zustand vergleichen. Früher war es ein Stück, später sind es zwei Stücke. Was hier geschieht, hat Husserl ausführlich in seinen seit 1904 entstandenen Vorlesungen zur Phänomenologie des inneren Zeitbewusstseins ausgearbeitet. Verhältnisse wie ½ sind Beispiele für »kategoriale« Gegenstände, die durch «Akte der Konjunktion, der Disjunktion, der bestimmten und unbestimmten Einzelauffassung (das etwas), der Generalisation des schlichten, beziehenden und verknüpfenden Erkennens« entstehen und einer höheren Stufe angehören (Husserl 1921, § 46, 146).

In der Mathematik und im Rechenunterricht erfolgt an dieser Stelle ein unausgesprochener Methodensprung. Statt nur mit dem zu rechnen, das unmittelbar vor uns liegt und gezählt oder gemessen werden kann, wird das, was wir nur in der Erinnerung haben, mit dem verglichen, was gegenwärtig ist. Die Mathematik setzt unausgesprochen etwas, das nicht mehr ist, mit dem in Beziehung, was ist. Berief sich das arithmetische Rechnen zunächst auf gegebene zählbare Dinge wie die Finger an einer Hand, Äpfel oder Bauklötze, die vor mir liegen und gezählt, geometrisch geordnet oder bisweilen zu Bauwerken zusammengefügt werden können, so wird im Weiteren mit rein mathematisch definierten Objekten operiert, die für sich nicht mehr zählbar oder messbar sind. Sie sind nicht sichtbar oder sonstwie beobachtbar, und schon gar nicht kann aus der Null oder aus negativen Zahlen etwas gebaut werden. Es bleiben nur Witze, die das Unmögliche treffen: »In einem Bus sitzen 5 Leute. An der nächsten Haltestelle steigen 7 Personen aus. Wieviel Personen müssen wieder einsteigen, damit der Bus leer ist?« (bbq-treff.de) Solche Zahlen befinden sich im Bereich des Unbeobachtbaren. Wenn dennoch mit ihnen gerechnet werden kann und Ergebnisse entstehen, die ihrerseits zählbar und messbar sind, d.h. in den Bereich des Beobachtbaren zurückgefunden haben (Re-entry), bezeichnet Husserl das als den Durchgang durch das Unmögliche (so der Titel seines programmatischen Doppelvortrags 1901 in der Mathematischen Gesellschaft von Göttingen).

Die Mathematik verlässt das anschaulich Erklärbare. Die meisten Lehrer können es nicht erklären, die Schüler müssen es auswendig lernen. Und dennoch sind diese Zahlen irgendwie gegeben. Für Husserl ist das die Frage: Wann gilt etwas als gegeben, und wann wird nur behauptet, dass es gegeben ist? Wie kann überprüft werden, ob es wirklich gegeben ist? Gibt es Dinge mit einer negativen Anzahl oder Größe nur in einer Phantasiewelt, wie wir es zum Beispiel von Alice hinter den Spiegeln von Lewis Carroll kennen?

Die bisherigen Beispiele des Bedingten Entstehens müssen nochmals erweitert werden. Während die Verhältnisse beim Zählen und Messen eindeutig waren (es gibt etwas, das gezählt oder gemessen werden kann, und es gibt etwas, das es zählen oder messen kann), wurde es bereits beim Erzählen und Hören komplexer. Beim Erzählen traten auf beiden Seiten des Erzählbaren / Hörbaren und Erzählen-Könnenden / Hören-Kennenden Paare des Aktiven und Passiven auf: Was erzählbar ist, muss auch hörbar sein, und wer erzählen kann, muss auch hören können (und umgekehrt: was hörbar ist, muss erzählbar sein, und wer hören kann, muss auch erzählen können, mindestens, um dem Erzähler zurückzumelden, ob und wie er ihn verstanden hat).

Mit Husserl wird das Verhältnis von Erzählen und Hören verallgemeinert zum Verhältnis von Geben und Nehmen und der Vielfalt der Möglichkeiten (dem Möglichkeitsfeld) des Gebens und Nehmens, unter denen Husserl drei Klassen mit ihrer jeweils eigenen Logik unterscheiden wird. Das Erzählen kann als das Geben von Nachrichten, und das Hören als ihr Vernehmen und ihre Aufnahme verstanden werden. Mit den Ausdrücken 'Geben' und 'Nehmen' ist der Rahmen gefunden, um verstehen zu können, worum es Husserl geht. Für jedes Gegebene gibt es eine Vielfalt von Gegebenheitsweisen. Husserl denkt zunächst an ganz anschauliche Beispiele: Ein Haus ist unterschiedlich gegeben, ob es von vorn oder hinten, von den Nachbarn oder von Teilnehmern einer Gartenparty gesehen wird. Es ist jeweils anders gegeben, wenn sein architektonischer Grundriss betrachtet wird, oder wenn mögliche Käufer bzw. Mieter das Haus begutachten, ob es für sie wohnlich ist. Mit 'Geben' kann gemeint sein: Einer Sache ihre Form geben. Eine Sache gibt sich zu erkennen. Für jedes Geben gibt es eine Vielzahl von Gegebenheitsweisen.

Es gibt nicht nur sinnlich wahrnehmbare Dinge, wie z.B. die Steinchen (calculi), mit denen das Zählen und Rechnen gelernt wurde (daraus abgeleitet der Ausdruck ‘Kalkül’), von denen Husserl schreibt: »Im Sinn der engeren 'sinnlichen' Wahrnehmung ist ein Gegenstand direkt erfaßt oder selbst gegenwärtig, der sich im Wahrnehmungsakte in schlichter Weise konstituiert.« (Husserl 1921, § 46, 145). Davon sind zu unterscheiden Träume, Kunstwerke, Gedanken und übergreifende Entitäten wie das sich in fortlaufender Bewegung befindende Wasser (hydor) im Sinne von Thales und Heraklit. Husserl bezeichnet sie als »die kategorialen oder idealen als die Gegenstände der höheren Stufen« (Husserl 1921, § 46, 145) und gibt im Weiteren eigene Beispiele: »Farbe, Haus, Urteil, Wunsch sind rein sinnliche Begriffe, Farbigkeit (Farbig-sein), Tugend, Parallelenaxiom u. dgl. sind kategorial vermischte, Einheit, Mehrheit, Beziehung, Begriff sind rein kategoriale.« (Husserl 1921, § 60, 184). Kategoriale oder ideale Gegenstände können weder gezählt noch gemessen werden. Was ist die Anzahl oder die Größe von Träumen oder des Wassers im Ganzen? Was macht ein großes Kunstwerk aus? Aber mit ihnen kann gerechnet werden! Das ist das Besondere an den imaginären Zahlen, deren ontologischer Status von der Mathematik bis heute nicht geklärt werden konnte. Wenn es gelingt, das Rechnen mit ihnen und vor allem die Rückkehr der imaginären Zahlen aus dem Bereich des Unmöglichen in die reale Welt zu verstehen, dann wird es mit diesen Zahlen möglich, auch für die anderen Gegenstände der höheren Stufen Rechenmethoden zu entwickeln und mit ihnen gewissermaßen »nachzurechnen«, wie sich die Phantasie von der Realität entfernt und wieder zu ihr zurückkehrt. Husserl entwirft die Idee eines völlig neuen Verständnisses der Mathematik.

Auf der anderen Seite gibt es eine Vielfalt von Weisen des Nehmens und Vernehmens, wenn ich z.B. die Wünsche und Anliegen eines Anderen vernehme und intuitiv und mitfühlend verstehe, ohne sie auf bestimmte Gegenstände zu reduzieren, oder verstehe, was mir ein Komponist und Interpret eines Musikwerks sagen will, ohne dafür Worte finden zu können. Den Gegebenheitsweisen auf der einen Seite entsprechen die Intentionen, Erinnerungen und Erwartungen (Retentionen und Protentionen) auf der anderen Seite. Das ergibt für mich eine Übersicht über einige Grundbegriffe von Husserl:

Fig. 14 Gegebenheitsweisen und Weisen des Vernehmen-Könnens

In welche Richtung das geht, zeigt das Beispiel der negativen Zahlen: In Gedanken ist es möglich, Prozesse und ihre innere Bewegtheit und Widersprüchlichkeit zu überschauen. Es gibt nichts, dessen Anzahl oder Größe negativ ist, aber es gibt Ausgleichsprozesse. Wenn ein Hebel-Arm sich auf der einen Seite hebt, sinkt er auf der anderen Seite. Wenn jemand einem anderen Geld leiht, bekommt er ein Dokument, das er später mit der Rückzahlung einlösen kann. Umgekehrt hat der Geldnehmer (Gläubiger) auf seinem Konto einen Schuldenbetrag stehen. Nur aus diesen Prozessen heraus ist zu verstehen, was mit negativen Zahlen wie z.B. einem negativen Kontostand gemeint ist (siehe Kant in seinem Versuch den Begriff der negativen Größen in die Weltweisheit einzuführen von 1763). Ausgleichsprozesse positver und negativer Zahlen sind wie das von Husserl genannte Parallelenaxiom ein Beispiel für »Gegenstände der höheren Stufen«.

Ohne diese Beispiele zu vertiefen oder zu erweitern geht es um die Erkenntnis von Husserl: Jede Gegebenheitsweise und die ihr entsprechende Weise des Nehmen-und-Vernehmen-Könnenden bestimmen den Prozess des für sie jeweils spezifischen Gebens und Nehmens. Die beiden Möglichkeitsfelder des Gebens und Nehmens führen zu einem dritten Möglichkeitsfeld der Methoden. Es gibt für das Geben und Nehmen nicht die eine Methode, vergleichbar der Methode des Zählens im Verhältnis des Zählbaren und des Zählen-Könnenden, sondern eine Vielfalt von Methoden. Innerhalb dieser Vielfalt kann es zu Ausgleichsprozessen zwischen den unterschiedlichen Methoden kommen.

Selbstbezüglich lässt sich von den Methoden auf die ihnen zugrunde liegenden Theorienformen schließen, um mit ihnen zu erklären, worin die Sicherheit, Verständlichkeit, Anwendbarkeit und die Einfachheit der jeweiligen Methode gründet. Husserl hat das nicht weiter ausgearbeitet, aber hierin die höchste Aufgabe der Philosophie gesehen. Die Fragen nach dem Übergang von den gewöhnlichen zu den imaginären Zahlen und zurück von den imaginären Zahlen zu den gewöhnlichen Zahlen (Re-entry) sind nur mit den Theorienformen zu klären.

»Nämlich auf Grund der hinreichend weit geführten Lösung der bezeichneten Aufgaben wird es möglich, aus rein kategorialen Begriffen mannigfaltige Begriffe möglicher Theorien bestimmt auszugestalten, reine 'Formen' von Theorien, deren Wesenhaftigkeit gesetzlich erwiesen ist. Diese verschiedenen Formen sind aber untereinander nicht beziehungslos. Es wird eine bestimmte Ordnung des Verfahrens geben, wonach wir die möglichen Formen zu konstruieren, ihre gesetzlichen Zusammenhänge zu überschauen, also auch die einen durch Variation. bestimmender Grundfaktoren in die anderen überzuführen vermögen usw. Es wird, wenn auch nicht überhaupt, so doch für Theorienformen bestimmt definierter Gattungen, allgemeine Sätze geben, welche in dem abgesteckten Umfange die gesetzmäßige Auseinanderentwicklung, Verknüpfung und Umwandlung der Formen beherrschen.« (Husserl 1913b, § 69, 247)

»Dies ist ein letztes und höchstes Ziel einer theoretischen Wissenschaft von der Theorie überhaupt. Es ist auch in erkenntnis-praktischer Hinsicht kein gleichgültiges. Die Einordnung einer Theorie in ihre Formklasse kann vielmehr von größter methodologischer Bedeutung werden. Denn mit der Ausbreitung der deduktiven und theoretischen Sphäre wächst auch die freie Lebendigkeit der theoretischen Forschung, es wächst der Reichtum und die Fruchtbarkeit der Methoden.« (Husserl 1913b, § 69, 248)

Diese drei Seiten erwecken sich wechselseitig im Aufblühen der Erkenntnis einer Mannigfaltigkeit / Theorienform, an dem Husserl drei Stufen der Logik unterscheidet:

Fig. 15 Die drei Stufen der Logik nach Husserl

Für Husserl ist mit den Theorienformen die Stufe erreicht, auf der Mannigfaltigkeiten mathematischer Gegenstände bestimmt und mit ihnen frei operiert werden kann. Die unmöglichen Zahlen sind nicht einfach aus mehr oder weniger willkürlich definierten Kalkülen entstanden, sondern aus den Theorienformen, die Husserl in seinem Entwurf mit den gewöhnlichen Gegenständen verbunden und aus ihnen erklärt hat. Für mich kann diese Entwicklung als Aufblühen der Formen bezeichnet werden, die bereits mit den gewöhnlichen Gegenständen gegeben sind und weit über sie hinaus führen. Wenn an die Vielfalt der kategorialen Gegenstände von den Träumen bis zu Axiomensystemen u.ä. gedacht wird, kann dies Aufblühen mit der Offenbarung des Göttlichen in Verbindung gebracht werden, so wie es Hegel für den Gang der Wissenschaft der Logik gesehen hat.

Claire Ortiz Hill spricht in ihrem Beitrag Husserl's Mannigfaltigkeitslehre von 2000 einen Passus in Husserls Vorlesung Logik und Allgemeine Wissenschaftstheorie von 1917/18 an: »Der Umstand nun, daß man statt in den bestimmten Erkenntnisgebieten vielmehr in der Sphäre der reinen Formen sich bewegen und, wenn sie definit sind, sich völlig frei bewegen kann, führt nun dahin, die definiten Disziplinformen systematisch zu erweitern und allen Möglichkeiten der Konstruktion von definiten Disziplinformen nachzugehen.« (Husserl 1917/18, § 57, 265). Sie formuliert in ihren Worten: »One may then, he concluded, operated freely within a multiplicity with imaginary concepts and be sure what one deduces is correct when the axiomatic system completely and unequivocally determines the body of all the configurations possible in a domaine by a purely analytical procedure.« (Hill 2000, 175)

Husserl hat sich an den von Cantor eingeführten Punktmannigfaltigkeiten orientiert, und umgekehrt sind aus den Erkenntnissen von Husserl die Arbeiten von Cantor über die Mächtigkeit und Ordnungstypen der Zahlenklassen neu zu lesen. Es ist nach der Mächtigkeit (der Energie) der Form zu fragen, die sowohl auf Seiten der Gegebenheit wie der Intentionen und der Theorienformen zu deren Aufblühen führt. Cantor hat sie mit Buchstaben des hebräischen Alphabets bezeichnet, sich mit deren okkulten (verborgenen) Eigenschaften beschäftigt und sah in ihnen vermutlich die Stufen der Unendlichkeit zum Göttlichen. Darüber wird eine geplante Arbeit handeln.

Das Ergebnis ist offen. Wie Claire Ortiz Hill in anderen Büchern mit sprechenden Titeln wie The Road not Taken dargelegt hat, haben sich im 20. Jahrhundert die beiden auf Frege bzw. auf Husserl zurückgehenden Wege und Richtungen der Philosophie voneinander getrennt und entfremdet. Durch seine Beziehungen zu Wittgenstein und Russell befand sich Spencer-Brown im Ganzen auf dem auf Frege zurückgehenden Weg und hat wohl Husserl weder gekannt noch wurde er aus seinem Umfeld auf ihn aufmerksam gemacht. Der Beitrag von Claire Ortiz Hill gibt einen ersten Anstoß, wie beide voneinander lernen und - wenn auch mit Verspätung - auf den Road not taken finden können. Wer den von Husserl eingeschlagenen Weg fortführen möchte, kann bei Spencer-Brown wichtige Anregungen finden, insbesondere wenn es um das Verständnis geht, was mit Form gemeint ist. Husserl sieht die Form als das Ergebnis einer Abstrahierung und Formalisierung, bis deren "reine Form" erreicht ist (siehe z.B. Husserl 1929, §§ 6, 26). Mit Spencer-Brown kann gelernt werden, wie die Form ihrerseits ein für sich zu untersuchender Inhalt ist mit eigenen Gesetzen und Entwicklungen. Und umgekehrt kann in der anderen Richtung die weitere Forschung an den Arbeiten von Spencer-Brown mit Husserl zu einem neuen Verständnis ihrer Grundannahmen finden und z.B. nicht mehr einfach sagen, »We take as given the idea of distinction and the idea of indication« (LoF, 1; »wir nehmen die Idee der Unterscheidung und die Idee der Bezeichnung als gegeben an«), sondern mit Husserl nach den Gegebenheitsweisen fragen und erkennen, welche impliziten Einschränkungen für Gegebenheiten vorausgesetzt wurden und erweitert werden können.

Siglen

LoF = George Spencer-Brown: Laws of Form, New York 1972 [1969]

Literatur

Vladimir I. Arnold: Mathematical Methods of Classical Mechanics, New York 1989 [1974]

Dirk Baecker: Katjekte, Leipzig 2021

David Ellerman (2007): Adjoints and emergence: applications of a new theory of adjoint functors
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David Ellerman (2015): On Self-Predicative Universals in Category Theory
in: arXiv:1405.3192 [math.GM], Submitted on 9 May 2014 (v1), last revised 11 May 2015 (this version, v2)

Robert Finkel: History of the Arrow
in: printinghistory.com vom 1. April 2005, unter: https://printinghistory.org/arrow/

Claire Ortiz Hill, Jairo José da Silva: The Road Not Taken, London 2013

Claire Ortiz Hill (2000): Husserl's Mannigfaltigkeitslehre
in: Claire Ortiz Hill, Guillermo E. Rosado Haddock: Husserl or Frege?, La Salle 2000, 161-178

Claire Ortiz Hill (2022): Laws of Form and Husserl's 'Strange World of the Purely Logical'
unter: ResearchGate, https://www.researchgate.net/publication/362598990_Laws_of_Form_and_Husserl%27s_Strange_World_of_the_Purely_Logical

Edmund Husserl (1890): Brief an Stumpf, wohl Febr. 1890
in: Husserl: Studien zur Arithmetik und Geometrie (1886-1901), Husserliana XXI, Den Haag u.a. 1983

Edmund Husserl (1901): Durchgang durch das Unmögliche, Doppelvortrag 1901,
in: Elisabeth und Karl Schumann: Husserls Manuskripte zu seinem Göttinger Doppelvortrag von 1901, in: Husserl Studies 17: 87-123, 2001

Edmund Husserl (1913a): Ideen zu einer reinen Phänomenologie und phänomenologischen Philosophie, Halle a.d. Saale 1913

Edmund Husserl (1913b): Logische Untersuchungen, Erster Band, Prolegomena zur reinen Logik, Zweite umgearbeitete Auflage, Halle a.d. Saale 1913

Edmund Husserl (1917/18): Logik und Allgemeine Wissenschaftstheorie, Vorlesungen 1917/18, Dordrecht, Boston, London 1996

Edmund Husserl (1921): Logische Untersuchungen, Zweiter Band, Elemente einer phänomenologischen Aufklärung der Erkenntnis, II. Teil, Zweite, teilweise umgearbeitete Auflage, Halle a.d. Saale, 1921

Edmund Husserl (1928): Vorlesungen zur Phänomenologie des inneren Zeitbewußtfeins, Halle an der Saale 1928

Edmund Husserl (1929): Formale und transzendentale Logik, Halle an der Saale 1929

Udo Reinhold Jeck: Aristoteles contra Augustinum, Amsterdam, Philadelphia 1994

Warren McCulloch: Was ist eine Zahl, daß ein Mensch sie kennen kann, und ein Mensch, daß er eine Zahl kennen kann?
in: Warren McCulloch: Verkörperungen des Geistes, Wien, New York 2000, 8-23

George Spencer-Brown (1994a): Vorwort zur deutschen Erstausgabe von Dieses Spiel geht nur zu zweit, Leipzig 2013 [1971]

George Spencer-Brown (1994b): Laws of Form, Limited Edition, Portland 1994

Bernhard Weber-Brosamer, Dieter M. Back: Die Philosophie der Leere – Nagarjunas Mulamadhaymaka-Karikas, Wiesbaden 2005 (Harrasowitz) [1997]

 

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