Walter Tydecks Die Gesetze der Form aus der Sicht kategorientheoretischer Methoden

Abstract In der Mathematik hat sich seit dem 19. Jahrhundert eine graphische Wende vollzogen. Mit der Kategorientheorie werden statt Zahlen ihre Beziehungen zueinander zum Gegenstand der Wissenschaft. Sie werden mit Pfeilen dargestellt. Das wird auf den Formkalkül von Spencer-Brown übertragen: (i) Ablösung der Markierung durch den Pfeil → und seiner Verlaufsformen. (ii) Ablösung des Re-entry-Zeichens durch kommutative Diagramme der Kategorientheorie und ihrer Bewegungsrichtungen. (iii) Einbeziehung der Dynamik von Beobachtern und ihrer Sichtweisen in ein erweitertes, dreistufiges Geschehen.

In mathematics a graphical turn has occured since the 19th century. With category theory, instead of numbers, their relations to each other become the topic of science. They are represented by arrows. This is applied to Spencer-Brown's Laws of Form: (i) Replacement of the mark by the arrow → and its courses. (ii) Replacement of the reentry sign by commutative diagrams of category theory and their trajectories. (iii) Integrating the dynamics of observers and their perspectives into an extended, three-level process.

 

Erschienen in Soziale Systeme 2023 Volume 28 Issue 1, 8-22

Von der Form der Grenze zur Form des Übergangs und Zusammenhangs

Die Gesetze der Form und die Kategorientheorie stehen in der Tradition einer im 19. Jahrhundert einsetzenden graphischen Wende der Logik und Mathematik. Meilensteine waren der 1847 von George Boole eingeführte Kalkül, auf dessen Laws of Thought (1854) Spencer-Brown 1969 mit seinen Laws of Form direkt Bezug nimmt, und die Existencial graphs von Charles Sanders Peirce. In ihrem Ergebnis entstand die Kategorientheorie. Mit ihr hat sich der Pfeil → als Grundzeichen neuer graphischer Darstellungen durchgesetzt (siehe Tydecks 2021).

Das von Spencer-Brown eingeführte Zeichen wird sowohl auf der Objektebene als Buchstabe eines Alphabets gesehen (Haken, Ecke, Quere, Kreuz, cross) und erinnert an den griechischen Großbuchstaben Gamma Γ, wie auch auf der Metaebene als Aufforderung (Befehl) und als Beobachtung, dass mit diesem Buchstaben etwas ausgeführt wird: eine Nennung, call. Das Zeichen steht sowohl für den Prozess, etwas zu benennen (calling), wie auch für den Namen, mit dem etwas benannt wird (call). Es steht für die Grenze, durch die etwas von seiner Umgebung unterschieden wird (cross), wie auch für den Prozess, über die Grenze hinweg das Jenseitige zu sehen und zu erreichen (crossing). Im Folgenden wird gemäß der Kategorientheorie das call / cross durch den Pfeil → ersetzt. Es soll gezeigt werden, dass mit dem Pfeil → die Mehrfachbedeutung des erhalten bleibt, aber der logische Aufbau der Gesetze der Form vereinfacht werden kann. Mit ihm ergibt sich ein Anschluss an die Methoden der Kategorientheorie und deren vielfältige Anwendungsgebiete. In der Praxis arbeiten ohnehin bereits viele Soziologen und Psychologen mit Darstellungen, die auf Pfeilen beruhen (z.B. Mind-Map, Concept-Map, graphische Veranschaulichungen von Systemaufstellungen).

Der Pfeil beginnt an einem implizit mitgedachten Ort (topos, locus, mathematisch die Definitionsmenge, Quelle, domain). Dieser Ort ist in meinem Verständnis die von Spencer-Brown angesprochene »Be-inhaltung« (continence; Spencer-Brown 1969, 1), die sich innerhalb des befindet. Während jedoch das Zeichen eine Grenze hervorhebt, betont der Pfeil → den Übergang und den inneren Zusammenhang des Übergangs. Er ist in der Sprache der Kategorientheorie ein Morphismus, das ist wörtlich eine Abbildung von einer Form (morphe) auf eine andere. Am Pfeil können dreistufig die Grenze, der Übergang und der Zusammenhang dargestellt und mit eigenen Ausprägungen des Pfeilzeichens unterschieden werden:

– Auf der Objektebene ist der Pfeil → das Zeichen, das wie bei Spencer-Brown sowohl als Operand wie als Operator auftritt. Mit dem Pfeil wird etwas benannt (er weist auf etwas hin, dies da, der Zeigefinger ☛), er beschreibt einen einzelnen Übergang (von - nach), und kann zugleich als Operand auftreten, mit dem im Formkalkül operiert wird, indem Pfeile gedreht und hinter- und übereinander geschrieben werden.

– Auf der Metaebene wird daraus der Pfeil . Mit ihm werden von einem äußeren Beobachter die Strategien überschaut, mit denen auf der Objektebene gefolgert und geschlossen wird. Die Operationen werden als Zuweisungen erkannt. Es gibt zahlreiche Vorläufer, die in diesem Zeichen zusammengefasst werden: Das Gleichheitszeichen = der Mathematik, das Implikationszeichen ⇒ der Logik, das Forcing-Symbol (Double Turnstile) ⊩ der Modelltheorie, das Zeichen ⇀ für Übergänge in chemischen Reaktionen und bei Spencer-Brown für den Schritt (step) einer Kalkulation (Spencer-Brown 1969, 8). – Für die hier gewählte Darstellung spricht nur, dass sich das Zeichen optisch besser vom Zeichen → unterscheidet. In der Sache sehe ich keinen Unterschied zwischen den beiden Zeichen ⇀ und .

– Auf einer dritten Ebene wird der innere Zusammenhang unterschiedlicher Arten von Übergängen betrachtet. Zum Beispiel wird gefragt, welche Eigenschaften eine Gerade hat, damit entlang einer Gerade gezählt, gefolgert oder Schlüsse gezogen werden können. Diese Eigenschaft ist der Zusammenhang der Gerade (mathematisch gesprochen die Kontinuität der Zahlenachse). Hierfür wähle ich den bogen-artigen Pfeil   ⃕  , mit dem der Prozess der Operationen für sich betrachtet wird. Dem entspricht bei Hegel die Negation der Negation. Sie negiert nicht einfach die Negation und fällt zurück zur Position, sondern sie wendet sich vom Fortgang von Position und Negation zu einer Betrachtung des Prozesses, der diesem Fortgang zugrunde liegt, und erkennt dessen übergreifenden, inneren Zusammenhang (siehe exemplarisch Hegels Ausführungen über den Zusammenhang als Eigenschaft der affirmativen Unendlichkeit; Hegel 1832 I, 161). Spencer-Brown spricht vom Tunnel und deutet ihn auf ähnliche Weise mit dem Zeichen an (Spencer-Brown 1969, 51). Der Tunnel ist im Formkalkül der Zusammenhang des Innen und Außen diesseits und jenseits einer Grenze und allgemeiner der Zusammenhang einer endlichen oder unendlichen Gruppe von Formen, der mit der Oszillation zum Schwingen gebracht werden kann. In meiner Deutung wird sich im Formkalkül der Zusammenhang zeigen, wenn unterschiedliche Beobachter einander wechselseitig beobachten und darüber den Zusammenhang einer gegebenen Form erkennen, von der jeder einzelne Beobachter nur einen Ausschnitt sehen kann, und der sie als Beobachter selbst mit angehören.

Spencer-Brown gründet den Formkalkül mit 2 Axiomen:

Axiom 1: »Der Wert einer nochmaligen Nennung ist der Wert der Nennung.« (Spencer-Brown 1969, 1) Wenn z.B. ein Tisch zweimal nacheinander als ‘Tisch’ bezeichnet wird, ist das eine tautologische Wiederholung, die keine neue Erkenntnis über den Tisch liefert. Neu ist jedoch der Prozess des Wiederholens: Spencer-Brown erkennt an der »nochmaligen Nennung« (a call made again) eine Richtung, die von der einfachen Nennung zu ihrer Wiederholung führt, und bezeichnet die Richtung mit dem von der Beschreibung chemischer Prozesse übernommenen pfeil-artigen Symbol einer Harpune ⇀ (Spencer-Brown 1969, 8):

⇀

Ich möchte dies vereinfachen in ein einziges Zeichen →. Das zeigt am Zeichen den inneren Zusammenhang im Wechsel von einem Ausgangspunkt zu einem Zielpunkt oder von einem Innen in ein Außen. Für den Übergang von einer Form zur anderen wähle ich aus den genannten Gründen den Pfeil der Metaebene .

→     →→

Mit dieser Darstellung ist vorbereitet, den Übergang →     →→ als einen Impuls zu verstehen, der auf einen Pfeil → ausgeübt wird, und ihn verdoppelt in →→. Darauf aufbauend wird auf einer dritten Stufe zu untersuchen sein, wie der Impuls seinerseits verändert werden kann: Die Veränderung der Impulse kann angelehnt an die Mechanik als Energie bezeichnet werden.

Um dahin zu gelangen, sind zwei weitere Schritte notwendig: Das Axiom 2 und die unendliche Wiederholung der Impulse , die in einen Grenzübergang führt. (Mathematisch gesprochen ist die Energie das Integral, die Summe aller Impulse, die einander kontinuierlich wiederholen.)

Axiom 2: »Der Wert eines nochmaligen Kreuzens ist nicht der Wert des Kreuzens.« (Spencer-Brown 1969, 2) Was hiermit gemeint ist, zeigt sich wiederum am klarsten in der Richtungsschreibweise (Spencer-Brown 1969, 8), wobei ich die von ihm gezeichnete Dreifachverschachtelung in zwei Schritte zerlege:

⇀ ⇀

An dieser Entwicklung von einer einfachen Grenze zu einer mehrfach verschachtelten Grenze ist jedoch zweierlei offen: (i) Auf der Objektebene ist zu fragen: Wird das cross nach innen oder nach außen verschachtelt? (ii) Auf der Metaebene ist zu fragen: Wenn das crossing von einem gegebenen Zustand in sein Gegenteil führt, führt dann das recrossing wie bei einer doppelten Negation in den Grundzustand zurück und ist daher als »Aufhebung« (cancellation) zu benennen (Spencer-Brown 1969, 5)?

Frage (i) kann für Spencer-Brown an der rein graphischen Darstellung nicht entschieden werden. Er sieht sich daher gezwungen, ergänzend einen Prosa-Text einzufügen, mit dem er die »Tiefe« (depth) einführt. Mit ihr wird festgelegt, dass die Verschachtelung »nach innen« (inwards) erfolgt und auf der niedrigsten Stufe den »seichtesten Raum« (shallowest space) erreicht (Spencer-Brown 1969, 6).

In meiner Deutung ist bereits an dieser Stelle ein Zeichen für die Verlaufsform der Wiedereinfügung (re-insertion) einzuführen:  . Dieses Zeichen legt auf der Metaebene fest, dass die Verschachtelung nach innen erfolgt. Sie erfolgt im Uhrzeigersinn rechts um das Zeichen herum und wird von links unten in deren Innern eingefügt. Alternativ ist eine linksdrehende Bewegung gegen den Uhrzeigersinn möglich:   , die das Zeichen oben rechts anfügt. Wer Figuren wie   oder   zeichnet, wird in der Regel von innen nach außen zeichnen und außen weitere Haken hinzufügen. Für mich sind beide Bewegungsrichtungen gleichwertig und ergeben eine Gegenläufigkeit (Händigkeit): Die nach Innen führende Bewegung kann als eine untersuchende Methode bezeichnet werden (einer Sache auf den Grund zu gehen), die nach Außen führende Bewegung ist dagegen konstruktiv und mit dem architektonischen Bauen zu vergleichen.

Ist bewusst geworden, dass die Verlaufsform der Verschachtelung auf der Metaebene durch ein eigenes Zeichen bestimmt werden muss, dann kann rückblickend die Verlaufsform der Wiederholung aus Axiom 1 bestimmt werden: . Dies Zeichen bedeutet auf der Metaebene: Ein Zeichen wird genommen und am Ende wiederholt und angehängt. Ebenso gut könnte es am Anfang vorangestellt werden: . Auf diese Weise gehen aus den beiden Axiomen 1 und 2 die Verlaufsformen der Wiedereinfügung hervor, mit denen Spencer-Brown im Weiteren die komplexeren Formen der Gleichungen zweiten Grades konstruieren wird bis hin zu vollständigen Automaten (siehe hierzu Varela, 18; Kosub, 9 und zum Nachweis der von Spencer-Brown entwickelten Konstruktionen als Automaten Oksas 2021).

Auch mit dieser Klärung bleibt noch offen, ob das recrossing eine cancellation ist. Die Pfeil-Darstellung ermöglicht eine differenziertere Untersuchung. Um Axiom 2 durch Pfeile darzustellen, können in einem ersten Ansatz die Pfeile vertikal statt horizontal wiederholt werden. Das entspricht anschaulich dem Verschachteln von in  , wobei es wiederum möglich ist, die Pfeile nach oben oder nach unten zu stapeln:

→     ⇉     ⇶

Das trifft jedoch noch nicht die von Spencer-Brown gemeinte Bedeutung, dass eine Grenze überschritten und mit einer zweiten Grenzüberschreitung zurückgekehrt werden soll. Hierfür ist der Pfeil nicht nur zu wiederholen, sondern zugleich ist in der Wiederholung seine Richtung umzukehren:

→     ⇄

Diese Darstellung lässt sich in eine lineare Schreibweise transformieren:

→     →←

Das gibt den beiden Axiomen 1 und 2 die einfache graphische Form →→ bzw. →←, die Spencer-Brown mit dem von ihm gewählten Zeichen nicht möglich war. Er hätte dafür ein Zeichen wie    wählen müssen, doch ist schon anschaulich (intuitiv) klar, dass eine Aneinanderfügung wie     oder     nicht das zeigt, worum es bei Axiom 2 geht.

Entsprechend kann die »Form der Aufhebung« (form of cancellation) rein linear geschrieben werden (Spencer-Brown 1969, 5):
aus:     =    .
wird:   →← =    .

In Worten: Zwei gegeneinander gerichtete Pfeile heben sich auf. Das entspricht der Situation der Mechanik, in der zwei Körper mit gleichem Impuls aufeinander treffen, gegenseitig ihre Bewegung auslöschen und nebeneinander in Ruhe liegen bleiben. Zugleich wird der Unterschied zur Mechanik deutlich: Die Form der Aufhebung bedeutet im Formkalkül, dass es zwei Zeichen gibt, die sich nebeneinander geschrieben aufgrund ihrer Form – und nicht aufgrund ihrer Masse und Geschwindigkeit – aufheben.

Was hier geschieht, wird deutlicher, wenn nicht eine einzelne Auslöschung → →←, sondern ihre Wiederholung betrachtet wird, wobei mit jedem Schritt der jeweils letzte Pfeil rechts außen umgekehrt und am Ende angefügt wird. Als Beispiel seien vier Schritte aufgezeichnet.

(a)   →     →←     →←→     →←→←

(b)   →                        →  

Um den Übergang von (a) zu (b) zu verstehen, ist horizontal und vertikal zu lesen: An den in den beiden Zeilen vertikal übereinander liegenden Pfeilen ist zu erkennen, dass in (a) →← ausgeschrieben und in (b) gemäß der Form der Aufhebung ›→← =    .‹ durch Leerzeichen ersetzt ist.

Zeile (b) zeigt, wie die vielfach wiederholte Verschachtelung als der Wechsel eines Pfeils und des Fehlens eines Pfeils (Nicht-Pfeil im Moment des Auslöschens der gegeneinander gerichteten Pfeile) erscheint.

Während Zeile (a) formal der Wiederholung gemäß Axiom 1 ähnelt, wenn mit jedem Schritt ein neuer Pfeil angehängt wird und fortlaufend größere Ausdrücke entstehen, zeigt Zeile (b) eine Oszillation, die physikalisch als der Wechsel von Impuls (pulse) und einem stabilen Zustand verstanden werden kann (Spencer-Brown 1969, 55).

Für Spencer-Brown entsteht durch die Auslöschung (cancellation) gegenüber Axiom 1 etwas Neues. Während in Axiom 1 der Wert des Nennens erhalten bleibt, entsteht in Axiom 2 mit dem nochmaligen Kreuzen ein neuer Wert:

»Wenn beabsichtigt ist, eine Grenze zu kreuzen, und dann beabsichtigt ist, sie noch einmal zu kreuzen, ist der Wert, der durch die zwei Absichten zusammen bezeichnet wird, der Wert, der durch keine der beiden bezeichnet wird. Das heißt für jede Grenze: Wieder-Kreuzen ist nicht Kreuzen.« (Spencer-Brown 1969, 2).

Im Text von Spencer-Brown wird nicht weiter ausgeführt, welche unterschiedlichen Werte das Kreuzen und Wieder-Kreuzen annehmen. Ohne das an dieser Stelle weiter auszuführen, entsteht in meinem Verständnis an dieser Stelle eine Vielfalt von Möglichkeiten. Es muss sich nicht wie von Spencer-Brown angenommen um eine Auslöschung handeln, sondern es sind Alternativen möglich. So ist zum Beispiel vorstellbar, dass es beim Zusammentreffen zweier aufeinander gerichteter Pfeile nicht wie in Zeile (b) zu einer gegenseitigen Auslöschung kommt, sondern wie bei einem elastischen Stoß zu einer Umkehr (Reflexion), aus der heraus beide Pfeile nach dem Zusammenprall ihre Bewegungsrichtung ändern und sich voneinander entfernen.

→     →←     ←→   ←    →   ←         →

Dies ist das Bild der Reflexion: Beide Pfeile stoßen sich ab und trennen sich voneinander.

Ebenso ist vorstellbar: Die beiden Pfeile können sich weder weiter in ihrer jeweiligen Bewegungsrichtung bewegen, noch können sie einander ausweichen oder umkehren. Stattdessen reflektiert sich der Impuls des Zusammenstoßes in ihrem Innern (so wie sich ein Nagel krümmt, der erfolglos in eine Wand geschlagen wird): Sie erzittern und verbiegen sich. Dies kann graphisch als innere Krümmung der Pfeile dargestellt werden. In ihrem Innern baut sich eine Energie auf, die zu einer Entladung drängt.

→     →←     ⇝⇜     ⇝⇝⇜⇜

So ergibt sich beim Zusammentreffen der gegeneinander gerichteten Pfeile ein Indifferenzpunkt, an dem unterschiedliche Ereignisse vorstellbar sind: Stillstand, Umkehrung und Trennung, Auslöschung, Erzittern, Zu-Grunde-Gehen. Diese unterschiedlichen Möglichkeiten müssen in einem eigenen Raum voneinander unterschieden werden und erhalten dort jeweils einen eigenen Wert. Dieser Wert ist gegenüber dem Wert der Benennung imaginär und begründet für Spencer-Brown die imaginäre Achse, entlang der sich imaginäre Zustände unterscheiden lassen. Das zeigt sich, wenn die Verschachtelung endlos fortgesetzt wird (Spencer-Brown 1969, 50) und leitet über zur Untersuchung der Gleichungen zweiten Grades.

In gewisser Weise ist bereits in Axiom 1 eine ähnliche Auslöschung zu sehen, wenn zwei calls zu einem einzigen call zusammen gezogen werden können und einer der beiden calls verschwindet. Da hier jedoch der Wert erhalten bleibt, spricht Spencer-Brown noch nicht von einem neuen Wert wie in Axiom 2.

Von Gleichungen zweiten Grades zu kommutativen Diagrammen

So wie das Zeichen eine Mehrfachbedeutung hat als Grenze (cross), Benennung (call), den Übergang über die Grenze (crossing) und den Prozess des Benennens (calling), so sind auch am Zeichen des Re-entry mehrere Aspekte zu unterscheiden. Im Ergebnis will Spencer-Brown zeigen, dass dies Momente eines einheitlichen Vorgangs sind, dessen übergreifende Eigenschaften für sich untersucht werden können (das sind für ihn Oszillation, Gedächtnis und Modulation).

– Verlaufsformen. Bereits innerhalb der elementaren Operationen mit endlich vielen Schrittfolgen treten Verlaufsformen von Formen hervor: , und ihre Spiegelungen. Dies sind Formen, mit denen auf einer Metaebene der Verlauf von Form-Umwandlungen auf der Objektebene beschrieben wird.

– Formen zweiter Ordnung Wenn es gelingt, mit den gleichen Formen sowohl auf der Objektebene wie auf der Metaebene zu operieren, dann handelt es sich um Formen, die sich selbst aufrufen. Sie beschreiben sich selbst. Mathematisch gesprochen sind es Potenzverhältnisse a², bei denen die Variable a in zweiter Potenz auf sich selbst operiert. Spencer-Brown betont, dass es ihm im Unterschied zu Boole gelungen ist, innerhalb der Logik Gleichungen zweiten Grades aufzustellen, die mehr sind als »bloß auf der beschreibenden Ebene« etwas von außen zu betrachten (Spencer-Brown 1969, 84f). In ihrer Selbstbezüglichkeit drohen sie paradox zu werden (nach dem Muster des selbstbezüglichen Satzes ›dieser Satz ist falsch‹), doch bieten sie für Spencer-Brown umgekehrt die Möglichkeit, bei geeigneter Konstruktion Paradoxa dieser Art aufzulösen.

Um das tun zu können, müssen zwei weitere Eigenschaften gegeben sein:

– Unendliche Schrittfolgen Mit Gleichungen zweiten Grades werden Formen gefunden, die nicht »durch eine endliche Zahl von Schritten erreicht werden« (Spencer-Brown 1969, 47), sondern sie können »endlos« fortgesetzt werden (Spencer-Brown 1969, 48). In der Sache nimmt Spencer-Brown Bezug auf den Übergang von der gewöhnlichen Arithmetik zum Differentialkalkül, mit dem Grenzübergänge x → 0 betrachtet werden. Allerdings bezieht sich Spencer-Brown nicht direkt auf den Differentialkalkül, sondern auf die aus dem Zählen in das Unendliche bekannte Schreibweise mit drei Pünktchen 1, 2, 3, …, bei denen mit den Pünktchen die Gesamtheit aller nachfolgenden Zahlen bezeichnet wird ohne sie näher zu differenzieren:   (Spencer-Brown 1969, 48 und entsprechend in Formel E1, Spencer-Brown 1969, 49). Erst Kauffman und Varela haben eine Darstellung mit den üblichen Symbolen des Differentialkalküls entworfen (Kauffman, Varela, 198f), allerdings mit dem Ergebnis: »Much remains to be explored about re-entry forms. For example, we have not discussed the matter of algebraic structures.« (Kauffman, Varela, 201). In diesem Beitrag wird vorgeschlagen, nicht direkt auf den klassischen Differentialkalkül zurückzugehen, sondern auf dessen Weiterentwicklung in der Differentialgeometrie, die mit kategorientheoretischen Methoden arbeitet.

– Imaginäre Zustände Der Übergang zu Gleichungen zweiten Grades ist für Spencer-Brown zugleich der Übergang von der realen Achse, auf der die üblichen Formen eingetragen werden, in die zweidimensionale Ebene der komplexen Zahlen. Dort können eine reale und eine imaginäre Achse unterschieden werden. Entlang der realen Achse erfolgen entsprechend der primären Algebra die elementaren Operationen mit jeweils endlich vielen Schrittfolgen. Entlang der imaginären Achse erfolgt die Unterscheidung in Objekt- und Metaebene und die Unterscheidung in zwei unterschiedliche Kalküle der primären Algebra und der Gleichungen zweiten Grades. Diese beiden Kalküle stehen jedoch nicht äußerlich nebeneinander, sondern sind durch die Operationen der imaginären Zahlen miteinander verbunden. Spencer-Brown führt das nicht näher aus, sondern überlässt dem Leser die Phantasie, den Re-entry, der von den Operationen mit unendlichen Schrittfolgen in die Algebra zurückführt, mit den Multiplikationsregeln der komplexen Zahlen zu verbinden. Die Produkte komplexer Zahlen lassen sich nicht linear auf einer Gerade anordnen (Transitivität), sondern drehen sich durch die komplexe Ebene um den Nullpunkt. Das Bild der Drehung beschreibt den Vorgang des Re-entry, der sich von der realen Achse löst und wieder zurückkehrt, wobei Spencer-Brown dies nicht weiter ausarbeitet. Aber er rechnet mit den Regeln der komplexen Zahlen nach: Erst mit dieser Eigenschaft der imaginären Zustände wird es möglich, für das Lügner-Paradox eine Verlaufsform und mit ihr eine Auflösung zu finden, wenn es in eine quadratische Gleichung gebracht und diese mit der imaginären Zahl i berechnet wird (Spencer-Brown 1972, xxii).

Wie lässt sich der Sprung von der Objektebene zur Metaebene, von endlichen zu unendlichen Operationen, von der eindimensionalen Achse der reellen Zahlen zur Ebene der komplexen Zahlen formalisieren? Spencer-Brown denkt an das Bild eines Tunnels, durch den die übliche Unterscheidung durch Markierungen (Grenzen, symbolisiert durch das cross ) buchstäblich untergraben wird. »Nimm nunmehr an, die Unterscheidung, die durch das Kreuz getroffen wird, werde durch einen Tunnel unter der Oberfläche, in der sie auftritt, zerstört« (Spencer-Brown 1969, 51). Das ist notwendig, da beim Übergang in unendliche Schrittfolgen nicht mehr alle Zwischenschritte einzeln aufgeschrieben und voneinander unterschieden werden können, sondern es geht um die innere Gemeinsamkeit aller Rechenunterschritte untereinander, um ihren Zusammenhang (den Tunnel, über den sie miteinander verbunden sind). Das Ziel ist die Erkenntnis: Alle Schritte folgen jeweils der gleichen Verlaufsform. Gegenüber der übereinstimmenden Verlaufsform kann von den sonstigen Unterschieden abgesehen werden. Alle weiteren Schritte werden einheitlich durch die drei Pünktchen zusammengefasst.

An dieser kritischen Stelle führt Spencer-Brown im Diagramm 2 eine neue Art von Pfeilen ein ( und ), mit denen er den Wechsel in einen imaginären Zustand beschreibt (Spencer-Brown 1969, 53). Statt die von Spencer-Brown vorgeschlagenen Pfeile zu übernehmen, kann dieser Wechsel mithilfe der Kategorientheorie durch die beiden nach oben bzw. unten gerichteten Pfeile ↑ und ↓ dargestellt werden. Sie werden in der Kategorientheorie als Projektion (für ↑) und Schnitt (für ↓) bezeichnet. Um die Darstellung übersichtlicher zu gestalten, werden die in der primären Arithmetik betrachteten Formen durch Buchstaben a, b, c, … benannt. Wie im vorangegangenen Abschnitt gezeigt, könnten sie ebenfalls durch Pfeile dargestellt werden, worauf hier verzichtet wird. Letztlich kann der vollständige Kalküle als stufenweises Operieren mit Pfeilen dargestellt werden. Die vertikalen Pfeile werden in der Kategorientheorie als Morphismen bezeichnet, mit denen im Formkalkül die Umwandlungen einer Form in eine andere gemeint sind. Spencer-Brown hatte hierfür das Zeichen ⇀ eingeführt (siehe oben). Das ergibt die folgende Gegenüberstellung, wobei ich als Beispiel zwei von Baecker genannte Gleichungen zweiten Grades wähle (Baecker, 14, 99). (Andere Beispiele finden sich bei Varela, 17f und bei Kosub mit einer ausgearbeiteten Stabilitätsanalyse; Kosub, 13-18):

Figur 1 a,b: Differentialkalkül, Formkalkül

Figur 1a zeigt in vereinfachter Darstellung den Übergang zum Differentialkalkül. Wenn sich eine Variable von x₁ nach x₂ verändert, verändern sich mitlaufend ihre Differentiale dx₁ und dx₂. Der Pfeil ↑ zeigt die Ableitung einer Funktion f an der Stelle x₁. Der Morphismus dx₁ → dx₂ kann auf Beobachtung beruhen (welche Ableitung einer anderen Ableitung folgt) oder auf Berechnungen, die im Differentialkalkül ausgeführt werden. Der von dx₂ ausgehende Pfeil ↓ zeigt, wie von einer gegebenen Ableitung dx₂ auf den Funktionswert x₂ geschlossen werden kann, dessen Ableitung dx₂ ergibt. Auch dies wird im ersten Schritt auf Beobachtung beruhen, bis Regeln gefunden werden, wie die Ableitung erfolgt. – Anschaulich gesprochen sind für eine gegebene Funktion f die Ableitungen die Steigungen der Tangenten an den beiden Stellen x₁ und x₂ (oder in mechanischer Deutung für eine gegebene Bewegung die Geschwindigkeiten an den Stellen x₁ und x₂). Seit Einführung des Differentialkalküls ist es das Anliegen der Mathematik, den Übergang in den Differentialkalkül so weit als möglich zu verallgemeinern und zugleich sicherzustellen, dass Operationen des Differentialkalküls dx₁ → dx₂ mit den Operationen der ihnen zugrunde liegenden Werte x₁ → x₂ in Übereinklang bleiben.

Figur 1b zeigt analog den Übergang im Formkalkül. Aus einer Form a, die mit endlich vielen Schritten gebildet wurde, wird mit der Projektion ↑ eine Gleichung zweiten Grades, die mit dem Re-entry eine unendliche Wiederholung enthält. Der Übergang zur unendlichen Wiederholung entspricht der Ableitung von x zu dx. Die Gleichung zweiten Grades kann ihrerseits umgewandelt werden und führt zu einer neuen Gleichung.

In Figur 1b wird für den Übergang ↑ elementar vom Übergang einer statischen Identität a auf der Objektebene in eine dynamische Identität auf der Metaebene ausgegangen. Die dynamische Identität ist die elementare Einheit für Gleichungen zweiten Grades. Sie beschreibt nicht mehr eine statisch für sich bestehende Form, sondern den Prozess, durch den ein gegebenes a seine Umgebung erkundet, sich selbst aus unterschiedlichsten Perpektiven zu sehen lernt und darüber seine Identität entwickelt und bewahrt. In den Worten von Hegel: »Statt das unbewegte Einfache zu sein, ist sie das Hinausgehen über sich in die Auflösung ihrer selbst.« (Hegel 1832 II, 44) Sie geht aber nicht nur über sich hinaus, um sich selbst in der Unterscheidung von dem Anderen zu erkennen, das sie nicht ist, sondern sie kehrt aus dieser Bewegung zurück und erkennt, das sie nicht nur vom Anderen unterschieden und durch eine Grenze getrennt ist, sondern in ihrem Hinausgehen zum Anderen dieses von Beginn an bereits an sich selbst enthält. Sie erkennt sich als »das Andere an ihm selbst« (Hegel 1832 I, 127). Der von Hegel gebrauchte Begriff ‘Auflösung’ hat wie die ‘Aufhebung’ eine Mehrfachbedeutung: Das statische a löst sich auf in die dynamische Identität. Zugleich ist damit ein in a verborgener innerer Widerspruch wie ein Knoten, ein Rätsel oder eine Rechenaufgabe aufgelöst. Davon ausgehend können auf weiteren Stufen der Analyse die Auflösung als ein Prozess untersucht und die Frage gestellt werden, wer oder was das Subjekt dieser Auflösung ist. Das führt zur Dreistufigkeit mit Einbeziehung des Beobachters.

Die zweite Gleichung ist ein Beispiel für eine Gleichung zweiten Grades und beschreibt in den Worten von Baecker, »wenn eine Beobachtung zweiter Ordnung ihre eigenen Hypothesen bilden muss, mit welchen Motiven oder Anlässen, mit welchen durch Negation implizierten Kontexten und mit welchem logischen Raum der Bezüge, Einsprüche und Widersprüche sie es zu tun hat« (Baecker, 14). Das ist nach meinem Eindruck eine gegenüber der Identität weiter ausgearbeitete Form. Allerdings ist diese Form zunächst intuitiv entworfen, und es ist noch keine Regel gefunden, wie sie aus der Identität hergeleitet werden kann.

Die Entwicklung eines ausgearbeiteten Formkalküls befindet sich auf einer frühen Stufe, vergleichbar den Anfängen des Differentialkalküls, als zunächst nur einzelne Ableitungen geometrisch oder intuitiv eingeführt werden konnten, bis es gelang, ihre inneren Zusammenhänge zu erkennen. Der hier aus der Kategorientheorie übertragene Rahmen ist daher im Moment nur ein erster Versuch, in die Vielzahl der von Spencer-Brown vorgeschlagenen Ideen eine erste Ordnung zu bringen und den Weg zu zeigen, auf dem weitergegangen werden kann.

Spencer-Brown hat zwei Gleichungen zweiten Grades untersucht. Das ist zum einen der Nachweis der endlosen Wiederholbarkeit des Echolon (E1, Spencer-Brown 1969, 49), die eine komplexere Variante der endlosen Verschachtelung gemäß Axiom 2 in den Formen E2 und E3 darstellt (Spencer-Brown 1969, 50) und zum anderen die Modulatorfunktion E4 (Spencer-Brown 1969, 56), mit der für das Zählen eine Gleichung zweiten Grades gefunden wird. Während das Zählen 1, 2, 3, … auf Objektebene erfolgt, ist mit der Modulatorfunktion auf der Metaebene eine Verlaufsform gefunden, die beschreiben kann, was beim Zählen geschieht und wie es sich automatisieren und endlos fortsetzen lässt. Oksas hat gezeigt, dass diese Form einer Schaltung mit zwei flip-flops nachgebildet ist, die er grün und orange hervorgehoben hat (Oksas, 24, Figure 17). Ich ergänze, dass der Re-entry auf der äußersten (achten) Stufe zwei Wiedereinfügungen enthält: Zum einen wird die orange dargestellte flip-flop-Schaltung ausgeführt und zum anderen erfolgt eine Rückkehr zum Beginn des Prozesses, um dessen endlose Wiederholung zu charakterisieren. Diese zweite Rückkehr ist blau hervorgehoben.

Diese Gleichung ist nicht intuitiv entworfen, sondern im Innern auskonstruiert und maschinell umsetzbar. Ich würde daraus jedoch nicht eine übergreifende Anforderung an den Entwurf von Gleichungen zweiten Grades herleiten, nur solche Gleichungen aufzustellen, die sich ebenfalls durch Automaten realisieren lassen. Spencer-Brown wendet sich ausdrücklich dagegen, der Phantasie Grenzen zu setzen und wünschte sich vielmehr eine »Kreativität des Werkes« und einen »Schöpfungsvorgang« (Spencer-Brown 1969, 88). Es ist zu erwarten, dass intuitiv neue Gleichungen zweiten Grades eingeführt werden, die über die Bindung an Automaten hinausgehen und dazu führen könnten, an ihnen Regeln zu erkennen, die sich nicht auf Automaten reduzieren lassen.

Anmerkung 1: Der Moment, an dem auf der unteren Ebene der Übergang zur oberen Ebene erfolgt, kann mit Günther als Negativsprache bezeichnet werden (Günther 1979). Die untere Ebene enthält Protokollsätze einer Positivsprache. Die Übergangspunkte können angelehnt an Günther als Vakanzen (Leerstellen) bezeichnet werden, an denen beliebige Zeichen eingesetzt werden können. Günther hat diese Gedanken weiter geführt zur Proemialrelation, die vergleichbar den Diagrammen der Kategorientheorie horizontal und vertikal entwickelt wird (siehe Tydecks 2020).

Anmerkung 2: Varela hat den Re-entry als ein eigenes Zeichen gesehen, das gleichwertig neben dem Zeichen steht (Varela 1975). Hier wird dagegen mit der Kategorientheorie gesagt, dass beide Zeichen auf unterschiedlichen Ebenen liegen und sich in ähnlicher Weise voneinander unterscheiden wie x und y einerseits und dx und dy andererseits.

Vom Wiedereintritt in die Form zur Dreistufigkeit (Energie) der Form

So wie an den Formen der primären Arithmetik deren Verlaufsform erkannt werden kann, konnte an dem Entwurf von Gleichungen zweiten Grades eine Vielfalt von Handlungsstrategien erkannt werden, in denen sich ihre Kreativität zeigt, sei dies nun ein intuitiver Entwurf, die Analyse eines Automaten oder die Vorstellungskraft (Phantasie), die anschauliche Beispiele wie das Bild des Tunnels hervorzubringen vermag. Das verstehe ich als den modus vivendi der jeweiligen Wissenschaftler. (Diesen Ausdruck verdanke ich Gesprächen mit Manuel Bachmann.) Wenn für Spencer-Brown »die ganze Abfolge unserer Betrachtungen [...] im Licht von verschiedenen geistigen Zuständen (states of mind) erscheinen können, die wir uns selbst auferlegen« (Spencer-Brown 1969, 59) trifft das genau die dritte Stufe, um die es mir geht. Ein Beobachter protokolliert nicht einfach mit, was auf der Objekt- und Metaebene geschieht. Würde er sich darauf beschränken, könnte er nur die Verlaufsformen des Tuns der Handelnden erkennen. Sondern erkennt deren modus vivendi, und wird sich darüber in der Selbstbesinnung seines eigenen modus vivendi bewusst.

So wie die Zweistufigkeit der primären Arithmetik und der Gleichungen zweiten Grades mit dem Übergang zum Differentialkalkül verglichen werden konnte, kann darauf aufbauend die mit dem Beobachter gegebene Dreistufigkeit mit der aus der Mechanik bekannten Unterscheidung von Kraft, Impuls und Energie verglichen werden.

Figur 2 a,b: Mechanik, dreistufiger Formkalkül

Figur 2a zeigt dreistufig die Veränderung von einem Ort s₁ zu einem anderen Ort s₂, die Veränderung von der Geschwindigkeit v₁ am Ort s₁ zur Geschwindigkeit v₂ am Ort s₂ und von der Beschleunigung a₁ zu a₂. Diesen drei Stufen entspricht die Unterscheidung in Kraft F = m a, Impuls p = m v und kinetische Energie E = ½ m v² (s für space, v für velocity, a für acceleration, F für force, p für pulse, E für energy). – Im Differentialkalkül ist die Geschwindigkeit die erste Ableitung und die Beschleunigung die zweite Ableitung der Ortsbewegung nach der Zeit.

Figur 2b überträgt die Dreistufigkeit der Mechanik auf den Formkalkül. Die unteren beiden Zeilen bleiben erhalten. In der dritten (obersten) Zeile ist mit B₁ ein Beobachter mit seinem modus vivendi eingetragen. Der modus vivendi umfasst die Individualität eines Beobachters, seinen Standort (und damit seinen Horizont) und seinen geistigen Zustand, wie er die Welt zu sehen vermag. Beim Wechsel B₁ → B₂ sind daher verschiedene Möglichkeiten denkbar: Der Wechsel von einem Beobachter zu einem anderen, oder für einen gegebenen Beobachter der Wechsel von einem Standort bzw. einem geistigen Zustand in einen anderen.

Im Formkalkül entsprechen die unterste Ebene der Formen der primären Arithmetik den Orten der Mechanik, die Gleichungen zweiter Ordnung dem Impuls und die Beobachter der Energie. Die Beobachter verfügen über eine eigene Energie, mithilfe derer sie aus der bloßen Beobachtung aussteigen und sich in den Prozess begeben können. Mit diesem Schritt gewinnen sie das Selbstbewusstsein dessen, was schon gegeben ist, denn jede Beobachtung ist bereits ein Eingriff in den Prozess und verändert ihn.

Der modus vivendi entspricht der Energie in der Mechanik. Er ist seinerseits dreistufig: Jeder Beobachter ist empfänglich für die in den von ihm beobachteten Formen gegebene Kraft, dank derer sie auf sich aufmerksam machen und ihn ansprechen können, und er verfügt seinerseits über eine Kraft, sich ihnen zuwenden zu können. Er entwickelt eine Aktivität (Impuls), die sich in den von ihm gezeichneten Formen und Unterscheidungen und den von ihm konstruierten Gleichungen zweiten Grades zeigt. Im Ganzen verdankt sich das Wechselspiel seiner Erfolge bzw. seines Scheiterns (aus dem er zu lernen vermag) seiner Persönlichkeit.

Ausblick Zahlreiche Fragen bleiben offen, von denen zwei hervorgehoben werden sollen: Wie zeigen sich in den kommutativen Diagrammen Feedback-Schleifen, und wie können sich mit ihnen die auf der Objektebene gegebenen Systeme selbstorganisieren? Sind die Diagramme ihrerseits Systeme, die sich selbst zu stabilisieren vermögen? Die Beobachter sind aus dieser Perspektive ein Moment des Systems, das mit sich selbst wechselwirkt und sich darüber weiter entwickelt. – Mehr technisch ist die Frage, wie sich in der Dynamik der kommutativen Diagramme die Eigenschaften der imaginären Zahlen und möglicherweise höherer Zahlklassen wie Quaternionen oder äußerer Algebren zeigen.

Literatur

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