Multiple Mathematik

Mathematik und Ökonomie - Thesen und Arbeitsprogramm 

Basistrends in der Volkswirtschaftsrechnung 
Stoffliche Grundlagen
Elementare Ideen aus der Mathematik (Mutterstrukturen) 
Der Begriff Zyklus (Kreis) 
Kreisfunktionen 
Ananaszyklen 

Basistrends in der Volkswirtschaftsrechnung

Ökonomische Ströme im Welthandel

Im Welthandel (und entsprechend auch in kleineren ökonomischen Einheiten) werden Ströme von Waren und zugehörigen Daten und Informationen betrachtet. Zum Beispiel: Handelsströme, Kapitalströme, Wechselkurse, Zinsen, Preisindizes, Gewinne. Hier interessiert weniger, dass die Ströme in Zahlenmaterial ausgedrückt werden, sondern der Begriff Strom selbst hat ein Gegenstück in der Mathematik. Es ist also nicht nur im Einzelnen zu verfolgen, welche Zahlenwerte die Ströme annehmen, sondern die qualitativen Eigenschaften der Ströme sind zu betrachten:

• Wie stabil und gleichmäßig sind die Ströme?

• Gibt es labile, gefährdete Zonen?

• Gibt es absolute Grenzwerte (z.B. natürliche Grenzen der Rohstoffe)?

Strukturverschiebungen

Die Ökonomie betrachtet mindestens im 20. Jahrhundert verschiedene Strukturverschiebungen. Zum Beispiel:

Kostenstruktur: Gegenüber direkten Kosten gewinnen abgeleitete Kosten wachsende Bedeutung, etwa Gesundheit, Ökologie, Bildung, Dienstleistungen.

Kreditstruktur: Die Grenzen von Sach- und Geldanlagen verschwimmen. Der Kreditsektor gewinnt an Bedeutung, innerhalb des Sektors verlagert sich der Schwerpunkt von Kreditgewährung zu Anleihen. Die Konkurrenz unter den Banken wächst, Großunternehmen wachsen bisweilen aus der Rolle von Kreditnehmern zu Kreditgebern. Insgesamt wächst die Spekulation.

Mathematisch wäre zu bestimmen, wie diese Strukturen und ihre signifikanten Änderungen in den Strömen qualitativ wiederkehren. Ändern die Strukturverschiebungen die qualitativen Eigenschaften der Ströme, z.B. die Stabilität? Wenn ja, in welchem Maß?

Arbeitsteilung

Die ökonomische Arbeitsteilung verändert sich deutlich in allen Gesichtspunkten.

Stofflich: Rohstoffe, Landwirtschaft, Industrie, Dienstleistungen

Geographisch: Neue und größere Ballungszentren, Branchenverteilung.

Wieder ist nach den Rückwirkungen auf die ökonomischen Ströme zu fragen.

Stabilität

Die Stabilität ist jedoch nicht nur durch Strukturveränderungen und fließende Arbeitsteilung beeinflußt, sondern zahlreiche weitere direkte Prozesse kommen hinzu:

• Auflösung autarker Einheiten und der Subsistenzwirtschaft

• Wachsende Verflechtung (in verschiedenen Komponenten)

• Zunahme und Abnahme bestimmter Fixwerte (Staatskosten für Infrastruktur, fixe Kosten der Unternehmen, evtl. weitere)

• mehr oder weniger Flexibilität

• Zunahme und Abnahme von Liquidität und Mobilität

Stoffliche Grundlagen

Worin liegt eigentlich die "stoffliche Grundlage" für mathematische Methoden:

• Planung der Ökonomie (und dadurch Ansatzpunkte für Gleichmäßigkeiten und Quantifizierung)

• Endlichkeit der Ökonomie (und damit endliche Zahlen wie Anzahl der Menschen, Menge der Arbeitszeit, Anzahl der Produkte, Konsumvolumen etc.)

• Starke Zeitabhängigkeit ökonomischer Prozesse

• Möglicherweise Autonomie von ökonomischen Prozessen gegenüber anderen (Naturbearbeitung, Politik, Kultur), wodurch mathematische Modelle möglich werden

Wie weit reichen die mathematischen Modelle: Zeithorizont, Genauigkeit, branchenübergreifend, länderübergreifend, Raumhorizont.

Elementare Ideen aus der Mathematik (Mutterstrukturen)

Basiselemente

Bisher gibt es in der mathematischen Ökonomie nur äußerst wenig Basiselemente. In der auf Ricardo zurückgehenden Ökonomie der Zeit ist es nur die eine Zeitdimension. Die mechanistischen Angebots-Nachfrage-Modelle reduzieren bewußt alles auf die Produktions- und Kaufkraft, ausgedrückt in der einen Gelddimension.

Zwar gibt es also verschiedene, sich gegenseitig ausschließende Modelle. Im Grunde bestand aber der Ehrgeiz der politischen Ökonomie darin, möglichst die gesamte Theorie auf ein einziges Basiselement aufzubauen, wodurch alle diese Theorien einen stark axiomatischen Charakter bekommen und mathematischen Methoden nur wenig Spielraum lassen. Zugleich zerfällt die ökonomische Diskussion in einander gegenüberstehende Positionen, deren Vertreter einander nicht einmal zitieren.

Verhältnis lokal / global

In der Mathematik ist das Verhältnis lokaler und globaler Ereignisse präzise bestimmt. Auch in der Ökonomie gibt es Fragen in dieser Richtung:

Am interessantesten ist die Frage nach der Synchronisierung verschieden langer Wirtschaftszyklen. Ist der kurze Zyklus einfach nur eine präzisere Form des längeren, oder bildet sich die Struktur des Zyklus rekursiv in kleineren Einheiten immer wieder ab? Oder gibt es zwischen den Zykluslängen charakteristische Maßzahlen (wie in der Physik), so dass jeder Zyklus seine eigene Qualität hat? Grundsätzlich weist die Existenz von Zyklen auf mehr als eine Dimension, und je mehr spezifische Zyklen es gibt, desto mehr Dimensionen.

Ströme

Die Mehrdimensionalität führt direkt zur Frage der simultanen Wechselwirkung. Wenn zu der einen Zeit- bzw. Gelddimension weitere Dimensionen hinzukommen, kann es simultane Wechselwirkung im Zeitmoment geben. Kann diese Wechselwirkung mit Selbstorganisationsmodellen erfaßt werden? Die Ausbreitung von Ereignissen erfolgt als Informationsverbreitung, auf die Märkte reagieren, und dabei nicht nur das quantitative Wachsen von Geldwerten in Betracht ziehen. Überhaupt ist die reine Betrachtung von Größenwachstum aufzugeben.

Wenn es Wechselwirkung im Zeitmoment gibt, können schon rein mathematisch Katastrophenprozesse in ganz anderen Formen beschrieben werden (Konstellationen) als im bisher ausschließlich zeitorientierten Krisenbegriff. (Die Krise nur als Ergebnis einer zeitlichen Entwicklung, zyklisch oder chronisch).

Muster

Als Darstellungstechniken kennt die VWL im Grunde nur die Graphik und die Tabelle, wenn sie sich überhaupt auf mathematische Darstellungen einlässt. In der Regel sind es Säulen- und Tortendiagramme, so wie sie jeden Tag in der Wirtschaftsseite in der Zeitung zu sehen sind. Es fehlen geometrische Methoden, d.h. es gibt ausschließlich zeitorientierte Betrachtungen.

Es fehlen erst recht differentialtopologische Methoden, um die komplexeren Strukturen von Stabilität zu erfassen.

Nur wenige neuartige Muster wie etwa point-and-figure-Methoden in der Chartanalyse sind neu eingeführt worden.

Algebra

Auch komplexere algebraische Ansätze fehlen, es gibt im Grunde nur die reelle Analysis aus dem 18. Jahrhundert, da eben nur eindimensionale Zeitfunktionen betrachtet werden. Mehrdimensionale Methoden wie komplexe Analysis, Lie-Algebra, äußere Algebra, Superstrukturen, harmonische Analyse sind aber in der Mathematik reichlich vorhanden und in allen Gebieten der Physik bestens eingeführt.

Der Begriff Zyklus (Kreis)

Dimensionen

Ein Kreis ist immer zweidimensional. Es kann sogar 3 Dimensionen geben, falls bei mehrfachem Durchlauf der Kreis nicht einfach wiederholt wird, sondern Unterschiede auftreten. So kann der Kreis die Form einer Spirale annehmen (mathematisch gesprochen kann der Kreis auch in einem mehrblättrigem Raum liegen, wobei jeder Durchlauf in ein anderes Blatt führt).

Kräfte

Den 2 Dimensionen entsprechen 2 Kräfte, die in der Kreisbewegung wirken: Eine Gravitationskraft, die zum Zentrum hin wirkt und eine periphere Kraft, die tangential von der Kreislinie wegstrebt.

Die Gravitationskraft wirkt im weitesten Sinn erhaltend, konservativ.

Im Zentrum liegen Kapazitäten, Widerstandslinien, die verhindern, dass die Bewegung sich verselbständigt und maßlos wirkt. Sowohl der maßlose überhitzte Aufschwung werden verhindert, wie der bodenlose Fall. Bei den Kapazitäten im Zentrum kann es sich um Bodengröße, Bevölkerungszahl, natürliche Bevölkerungsentwicklung, klimatische Rahmenbedingungen, Produktionsstock (vorhandene Anlagen und Werkzeuge), liquide Reserven handeln.

Im äußersten Fall bewirkt die Gravitationskraft die Rückkehr in die Subsistenzwirtschaft (die Überlebenden ernähren sich vom Eigenanbau).

Die periphere Kraft wirkt dagegen verändernd, innovativ, progressiv. Jede einmal ausgelöste Bewegung tendiert in eine unbegrenzte, entfesselte Dynamik. Ist ein Produkt einmal eingeführt, will es jeder haben. Ist eine neue Produktionsmethode erfolgreich pilotiert, soll sie überall eingesetzt werden.

Langfristig unterstellt die Kreisbewegung einen Ausgleich der beiden Kräfte. Ist auf Dauer eine Kraft stärker, kann es in der dritten Dimension zu einer spiralenförmigen Bewegung kommen (Trend).

Kreisunterteilung

Die Kreisbewegung kann in gleichmäßige Abschnitte unterteilt werden, indem z.B. ein Dreieck, Viereck, Fünfeck etc. in den Kreis einbeschrieben werden.

Mathematisch sind am interessantesten die Fälle, wo die Anzahl der Abschnitte eine Primzahl ist (2, 3, 5, 7 etc.). (In diesen Fällen kann der Kreisteilungskörper aus dem ersten Element vollständig erzeugt werden.)

Kreisunterteilungen werden in den Naturwissenschaften systematisch als Symmetrien untersucht.

Rotation

Der Kreis kann die Rotation eines Stroms darstellen, wodurch die Trenddimension eine neue Interpretation erhält. Der Kreis erfüllt dann eine Extremaleigenschaft: maximale Durchflußmöglichkeit.

Weitere mathematische Ansatzpunkte

Projektion des Kreises auf die Kugel.

Quaternionen.

Kreisfunktionen

Schwingungskurve

Die Kreisbewegung scheint überall gleich zu sein, beliebig, welcher Punkt betrachtet wird. Dieser Eindruck entsteht, da zunächst nur das räumliche Bild des Zyklus als Kreis, die Kreisgestalt, betrachtet wurde.

Durch die Zeit kommt die Darstellung als Schwingungsfunktion hinzu:

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Mathematisch als Formel:

Die vier Abschnitte eines Zyklus

Die Schwingungsgestalt lässt gegenüber der Kreisgestalt qualitative Unterscheidungen zu:

An die Stelle des Mittelpunktes im Kreis tritt die eindimensionale, resultierende, langfristige Trendentwicklung (im einfachsten Fall die waagerechte Gerade, um die die Schwingung oszilliert).

Abweichend vom Trend können Tiefs und Hochs unterschieden werden.

Durch die Extrem- und Wendepunkte wird die Schwingung in 4 Phasen zerteilt:

D

C

D

A

C

A

B

A

B

A

B

B

A = Depression

B = Erholung

C = Aufschwung

D = Krise

Hierbei verhalten sich Wachstum und Wachstumsraten jeweils spiegelbildlich. Das heißt, wenn die absoluten Zahlen, z.B. der Produktionsauslastung, der Beschäftigung etc., im Tief, in der Krise sind, sind dennoch die Veränderungsraten dieser Zahlen positiv. Im Hoch dagegen geht es zwar aktuell gut, aber die Veränderungsraten weisen nach unten.

Beispiel: Im Nachkriegsaufschwung der 50er und 60er des 20. Jahrhunderts waren die absoluten Zahlen der Produktion usw. ständig am steigen, aber die Veränderungsraten gingen laufend nach unten, bis sie auf dem Höhepunkt auch die absoluten Zahlen nach unten zwangen.

(Mathematischer Hintergrund: Die cosinus-Funktion ist die Ableitung der sinus-Funktion und umgekehrt.)

Vor- und nachlaufende Zyklen

Der Kreis wurde in die Schwingungskurve umgewandelt durch Hinzunahme der Zeitdimension. Das heißt aber nicht, dass beide Bilder identisch sind, im Grunde nichts Spezifisches haben. Vielmehr resultiert in der Realität eine Bewegung aus 3 Schwingungskurven, wobei der Hauptkurve (Beschreibung des aktuellen Zustandes) eine anstoßende Kurve vorläuft, die der Kraft der Eigenbewegung entspricht (innovativ), und eine bremsende Kurve nachläuft, wodurch sich die Auswirkungen des Zentrums bemerkbar machen (konservativ):

V

X

N

V

N

N V

X

N

(Mathematisch können die beiden zusätzlichen Kurven als Phasenverschiebungen der Hauptkurve betrachtet werden.)

Die 3 Kurven laufen wie ein Bündel so eng beieinander, dass nicht die eine wieder das Spiegelbild einer andern wird.

Beispiele und ökonomische Interpretation:

8-10-jähriger Zyklus (Konjunkturzyklus):

• Vorlauf: Gewinne, ca. 1/2 bis 1 Phase früher, d.h. 1/2 – 1 Jahr. Während die Produktion noch fällt, erholen sich die Gewinne bereits wieder. Umgekehrt beginnen die Gewinne bereits vor dem Konjunkturhöhepunkt wieder zu fallen. Die Gewinnentwicklung löst mit einer halbjährigen Verzögerung die Veränderungen der Produktionsentwicklung aus.

• Hauptlauf: absolute Produktion

• Nachlauf: Preise, Zinsen, ca. 1 Phase später, d.h. 1 Jahr. Erst wenn der Aufschwung bereits 1 Jahr begonnen hat, beginnen auch die Preise wieder zu steigen. Am anderen Ende steigen die Preise selbst nach dem Konjunkturhöhepunkt weiter, da angesichts des Aufschwungs viele Marktteilnehmer Kredite aufgenommen haben und nun weiter Geld für die Kreditfinanzierung brauchen.

55-60-jähriger Zyklus (Kondratieff-Zyklus):

• Vorlauf: Gewinne, Innovationen ca. 1/2 Phase früher, d.h. 5-8 Jahre

• Hauptlauf: absolute Produktion

• Nachlauf: Preise, Zinsen, Monopol, Protektionismus ca. 1 Phase später, d.h. 13 Jahre

Ananaszyklen

Wie sind Zyklen mit unterschiedlicher Zeitdauer synchronisiert? Ein Ansatz könnten Ananaszyklen sein, mit denen 3 Zyklen in einem dreidimensionalen Bild (der Ananas) verknüpft werden.

Jede Schuppe auf der Ananas ist 6-eckig, so dass durch jede Schuppe 3 Bänder hindurchlaufen: aufsteigend von links unten nach rechts oben, aufsteigend von rechts unten nach links oben und senkrecht von unten nach oben. Je nach Größe der Ananas sind die Zyklen länger oder kürzer. Basis ist die Anzahl der Schuppen, die direkt am Boden stehen. Mathematisch kann das Verhältnis der drei Zyklen allgemein bestimmt werden (wobei n größer als 2 sein muß):

Beispiele:

Diese Zahlen liegen verblüffend nahe an den Werten der wirklichen Zyklen, wenn z.B. ein 6-jähriger Lagerzyklus, ein 11-jähriger Konjunkturzyklus und ein 60-jähriger Kondratieff-Zyklus angenommen werden.

Das Bild der Ananas kann zweidimensional veranschaulicht werden:

• Beispiel: Die Schuppen 1, 2 und 3 stehen am Boden; n = 3

• von links unten nach rechts oben ergibt sich ein 5-er Zyklus; 5 = 2*3 – 1 (z.B. 1 ® 6, 12 ® 17, etc.)

• die Endpunkte in jeder Zeile liegen 12 auseinander; 12 = (3 – 1) * 2 * 3

(z.B. 1 ® 13, 11 ® 23, etc.)

Etwas komplizierter ist es, wenn n = 5 gewählt wird:

• Die Schuppen 1, 2, 3, 4 und 5 stehen am Boden; n = 5

• von links unten nach rechts ergibt sich ein 9-er Zyklus; 9 = 2*5 – 1

  (z.B. 1 ® 10, 48 ® 57, etc.)

• die Endpunkte in jeder Zeile liegen 40 auseinander; 40 = (5 – 1) * 2 * 5

(z.B. 1 ® 41, 28 ® 68, etc.)

1989 - 1993

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