Einleitung

Meistens hilft die Mathematik, um Aufgaben aus irgendwelchen Gebieten zu verifizieren, auszurechnen oder zu optimieren. Woher kommt ihr Vermögen, die inneren Verhältnisse zu klären und die gestellte Aufgabe in Harmonie zu bringen? Und wie kommt es, dass niemand ernsthaft diese Fähigkeit anzweifelt? Wenn alles gut geht, bleibt die Mathematik im Hintergrund und keiner nimmt wirklich wahr, was ihr zu verdanken ist. Sie erscheint als eine Hilfswissenschaft, von der nur verlangt wird, dass sie immer im rechten Zeitpunkt da ist und funktioniert. Ansonsten aber hat sie weder bei den großen Entscheidungen noch bei der "wirklichen Arbeit" mitzureden.

Muß sich die Mathematik auf diese Rolle bescheiden? Hier sollen einmal ihre eigenen Fragen aufgeworfen werden. Es wird also nicht gefragt, wie noch besser, erfolgreicher oder zielorientierter gerechnet werden kann. Auch nicht, welche neuen Aufgaben der Mathematik gestellt werden könnten und wo sie sich lieber zurückziehen sollte. Und es wird nicht gefragt, wie sie sich verständlicher oder weniger widerborstig machen könnte, da ja nun einmal klar ist, dass sie dann das größte Ansehen genießt, wenn sie fast unbemerkt bleibt. Sondern es wird nach ihrer eigenen Mitte gefragt. Ausgehend von einer Idee Hegels wird die in der "Wissenschaft der Maße" gesehen, die Hegel auch als "Mathematik der Natur" bezeichnet hat.

1. Einige Fragen aus der Mathematik im 20. Jahrhundert

Wie weit können politische Zeitströmungen auf die Mathematik Einfluß nehmen? Heute bereits fast vergessen bzw. so gut wie verdrängt ist das Unterfangen der Deutschen Mathematik. Sie hat sich nicht in dem unmittelbaren Sinn schuldig gemacht wie die Justiz, Medizin oder Biologie. Aber sie markiert einen Bruch in der Geschichte der Mathematik und ohne ihr Verständnis werden auch andere Fragen der mathematischen Grundlagen offen bleiben.

Verführt Mathematik zum Schweigen? Schon immer steht sie dem sprachlichen Zweig gegenüber. Aber in diesem Jahrhundert entstehen Philosophien, die die Mathematik wiederholen (Logischer Positivismus), sich angesichts der mathematischen Exaktheit selbst zum Schweigen verurteilen (Wittgenstein) oder unbesehen mathematische Begriffe übernehmen und damit auf die eigene Sprache zum guten Teil verzichten (Baudrillard, Chaostheoretiker).

Der Begriff "Mathematik der Natur" ist aus der "Wissenschaft der Logik" von Hegel übernommen. Angesichts der Erfolge der astronomischen Theorien (Brahe, Kepler, Newton) war er bei Hegel rein positiv gedeutet. Im 20. Jahrhundert wird die Astronomie jedoch völlig umgewälzt und die weiteren Ergebnisse sind bis in alle Grundlagen offener denn je. Das gibt Anlaß, die mathematische Axiomatik mit der Vorstellung von Konstellationen (Sternbildern) zu konfrontieren.

Auslöser für die neue Astronomie war die Entdeckung der inneratomaren Prozesse. Kaum hatte sich die Physik von den Grenzen der reinen Vernunft freigemacht, stieß sie in der Quantenmechanik auf die Unschärferelation. Dadurch schränken sich Grundlagenbegriffe wie Welle und Teilchen, Licht, Materie und Energie gegenseitig ein und die reine physikalische Beobachtung ist dahin. Bis heute ist dies Problem nicht aus der Welt. Stattdessen wird nun seit den 60er Jahren unter dem Einfluß fernöstlicher Religionen nach vereinheitlichenden Modellen gesucht, die gewissermaßen eine Ebene tiefer die Welt atomar darstellen sollen (Quarks, Strings, etc). Der mathematisch zugrunde liegende Konflikt zwischen algebraischen und kontinuierlichen Strukturen bleibt dabei aber weiter offen.

Mathematik der Natur wörtlich genommen: Mathematik ist in der Natur materialisiert, so in Molekülstrukturen oder allgemeiner in symmetrischen und fast-symmetrischen Anordnungen von Materie. Ist die Mathematik einfach das Design der Natur? Ist es nur eine Frage ausreichend großer Rechnerkapazitäten, die Mathematik der Natur unmittelbar aus dem Beobachtungsmaterial auszurechnen und dann mit der Mathematik die Natur beliebig neu zu modellieren? Kann mit solch einer molekularbiologischen Mathematik die Frage des Lebens neu gestellt und gelöst werden? Hier werden heute allgemein die Zukunftsfragen vor der Wende zum neuen Jahrhundert gesehen. Die alten Materialismus- und Ethikfragen sind neu aufgeworfen.

2. Mathematik und Metaphysik

Traditionell wird die Mathematik als Beweis für den objektiven Geist angesehen, der unabhängig von den Menschen und ihren Lebens- und Arbeitsprozessen da ist. Da sie sowohl in den Naturwissenschaften als auch in Ökonomie, Ästhetik usw. anwendbar ist, kann ihre Existenz aus keinem Einzelgebiet abgeleitet werden und muß folglich vor diesen Dingen liegen.

Zum Beispiel können die Eigenschaften des Raumes (Geometrie) nicht aus den räumlichen Eigenschaften bestimmter Dinge erklärt werden, sondern umgekehrt haben alle Dinge räumliche Eigenschaften, weil sie nicht anders als im Raum existieren können, der allgemeiner ist als sie selbst. Die Mathematik gehört also in den Bereich der Metaphysik und nicht der Physik oder einer anderen Naturwissenschaft. Aber kann es wirklich stimmen, dass die mathematischen Eigenschaften der Dinge metaphysisch sind? Verliert nicht gerade umgekehrt eine Wissenschaft ihren metaphysischen Charakter und tritt in ein ausgewiesenes Verhältnis zur Natur, wenn sie mit mathematischen Symbolen zu operieren beginnt und alle Mythologie von sich streift?

Die aristotelische Physik erklärt z.B. Fallbewegungen so, dass alle Dinge zu ihrem natürlichen Ort hinfallen wollen und erst dann in Ruhe bleiben, wenn sie bei sich sind. Die räumlich stabile Lage gehört zu den qualitativen Eigenschaften der Dinge. Luft bleibt oben, Wasser fließt zum tiefsten erreichbaren Punkt. In dieser Physik hat der Raum qualitative Bedeutung, der vom Himmel bis zur Hölle reicht. Die Physik ist in ihren Grundlagen mythologisch. Mit der Anwendung der Mathematik auf die Fallgesetze bei Galilei wird das völlig anders. Jetzt kann die Fallbewegung mathematisch beschrieben und berechnet werden. Die mathematische Formel kennt keine qualitativ ausgezeichneten Lagen bestimmter Gegenstände im Raum, sondern gilt für alle Gegenstände überall im Raum gleich. In diesem Raum ist kein Platz mehr für mythologische Mächte. Mathematisierung ist hier gleichbedeutend mit Quantifizierung und Objektivierung. Die moderne Mathematik entstand in engstem Kontakt mit der bürgerlichen Aufklärung und erlebte ihren Durchbruch an den Eliteschulen der französischen Revolution.

Mathematische Formeln werden gefunden, indem die Naturbeobachtung konsequent auf quantitative Messungen beschränkt wird und alle subjektiven Einflüsse ausgeschlossen werden sollen. In den Meßreihen wird nach Wiederholungen gesucht, die zu einer Formel verallgemeinert werden können.

Die hierauf aufgebaute Physik hat aber schließlich mit der Allgemeinen Relativitätstheorie von Einstein unerwartet zum Ergebnis geführt, dass doch aus den Eigenschaften der Bewegungen der Himmelskörper die Geometrie des Weltalls abgeleitet werden soll und nicht umgekehrt. Nach 300 Jahren Aufklärung wird die Mathematik zum Gebiet, wo das Verhältnis von Physik und Metaphysik sich nochmals umzukehren beginnt.

3. Mathematik und Mythos

Mathematik und Mythologie scheinen komplementär zu sein. Die unmathematische Wissenschaft verbleibt in qualitativer Beschreibung und erklärt die Dinge aus Ursprungsmächten. Mit der Anwendung mathematischer Methoden erscheint ein Gedankengang bereits dadurch als bewiesen, dass er mathematisch korrekt ist. Doch kommen Bedenken. Der Übergang von den gemessenen Größen zur mathematischen Formel ist nur möglich, wenn mit mathematischen Symbolen (wie +, -, =, f(x), df) gearbeitet wird. Wenn aber überall die gleichen Symbole an die Stelle der Mythologie treten, drohen sie dann nicht ihrerseits mythologisch und der jeweils betrachteten Sache äußerlich zu werden? Sind sie nicht vielleicht sogar die Methode der Unterwerfung und Zurichtung der Natur, indem nur noch das gesehen und analysiert wird, was mathematisch darstellbar ist?

Auch darf nicht vergessen werden, dass es Symbole für das Unendliche, für transzendente Funktionen, für Grenzübergänge gibt, also für Sachverhalte, die sich der unmittelbaren Wahrnehmung entziehen. Sie lassen sich bestimmt nicht beliebig aus ihrem mythologischen oder religiösen Kontext reißen, ohne dass sie zu nichtssagenden Zeichen verkommen.

Eine Mathematik der Natur muß quer zu beidem stehen. Sie soll "natürlich" sein und steht so in der aristotelischen Tradition. Sie soll aber auch mathematisch sein und auf eigenen Symbolen basieren, die gegenüber mystischen Begriffen ein Eigengewicht haben.

4. Mathematik und Materialismus

Während der Idealismus immer von der Mathematik fasziniert war, konnten Materialisten nur wenig mit ihr anfangen. Sie bedeutete für sie Feindesland und wäre am liebsten samt Idealismus und Metaphysik in Bausch und Bogen widerlegt worden. Erstaunlich anders verhält es sich gegenüber Naturwissenschaft und Technik. Für den Idealismus gehören diese in den Bereich der Sklavenarbeit, zur Dummheit. Für den Materialismus stellen sie dagegen die Basis der menschlichen Gesellschaft dar und sind der entscheidende Vermittlungspunkt, wie die Gesetzmäßigkeiten der Gesellschaft auf den Gesetzmäßigkeiten der Materie beruhen. Am klarsten steht das bei Marx und Engels, wo in der Dialektik von Produktivkräften und Produktionsverhältnissen die Evolution der Natur in der menschlichen Gesellschaft ihre historisch fortgeschrittenste Stufe erreicht hat.

Während aber der so bewunderte Fortschritt der Produktivkräfte seine Dynamik zum guten Teil der Anwendung der Mathematik verdankt - und sich deswegen keineswegs schämt -, bleibt der Materialismus betont unmathematisch. In der langen Kontroverse zwischen bürgerlicher und marxistischer Ökonomie ist am auffallendsten, wie sich auf der einen Seite die bürgerlichen Theoretiker bemühen, mit mathematischen Techniken aus den Naturwissenschaften zu arbeiten (Gleichgewichtsmodelle, Zeitreihen, Input-Output-Analysen etc), während die marxistische Seite im wesentlichen qualitative Gesetzmäßigkeiten kennt (Gesetz der Akkumulation, der Verelendung, des Ausgleichs und Fall der Profitrate, aber jeweils ohne quantitative Zahlenangaben über Grenzwerte).

Die Argumente der mythologischen Tradition gegenüber der Mathematik werden auf dem Gebiet der Ökonomie vom Marxismus wiederholt: Die bürgerliche = mathematische Wissenschaft bleibe rein quantitativ und damit oberflächlich. Damit bleiben dem Materialismus die Erfolge der Technik letztlich unverstanden und er selbst ist in der ökonomischen Praxis verblüffend unkreativ und erfolglos. Mathematik der Natur soll dennoch eine materialistische Grundhaltung bewahren. Allerdings soll eher in die Tradition von Pythagoras und Kepler zurückgekehrt werden. Die Mathematik wird wie handwerkliches Geschick, künstlerische Gestaltung, technische Eingebung, wie die anderen Naturwissenschaften als eine im Prinzip unbegrenzte Fähigkeit der Menschen verstanden, die Natur zu beobachten, in eigenen Zeichensystemen darzustellen und daraus eigene produktive Verfahren zu gewinnen. Die mathematischen Symbole sind das Spezifikum gegenüber den anderen Fähigkeiten. Diese Ansicht soll nicht bewiesen werden, sie dient als Leitfaden.

5. Mathematik im Orient

Der Orient ist für Europa seit dem Römischen Reich eine Art reale Utopie, der Ort unerfüllter Möglichkeiten. Mit ihm werden assoziiert: Viel Sonne und Mittag, Ruhe und Heiterkeit, Lebensfreude und Sicherheit im eigenen Körper, Geborgenheit im weiten offenen patriarchalischen toleranten Reich, Gastfreundschaft und Wanderleben, märchenhafte Architektur und Textilkunst, Geburtsstätte zahlreicher Religionen und Kulte.

Insbesondere im 9. bis 13. Jahrhundert blühte hier die Mathematik. Alle überlieferten Quellen flossen in einmaliger Weise zusammen: Die Texte der griechischen Antike wurden ebenso übersetzt wie die indische Mathematik. Aus Ägypten wirkten mystische (hermetische) Traditionen und es bestand wohl auch einige Kenntnis der chinesischen Mathematik.

Arabien war keineswegs bloß passiv, sondern Zentrum des Welthandels. Die Mathematik entwickelte hier ihren eigenen unverwechselbaren Stil: Eine möglichst einfache, treffende, transparente Wissenschaft. Angefangen mit dem konsequenten Einsatz der indischen Zahlen (die seither als arabische Zahlen gelten) war sie in jeder Beziehung praktisch orientiert, in den Inhalten (Geometrie, Astronomie, Verwaltungsaufgaben) wie den Methoden (Algorithmen, Darstellung reeller Zahlen durch Annäherungsverfahren).

In vieler Beziehung steht sie der heutigen numerischen Mathematik näher als die griechische Tradition. Bis heute werden ständig neu Ergebnisse und Erkenntnisse der arabischen Mathematik wieder ausgegraben (besonders auf dem Gebiet der Zahlentheorie), die nicht für möglich gehalten worden waren.

Das wirklich Besondere der orientalischen Mathematik kommt aber daher, dass dort Zahlen und Buchstaben mit den gleichen Symbolen dargestellt werden. Jede Poesie ist unmittelbar Mathematik, jede Komposition Zahlenspiel, alle Hermeneutik analysiert die Texte auf ihre Zahlenwerte. Zahlenmythologie reicht tief in die Religion bis in die Schöpfungsgeschichte und den Gottesbegriff.

Konsequenterweise wurde die Trigonometrie im Orient begründet, wodurch die inneren Zahlenverhältnisse geometrischer Figuren gefunden werden können. Bei diesem Ideenreichtum ist der Verlust um so größer, der mit dem Erlöschen der Mathematik im Orient entstanden ist. Von ihr blieb nur die Ahnung einer anderen Herangehensweise, die mit zum Geheimnis des Orients zählt und als ständige Anregung in der Zukunft der Mathematik bewahrt bleiben soll.

6. Mathematik in der Renaissance

Noch tiefer versunken ist die naturmagische Mathematik der frühen nordwesteuropäischen Kulturen, z.B. der Kelten. Gab es dort überhaupt eine mathematische Wissenschaft? Die letzten Zeugnisse sind aus der Renaissance erhalten, aber kaum mehr von den orientalischen Einflüssen zu trennen. Bestenfalls lässt sich mit künstlerischer Phantasie versuchen, aus den Höhlenzeichnungen eine Art "Steinzeitgeometrie" abzuleiten (so z.B. Rune Mields).

In den frühen Kulturen wurde in der Natur nach Marken gesucht, um die richtigen Zeitpunkte für die Landwirtschaft (Aussaat, Pflege, Ernte) zu bestimmen und Katastrophen vorherzusagen (Bauernregeln). Im unwirtlichen Gelände mußten Wege und Standorte für die Besiedelung gefunden werden. Als Zeichen konnten z.B. die Verhaltensweisen der Zugvögel gedeutet werden, langfristige Klimaentwicklungen wurden an den Verwitterungsmustern des Gesteins abgelesen, Art und Besonderheiten des Baumbewuchses gaben Auskunft über die natürliche Bodenbeschaffenheit und Grundwasserverhältnisse.

Im Gegensatz zum Orient gab es keine Herrschaftszentren, wo die Naturforschung im Umfeld des Hofes erfolgt. Es gab weder Beamte noch Akademien, die die Wissenschaft organisiert haben. Die Symbole deuten wie die frühen ägyptischen Hieroglyphen unmittelbar auf Formen in der Natur und können eine eigene Faszination ausüben, wenn sie die lokalen Besonderheiten Nordwesteuropas treffen. Ihre Instrumentalisierung im Nationalsozialismus hat schlagartig die Macht gezeigt, die sie nach wie vor an sich tragen. Um so vorsichtiger ist darauf zurückzukommen, zumal nach Jahrhunderten des übertriebenen Rationalismus und der Körperfeindlichkeit die Gefahr des Umschlags in Irrationalismus und körperbetonte, repressive Gewaltverhältnisse droht.

Diese Art von Naturforschung blieb bis in die Renaissance erhalten und wurde dort am ehesten als Naturmagie bezeichnet, wobei der Ausdruck Magie bereits wieder orientalischen Ursprungs ist. Naturphilosophie und Naturmagie waren nicht klar getrennt. Die Naturmagier erforschten Sympathien und Antipathien, Signaturen, magnetische Anziehungskräfte, Wirkkräfte von Steinen und Kräutern, mechanische Künste, optische Täuschungen u.s.w. Sie verstanden sich nicht als Wissenschaftler, sondern es waren sogenannte virtuosi, curiosi, Dilettanten, Instrumentenbauer, Projektemacher.

Die Mathematik war hierin so etwas wie ein Geheimwissen, welches durch die Naturmagie offenbart wird. In der ersten englischen Übersetzung von Euklid schreibt 1570 der Mathematiker John Dee im Vorwort über die Naturmagie: "Diese Kunst lehrt uns, all die wertvollen Schlüsse, zu denen die mathematischen Künste gelangt und die von der echten Naturphilosophie weiterentwickelt worden sind, zur gegenwärtigen sinnlichen Erfahrung zu bringen. Sie erweitert sie eben diesen Künsten entsprechend wie auch durch ihre eigene Methode. (...) Und weil sie durch Erfahrungen voranschreitet, auch die Gründe für ihre Schlußfolgerungen in der Erfahrung sucht und die Schlußfolgerungen selbst wieder in Erfahrung umsetzt, nennt man sie 'scientia experimentalis'." (zitiert nach Marie Boas, s.202f). Während sonst die Mathematik als Werkzeug des Geistes oder der Gesellschaft angesehen wird, handelt es sich hier um eine elementare Mathematik der Natur, die davon lebt, dass sie unmittelbar an den Ursprungsmächten der Natur teilhat. Sie baut nicht auf Logik und Ableitung, sondern auf Intuition und Demonstration.

1989

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