Walter Tydecks

 

Wie aus den Zahlen Wissenschaft wurde

– Der Satz des Pythagoras

Pythagoras am Westflügel der Kathedrale von Chartres
Pythagoras am Königsportal der Westseite der Kathedrale von Chartres

Beitrag für den Themenkreis Naturwissenschaft und Technik von 50plus aktiv an der Bergstraße am 27.1.2016 in Bensheim, stark erweiterte Version

 

 

Einleitung

Dieser Beitrag führt das Thema Wie aus den Bildern Zahlen wurden fort: Den Ägyptern und Babyloniern war es nicht nur gelungen, die frühen Bilder zu Zahlzeichen zu verdichten, sondern sie hatten im Prinzip bereits alle Rechenmethoden entwickelt, die bis heute gültig sind. Letztlich werden bis heute alle neuen Erkenntnisse über die Zahlen und das algorithmische Arbeiten mit Zahlen nur verständlich, wenn auf ihre Quellen bei den Ägyptern und Babyloniern zurückgegangen wird. Die Mathematiker und Philosophen des antiken Griechenlands haben das gewürdigt und sich in großer Bescheidenheit als Schüler des Orients verstanden. In diesem Beitrag geht es um das Neue, das erst in Griechenland gelang: Wie aus den Zahlen Wissenschaft wurde.

Dafür steht stellvertretend der Satz des Pythagoras. In dem Beitrag wird jedoch weder das Wissen über die ägyptische und babylonische Mathematik vorausgesetzt noch soll er Schulwissen aus dem Mathematik-Unterricht wieder auffrischen oder abfragen. Mathematisch gesehen ist der Satz des Pythagoras sogar wesentlich einfacher als die weit anspruchsvolleren Rechnungen und Rechenmethoden der babylonischen Mathematik. Das Besondere des Satzes des Pythagoras ist der völlig neue Geist, der mit ihm in die Mathematik einzog und die Wissenschaft begründet hat. Um das zu verstehen werden Ausflüge in die Mythologie, Philosophie bis hin zur Religion wichtiger sein. Es wird sich zeigen, dass der Satz des Pythagoras als eine wissenschaftliche Art der Offenbarung verstanden werden kann. Die moderne Wissenschaft ist in dem Moment gegründet wurden, als die Menschheit fähig wurde, auf Offenbarungen dieses Typs hören und sie verstehen zu können, so wie sie in früherer Zeit und anderen Kulturen offen war für göttliche Offenbarungen.

Ein solches Verständnis und Wissen um die Grundlagen der westlichen Wissenschaft ist weitgehend verloren gegangen und vollständig aus dem gewöhnlichen Unterricht verschwunden. Aber es soll nicht nur darum gehen, das wieder wachzurufen, sondern zu zeigen, welche grundsätzliche Bedeutung der Satz des Pythagoras für die modernste Wissenschaft hat, insbesondere für die Quantenmechanik. Das soll nicht mit mathematischen oder physikalischen Formeln entwickelt werden, sondern ausgehend von der Begründung der Wissenschaft in Griechenland an ihren Grundlagen, die nach meiner Überzeugung allgemeinverständlich sind. Es kommt nur darauf an, sie wieder ins Bewusstsein zu rufen.

Das Bild zeigt die Darstellung des Pythagoras an der Westfront der Kathedrale in Chartres. Er sitzt dort neben Aristoteles zu Füßen der Musik. Die Musik war seine Inspiration, und es wird sich zeigen, wie bis zur Quantenmechanik die musikalischen Harmonien die Wissenschaft begründen.

Was besagt der Satz

Der Satz des Pythagoras sagt aus, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat über die Grundseite (Hypotenuse) gleich groß ist wie die Summe der Quadrate über die beiden anderen Seiten:

Pythagoras Satz

Satz des Pythagoras am rechtwinklingen Dreieck
Dreieck mit den Ecken A, B und C sowie den Seiten a, b, c und den Winkel α, β und γ. Die beiden Schenkel (Katheten) sind mit a und b benannt, die Grundseite (Hypotenuse) mit c.

An diesem Bild ist zweierlei bemerkenswert: Wie sind die Griechen überhaupt darauf gekommen, ein solches Bild zu entwerfen? Auf den ersten Blick scheint es sich um eine recht spezielle, nur für Mathematiker interessante Aufgabe zu handeln, und es nicht direkt erkennbar, für welche Anwendungen er gut sein soll. Und noch weniger ist an diesem Bild zu sehen, wie und warum diese geometrischen Verhältnisse eine solch große Bedeutung für die Wissenschaft bekommen haben.

Wird ein Bild wie dieses jemandem vorgelegt, der noch nicht den Satz des Pythagoras kennt und es sich unbefangen anschaut, der wird ohne zu rechnen oder zu zeichnen wahrscheinlich eher vermuten, dass das Quadrat über die Grundseite größer ist, da von der Sinneswahrnehmung häufig die jeweils größte Figur überbewertet wird. Nach ein wenig Nachdenken würde vielleicht umgekehrt geantwortet, die Summe der Quadrate über die beiden anderen Seite sei größer, da offensichtlich die Gesamtlänge der beiden anderen Seiten größer als die Länge der Grundseite ist und daher vermutet werden kann, dass auch die Summe der Quadrate über größer ist. Intuitiv ergibt sich keine unmittelbar überzeugende Lösung, und ein befriedigender Beweis sollte aufklären, wie die Aussage des Satzes zustande kommt.

Und was geschieht, wenn von einem rechtwinkligen Dreieck zu einem nicht-rechtwinkligen Dreieck übergegangen wird? Dort gilt der Satz des Pythagoras nicht mehr, aber mit seiner Hilfe kann berechnet werden, um wie viel die Quadrate über die beiden Außenseiten größer bzw. kleiner als das Quadrat über die Grundseite sind. Der rechte Winkel stellt einen Grenzfall dar, und nur für ihn gilt der Satz des Pythagoras. Aber wie kam jemand darauf, diesen Grenzfall in seiner Bedeutung zu erkennen?

Schrittweise soll ausgeführt werden, warum dennoch der Satz des Pythagoras eine solch große Bedeutung gewinnen konnte. An ihm zeigt sich eine neue Art der Wissenschaft, und er ist heute grundlegend für die gesamte Physik.

Babylonische Mathematik

Die Babylonier waren da ganz anders. Ihre Mathematik ergab sich ausschließlich aus Aufgaben des alltäglichen Lebens. Und wenn sie für die Mathematik systematische Regeln aufgestellt haben, war das wiederum an praktischen Zwecken orientiert, um mit ihnen einfacher, schneller und sicherer rechnen zu können. Viele wundern sich, warum sie nicht wie wir mit dem Zehner-System, sondern einem scheinbar unübersichtlich großen Sechziger-System gerechnet haben, doch ist im Grunde schnell einzusehen, dass im Gegenteil das Sechziger-System im Umgang mit großen Zahlen wesentlich einfacher und anschaulicher ist als das am Zählen mit den Fingern orientierte Zehner-System. Es wird bis heute bei der Uhrzeit mit den 60 Minuten und 60 Sekunden sowie bei den Kreisdarstellungen mit 360 Grad genutzt. Während es eine recht abstrakte Unterscheidung ist, Hunderter, Tausender, Millionen usw. voneinander zu unterscheiden, hat jeder sofort ein intuitives Verständnis für die unterschiedlichen Größenordnungen, wenn von Minuten, Stunden, Tagen, Wochen und Jahren gesprochen wird. Das Verständnis und der Umgang mit der Mathematik wären sicher um Vieles leichter, wenn das konsequent durchgehalten und nicht wie heute das Zehner- und Sechziger-System gleichzeitig nebeneinander benutzt würden.

Wenn die Babylonier rechneten, ging es um konkrete Fragen wie die Aufteilung eines Grundstücks oder eines Erbes, die Verrechnung von Warenkontrakten, Orientierung am Himmelssystem oder Datierung von jährlich wiederkehrenden Ereignissen (wie zum Beispiel: Auf welchen Wochentag fällt im nächsten Jahr der Frühlingsanfang oder Ostern). Das Jahr mit seinen 365 Tagen und 12 Monaten war für sie eine Bestätigung des Sechziger-Systems. In zwei Zusammenhängen stießen sie auf Fragen, die aus heutiger Sicht zum Satz des Pythagoras hätten führen können: Berechnungen des Abstandes einer angelehnten Leiter an einer Wand, und Beobachtungen über eigenartige Regelmäßigkeiten in den Zahlen (die sogenannten pythagoreischen Zahlentripel).

Bis heute ist ungeklärt, ob es daneben esoterische Texte gab, in denen der Satz möglicherweise bereits vollständig bekannt war, und die an ausgewählte griechische Besucher weiter gegeben wurden. In diesem Fall wäre der Satz des Pythagoras der Bruch eines religiös verehrten Geheimnisses über die Ordnung des Himmels, des Seins und der Zeit.

Die angelehnte Leiter

Ein typisches Beispiel für das an praktischen Anwendungen orientierte babylonische Denken ist die angelehnte Leiter.

»Auf einer alten babylonischen Keilschrifttafel aus der Zeit von etwa 1.700 v.Chr. findet sich die folgende Aufgabe: Ein Balken von 1 gi Länge (das sind etwa 3 Meter) steht an einer ebenfalls 1 gi hohen Wand. Wie weit wurde der Balken von der Wand weggezogen, wenn er von oben ein Fünftel gi herabgekommen ist?« (Unkenbach, S. 1)

Die Aufgabe ist übernommen aus den von Otto Neugebauer 1935-1937 herausgegebenen Mathematischen Keilschrifttexten, Teil II, S. 47. Im Keilschrifttext wird ohne Rechnung die richtige Lösung genannt. Vermutlich lagen Tabellen mit pythagoreischen Zahlen vor, aus denen die Lösung wie in einer Logarithmentafel abgelesen wurde. (Siehe auch Rudolf Taschner Anwendungsorientierte Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Fachrichtungen, Bd. 1, München 2014, S. 17; GoogleBooks.)

Balken an Wand

Abstand eines Balkens von einer Wand
Ein senkrecht an einer Wand lehnender Balken von einer Länge 1 gi wird um ein Fünftel seiner Länge nach unten geschoben. Wie weit entfernt sich dadurch sein unteres Ende von der Wand?

Wer kann das spontan ausrechnen? Das wird ohne Kenntnis des Satzes von Pythagoras kaum gelingen, und genau besehen, kann auch mit dem Satz des Pythagoras niemand genaue Werte ausrechnen. Der Satz des Pythagoras beschreibt nur das  Verhältnis der Länge der Grundseite zu den Längen der anderen Seiten. Werden für die Längen konkrete Werte eingesetzt, zum Beispiel im einfachsten Fall die Länge 1 für die beiden Schenkel-Seiten, dann ergibt sich durch Einsetzen von 1 für a und b: c2 = 12 + 12 = 2 und damit für c der Wert wurzel aus 2 = 1,4142…, da wurzel aus 22 = 2 gilt. wurzel aus 2 kann mit Dezimalziffern nur angenähert werden.

In der Regel entsprechen die Längen eines gegebenen Dreiecks nur annäherungsweise solchen Zahlen wie 3, 4 und 5, für die der Satz des Pythagoras genau aufgeht (32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52). Als praktisch denkende Menschen haben die Babylonier schnell erkannt, dass es keinen Weg gibt, in anderen Fällen den genauen Wert zu bestimmen, sondern nur algorithmische Annäherungsverfahren, um ihn immer genauer ausrechnen zu können. Daher beschränkten sie sich auf solche Methoden, die bis heute von der konstruktiven Mathematik und der elektronischen Datenverarbeitung genutzt werden. Mit einem Wort: Zur Lösung konkreter Aufgaben wie dieser bringt der Satz des Pythagoras keinen Vorteil. Es gab daher für die Babylonier keinen Anlass, sich in dieser Richtung Gedanken zu machen und allgemeine Sätze zu formulieren und zu beweisen, für die sie keinen Zusatznutzen sahen.

Pythagoreisches Zahlentripel

Welche Annäherungs-Verfahren waren das? Den Babyloniern war aufgefallen, dass es Dreiergruppen von Zahlen gibt, bei denen das Quadrat der einen Zahl der Summe der Quadrate der beiden anderen Zahlen gleich ist. Das sind die heute so genannten pythagoreischen Tripel. Und sie entdeckten, wie aus jeder Dreiergruppe solcher Zahlen eine weitere Dreiergruppe gebildet werden kann, für die das gleiche gilt. So wie es für jede natürliche Zahl n eine weitere natürliche Zahl n + 1 als Nachfolger gibt, gibt es mit einer etwas komplizierteren Rechnung für jedes pythagoreische Zahlentripel ein weiteres pythagoreisches Zahlentripel als Nachfolger. Die Babylonier fanden damit innerhalb der Gesamtheit aller natürlichen Zahlen unendlich viele Zahlen, die die Eigenschaft des Satzes von Pythagoras erfüllen, und mit denen die Lösung einer konkreten Aufgabenstellung beliebig genau angenähert werden kann, ohne sich das geometrisch zu veranschaulichen oder sich überhaupt die Frage zu stellen, ob und welchen Grund es für diese Eigenschaft der Zahlen gibt.

Das kann nochmals verallgemeinert werden und führt zu dem Ergebnis: Wenn zwei beliebige natürliche Zahlen u und v gegeben sind, wobei u größer als v ist, dann können daraus drei pythagoreische Zahlen x, y, z berechnet werden:
x = u2 − v2
y = 2 · u · v
z = u2 + v2

Der Beweis solcher Formeln erfolgt heute mithilfe des Satzes des Pythagoras. Den Babyloniern genügte es, die entsprechenden Regeln zu kennen und anzuwenden.

Werden im einfachsten Beispiel die Zahlen 2 und 1 gewählt, ergibt sich daraus das Tripel
x = 22 − 12 = 4 − 1 = 3,
y = 2 · 2 · 1 = 4,
z = 22 + 12 = 4 + 1 = 5,
mit dem erwarteten Ergebnis:
32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

Das Besondere an den von den Babyloniern benutzten Zahlentripeln war, dass sie grundsätzlich nur Vielfache von 2, 3 und 5 auswählten. In einem typischen Text von heute heißt es:

»Man nennt ein Pythagoreisches Zahlentripel ein Babylonisches Zahlentripel, wenn u und v nur die Primteiler 2, 3 und 5 besitzen. Dies sind gerade die Primteiler von 60, der Basis des Hexagesimalsystems. Die in Plimpton 322 verwendeten Tripel sind (mit der einen erwähnten Ausnahme, die ein Vielfaches eines derartigen Tripels darstellt) Babylonische Zahlentripel mit v < 60 und x = ((u2 + v2)/(2uv))2 < 2.« (TU Freiberg, Plimpton 322 ist die Katalog-Nummer der Tafel in der Plimpton Collection der Columbia University).

Es ist schwer zu beschreiben, welche Gefühle bei einem Mathematiker mit einer solchen Erkenntnis ausgelöst werden. Sie zeigt, dass die den Babyloniern bekannten Pythagoreischen Tripel für sie mit der Ordnung der Zeit und des Kreises und des darauf aufbauenden Zahlensystems verknüpft sind. Sie sind das verborgene Prinzip, auf dem die Weltordnung aufbaut.

2, 3 und 5 sind die drei kleinsten Primzahlen. Daher stellt sich die Frage, ob die nächsten Primzahlen 7 und 11 ähnlich grundlegende Bedeutung haben. Das vertritt zum Beispiel Korff in seinem Buch Klang der Pyramiden, in dem er zeigen will, dass alle architektonischen Maße der Pyramiden auf das Produkt der ersten Primzahlen 1 ✕ 2 ✕ 3 ✕ 4 ✕ 5 ✕ 6 ✕ 7 = 5040 und daraus abgeleiteten Zahlen zurückgehen. Weiter will er zeigen, dass diese Zahlen Platon bekannt waren und in seinen Entwürfen politischer Ordnungen zugrunde lagen (Platon Nomoi, 770a-771a und 798d-799b). Auf ähnliche Weise vermuten andere Autoren, dass in den Maßen der Königskammer der Pyramiden der Satz des Pythagoras verborgen ist.

Es ließen sich zahlreiche weitere Beispiele nennen. Hier sei nur erwähnt, dass sich ein magisches Quadrat mit 6 Zeilen und 6 Spalen nur mit Primzahlen füllen lässt und die Quersumme jeder Zeile, Spalte oder Diagonale jeweils 666 beträgt. Zugleich gilt zusätzlich: 1 + 2 + 3 + … + 36 = 666. Die Zahl 666 hatte daher schon immer große mythische Bedeutung.

Erkenntnisse dieser Art zeigen den Höhepunkt an Wissen, dass durch bloße Betrachtung der Zahlen gewonnen werden kann. Was konnte und musste noch hinzukommen, um daraus Wissenschaft im heutigen Verständnis zu machen?

Der Erdumfang

Weitere Anwendungen des Satzes des Pythagoras sind vor Newton nicht mehr gefunden worden. Die einzige Ausnahme ist die spektakuläre Berechnung des Erdumfangs, die ungefähr 270 Jahre vor Christus Eratosthenes gelungen ist. Er kam auf 41.750 km, was dem tatsächlichen Wert von 40.075 km am Äquator außerordentlich nahe kommt.

Eratosthenes Erdumfang

Berechnung des Erdumfangs durch Eratosthenes
»Während in Syene (Assuan) die Sonne senkrecht stand (und den Grund eines Brunnens erhellte), bildete sie gleichzeitig im ca 790 km nördlich gelegenen Alexandria bei einem Obelisken einen Schatten unter einem Winkel von 7,2°. Somit war der (Wechsel-)Winkel zwischen Assuan und Alexandria beim Erdmittelpunkt auch 7,2°. Ein einfacher Dreisatz ergab jetzt den Erdumfang:« So wie sich 7,2° zu 790 km verhält, verhält sich 360,0° zu 39.500 km. »Das Resultat stimmt erstaunlich gut! Die Zahlen variieren je nach Quelle etwas, da der Wert der damaligen ägyptischen Stadie nicht genau bekannt ist.« (Quellennachweis)
Urheber der grafischen Darstellung: By cmglee, David Monniaux, jimht at shaw dot ca - File:Egypt_sat.png File:Earth_orthographic_projection_Earthmap1000x500.jpg, CC BY-SA 4.0, Link

Der Satz des Pythagoras ist in dieser Lösung indirekt und etwas versteckt enthalten, da die Länge des Schattens eines senkrecht stehenden Turms auf ähnliche Weise berechnet wie der Abstand einer Leiter von der Mauer, an der sie schräg angelehnt ist.

Mathematische Objekte

Zahlzeichen sind älter als Schriftzeichen, und es musste überhaupt ein Weg gefunden werden, über Zahlen und allgemein über mathematische Objekte  sprechen  zu können. Eine solche Frage ist von heute aus kaum mehr zu verstehen, wenn jedes Schulkind in den ersten Klassen zur gleichen Zeit die Zahlen und das Alphabet einübt und von Anfang an durch den Schulbesuch lernt, über Zahlen zu sprechen. Es wird völlig selbstverständlich gesagt, dass eine Zahl geteilt werden kann so wie ein Brot geteilt wird, oder dass Zahlen zusammengezählt werden können, so wie jeder seinen Besitz zusammenzählen kann. Erst wenn jemand gefragt wird, gib oder zeig mir eine Zahl, mit der du rechnest, dann wird deutlich, dass darauf ebenso schwer eine Antwort zu geben ist, wie wenn gefragt wird, was die Zeit ist.

Sind Zahlen eigenständige Objekte vergleichbar den anderen Objekten, die wir kennen? Über Fragen dieser Art hatten sich die Babylonier keine Gedanken gemacht. Für sie waren die Zahlen der unmittelbare Ausdruck der Ordnung des Kosmos. Es kann nicht über sie gesprochen werden, sondern sie sprechen ausschließlich aus sich selbst heraus. Die Zahlen waren für sie eine höhere Ordnung als die Sprache! Nicht mithilfe der Sprache werden die Zahlen verständlich, wenn in Worten versucht wird, über Zahlen zu sprechen und ihre Bedeutung in Worte zu fassen und zu verstehen, sondern umgekehrt zeigen die Zahlen ein höheres Wissen, und wenn überhaupt müsste versucht werden, ausgehend von den Zahlen die Sprache zu verstehen und nicht umgekehrt. Die Babylonier waren überzeugt: Selbst wenn es gelingen sollte, über die Zahlen sprechen zu können, würde das nichts an den Rechenmethoden und ihren Ergebnissen ändern und ist daher müßig oder rührt sogar an verborgene Heiligtümer, über die nicht öffentlich gesprochen wurde.

Erst die Griechen stellten sich diese Frage, und das kann nach meiner Überzeugung als der Beginn der Wissenschaft gesehen werden. Sie fragten nach dem  Logos  der Zahlen. Damit ist in einem umfassenden Sinn gemeint: Die Zahlen in Worte wie Eins, Zwei, Drei usf. zu fassen, die in den Zahlen verborgene Vernunft zu entdecken (ihre Rationalität, wobei Ratio die lateinische Übersetzung von Logos ist), die zwischen den Zahlen bestehenden Abhängigkeiten nicht nur in den daraus entstehenden Regeln zu erkennen, sondern für sich zu betrachten, und aus dem allem die Anfangsgründe (Prinzipien, arche) der Zahlen zu erschließen. Entstehen die Zahlen rein subjektiv in der menschlichen Vernunft, sind sie uns von Gott gegeben oder lassen sie sich empirisch durch Beobachtung an der Ordnung der Natur erkennen?

Letzteres war die Überzeugung der Pythagoreer, wenn sie schlicht und einfach sagten: Alles ist Zahl, schon allein daher, weil es nichts gibt, was sich nicht zählen lässt. Alles muss eine Eigenschaft haben, wodurch es zählbar ist, und wenn es diese Eigenschaft nicht hätte, gäbe es dies Etwas gar nicht.

Aus diesem allgemeinen Satz wurde bald die bis heute vorherrschende Überzeugung: Zahlen und geometrische Figuren sind durch fortlaufende Abstraktion gewonnen. Werden Dinge immer weiter abstrahiert, dann kann zum Beispiel gesagt werden: Haustiere sind Tiere, Tiere sind Lebewesen, Lebewesen sind Seiendes, Seiendes ist Zählbares. Und werden sichtbare Dinge immer weiter abstrahiert, dann führt das von der blühenden Rose über ihre Blüte zur Gestalt der Blüte und schließlich zu deren abstrakter Form. Mathematische Objekte entstehen, wenn an den natürlichen Dingen zuerst ihre Form und schließlich nur noch das mathematische Schema der Form betrachtet wird.

Das hat zu großen philosophischen Kontroversen geführt, ob solche Objekte in einem eigenen Reich existieren, oder nur im Denken, mithilfe dessen sie in einem Abstraktionsverfahren gewonnen wurden, oder in irgendeiner schwer zu bestimmenden Weise an den Dingen, aus denen sie abstrahiert wurden. An dieser Stelle soll das nicht weiter ausgeführt werden, sondern es ist nur die ernüchternde Erkenntnis festzuhalten: Der Satz des Pythagoras ist sicher nicht in dieser Weise durch eine Abstraktion gewonnen. Es gibt nichts, was in der Weise Träger des Satzes des Pythagoras sein könnte, wie z.B. die Sonnenscheibe als Beispiel für die Idee des geometrischen Kreises dienen kann. Es gibt Dreiecke, es gibt Quadrate, aber es gibt nichts, aus dem der Satz des Pythagoras abgelesen werden kann. Dafür ist eine neue Art von Verständnis und Kreativität notwendig, um die es hier geht.

Kongruenzsätze (Geometrie ohne den Satz des Pythagoras)

Aber ist der Satz des Pythagoras überhaupt erforderlich? Die Babylonier vermochten ohne ihn zu rechnen, und auch die Geometrie ist ohne den Satz des Pythagoras zu erstaunlichen Leistungen fähig. Ihr gelingt es, die Geometrie auf einfachste Elemente zurückzuführen und mit ihnen zu operieren. Sie zeigt, wie sich im euklidischen Raum Figuren verschieben und drehen lassen und erkennt deren Bewegungsgesetze (die Kongruenzsätze, vgl. Hegel Werke, HW 6.531).

Wenn z.B. die Länge der Grundseite, die Länge einer anliegenden Seite und die Größe des eingeschlossenen Winkels bekannt sind, genügt das, um daraus unter Anwendung der Kongruenzsätze eindeutig mit Lineal und Zirkel das Dreieck zu  konstruieren, ohne irgendwelche Rechnungen ausführen zu müssen. Es gilt sogar genauer gesagt: An dieser Stelle sind noch keine Gleichungen  möglich, denn sie setzen bereits den Satz des Pythagoras voraus.

Definition Dreieck

Definition des Dreiecks – ein Beispiel
Ein Dreieck ist vollständig durch die Längen der Grundseite c und der linken Seite b sowie den von ihnen eingeschlossenen Winkel α bestimmt. Stimmen zwei Dreiecke in der Grundseite, der linken Seite und dem eingeschlossenen Winkel überein, sind sie kongruent.

 

Kochrezept zur Konstruktion eines Dreiecks aus drei gegebenen Elementen

Gegeben seien die Grundseite c, die linke Seite b und deren Winkel α
(1) Zeichne die gegebene Grundseite c mit den Endpunkten A und B.
(2) Zeichne am Punkt A den gegebenen Winkel α.
(3) Zeichne am Punkt A entlang dem Winkel α die gegebene linke Seite b von A bis C.
(4) Verbinde die beiden Punkte C und B.
Aus (4) ergeben sich eindeutig die fehlende Seite b und die beiden fehlenden Winkel β und γ.

Entsprechend lässt sich ein Dreieck konstruieren, wenn die Längen der drei Seiten gegeben sind, oder wenn eine Seite und die beiden Winkel an dieser Seite gegeben sind, oder wenn zwei Seiten und der der längeren Seite gegenüberliegende Winkel gegeben sind. (Siehe die Lehrbücher über Elementargeometrie und Online-Seiten wie z.B. mathematik-wissen).

 

So wie die ägyptische Mathematik aus den Bildern bestimmte Zahlzeichen und Buchstaben verdichtet hatte, gelingt es hier, umgekehrt innerhalb der Vielfalt der geometrischen Operationen deren elementare Bilder zu erkennen. Das sind die Bilder, aus denen sich alle anderen Bilder zusammensetzen lassen.

Diese Vorgehensweise ist seither für die westliche Wissenschaft bestimmend. Das war das große Vorbild aller Wissenschaften seit der Aufklärung. Es lässt sich dahin zusammenfassen, dass jede Wissenschaft nach ihren spezifischen Atomen sucht, aus denen sie alle ihre Kenntnisse zusammenfügen kann. Das sind für die Mechanik die Massepartikel, für die Elektrizität das Elektron und dessen Ströme, für die Biologie die Zellen und heutzutage das DNA-Molekül und andere elementare Stoffe innerhalb der Zelle wie die Enzyme. Für die Teilchenphysik sind das ursprünglich die Atome, dann Proton und Elektron, bis schließlich immer neue Teilchen entdeckt wurden und das Bild zunehmend komplexer wurde. Das zeigt bereits, wie sich zwar alle Wissenschaften an der euklidischen Geometrie orientieren, aber daran zu verzweifeln beginnen, dass sie in ihrem Gebiet durch immer neue Entdeckungen nie das letztgültige Elementarteilchen finden, während die Geometrie vollkommen sicher und überzeugend aus Kreisen, Geraden und Punkten aufgebaut ist. Das ist ein erster Hinweis, dass es an der Geometrie etwas Besonderes geben muss.

Alle Philosophen der Aufklärung haben sich damit beschäftigt. Am nächsten an der Wissenschaft war Kant, der 1786 mit den Metaphysischen Anfangsgründen der Naturwissenschaft systematisch versucht hatte, eine Verbindung von Newton, Euklid und dem Entwurf jeder möglichen neuen Naturwissenschaft zu entwerfen.

Das Verblüffende ist nun, dass dies alles  ohne  den Satz des Pythagoras auskommt! Zum Beispiel ist bei Kant nirgends vom Satz des Pythagoras die Rede, obwohl er ihn ohne Zweifel kannte.

Der Satz des Thales

Bereits ungefähr zwei Generationen vor Pythagoras hat Thales, der ungefähr 625 bis 550 vor Christus lebte, den ersten Satz der Mathematik-Geschichte geschrieben, den Satz des Thales.

Satz des Thales

Satz des Thales
Ist die Grundseite eines Dreiecks der Durchmesser eines Kreises und liegt der der Grundseite gegenüberstehende Punkt C an einer beliebigen Stelle auf dem Halbkreis, dann ist das auf diese Weise konstruierte Dreieck rechtwinklig.
Beweisidee: Verbinde die Ecke C auf dem Halbkreis mit dem Kreismittelpunkt M. Dadurch wird das Dreieck ABC in zwei gleichschenklige Dreiecke AMC und MBC geteilt.

 

Kochrezept zum Beweis des Satz des Thales

(1) Ziehe die Verbindung vom Punkt C zum Mittelpunkt M des Halbkreises.
(2) Da die Strecken von M zu B und von M zu C jeweils die Länge des Radius des Halbkreises haben, sind sie gleich. In einem gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Basiswinkel an den Schenkeln gleich, d.h. in diesem Dreieck die Winkel an B und C. Daher kann im Dreieck MBC an den Punkten B und C jeweils der Winkel β eingetragen werden.
(3) Da die Strecken von A zu M und von C zu M wiederum jeweils der Radius des Halbkreises sind, stimmen auch in dem Dreieck AMC die beiden Winkel an den Punkten A und M überein. Sie werden mit α bezeichnet.
(4) Es verbleiben am Punkt M die beiden Winkel γ und δ.
(5) Es werde die Summe aller 6 Winkel der beiden Teildreiecke betrachtet:
α + γ + α + δ + β + β.
Da die Winkelsumme in einem Dreieck 180° beträgt, beträgt die Winkelsumme beider Dreiecke 2 · 180° = 360°. Daraus ergibt sich:
α + γ + α + δ + β + β = 360°
(6) Da γ + δ = 180° beträgt, bleibt die Gleichung erhalten, wenn links γ und δ und rechts 180° abgezogen werden mit dem Ergebnis:
α + α + β + β = 180°
(7) Die beiden identischen Winkel können jeweils zusammengefasst werden:
2 · α + 2 · β = 180°
(8) Diese Gleichung kann auf beiden Seiten durch 2 geteilt werden:
α + β = 90°
Da α + β der gesuchte Winkel ist, ist der Satz des Thales bewiesen.
Quod erat demonstrandum

 

Der Satz war bereits den Ägyptern und Babyloniern bekannt, doch ist von ihnen kein Beweis überliefert. Anders als der Satz des Pythagoras geht er auf die unmittelbare Anschauung zurück und wurde auch von denen begeistert gefeiert, die wie Kant dem Satz des Pythagoras nur wenig Aufmerksamkeit schenkten. »Dem ersten, der den gleichschenkligen Triangel demonstrierte (er mag nun Thales oder wie man will geheißen haben), dem ging ein Licht auf.« (Kant, KrV, B XI)

Der Satz des Thales steht für mich nicht nur chronologisch zwischen der babylonischen Mathematik und Pythagoras. Claus-Artur Scheier hat in einem Vortrag die wichtigsten Gesichtspunkte zusammengestellt: Der im Satz des Thales gezeichnete Halbkreis auf einer Grundlinie ist zu verstehen als der Himmelsbogen, der für den menschlichen Beobachter auf der Erdoberfläche steht. Noch Aristoteles nannte sein Werk über Astronomie nicht wie zu erwarten wäre eine Lehre vom Kosmos, sondern eine Lehre vom Uranos (Peri Uranu, De Caelo, Vom Himmel). Mit Uranos ist der griechische Gott gemeint, der mit seiner Mutter, der Erdgöttin Gaia, der Vater aller weiteren Götter und göttlichen Wesen ist. Himmel und Erde sind der Anfang der Natur. Sie werden im Satz des Thales zusammengebracht und stehen an der Schwelle zum Mythos, aus dem sie hervorkommen.

Zugleich ist die Darstellung von Thales das Musterbeispiel, wie die Elemente der Mathematik durch Abstraktion gewonnen werden. »Was es zu wissen gibt vom alten Himmelsgewölbe, können wir darstellen als Halbkreis.« (Scheier, S. 3)

Der Halbkreis ist eine Abstraktion, die vom Anblick des Himmelsgewölbes gewonnen wurde, und sie leistet zugleich die Begründung der mit Thales entstehenden Philosophie, die sich seinerzeit immer als eine Naturphilosophie verstand.

»Was es zu wissen gibt vom alten Himmelsgewölbe, können wir darstellen als Halbkreis, dessen Worin, in das jene Linie weist, im Unterschied zum Kreis selbst das Unbegrenzte ist, das apeiron, das uns wenig später als archê bei Anaximander begegnet: ins nur noch zu Denkende, in das auf keine Weise mehr Anschauliche weist diese Linie – und wenn der Halbkreis für den Himmel steht, ist dies reine ens rationis der von Platon dann so genannte hyperoyranios topos, der 'überhimmlische Ort': die Vernunft selbst. In ihr schwebt das transzendentale Signifikat nicht irgendwie vor wie ein Phantasiebild – es ist vielmehr nur da, indem wir es konstruieren. Kant spricht es mutatis mutandis klassisch aus: 'So ist die bloße Form der äußeren sinnliche Anschauung, der Raum, noch gar keine Erkenntnis; er gibt nur das Mannigfaltige der Anschauung a priori zu einem möglichen Erkenntnis.' (Kant, KrV, B 137).« (Scheier, S. 3)

An diesem Zitat mit seinen reichhaltigen Anspielungen auf die Philosophie-Geschichte sei hier der Grundgedanke festgehalten: Thales beginnt als erster eine Sprache zu finden, mit der über Mathematik gesprochen werden kann. Mit ihm entsteht eine Wissenschaft, wenn als Wissenschaft die Erkenntnis und dem Menschen verständlich werdende Eigenbewegung des Logos gesehen wird. Mathematische und philosophische Begriffe gehen noch ineins.

Und sie sind erkennbar an sinnliche Anschauung gebunden. Der Satz des Thales verknüpft auf einmalige Weise Mythos, Philosophie, Sprache und Mathematik.

Der Satz des Thales zeigt in der Art, wie er sprachlich ausgedrückt wurde, noch deutlich die Herkunft aus Ägypten und Babylonien, die in ähnlicher Weise seinen Inhalt ausgesprochen haben mögen. Das Neue liegt im Anspruch, diese Behauptung beweisen zu wollen. Seine Aussage ist zu sehen: Jeder kann Dreiecke in einen Halbkreis zeichnen und nachmessen, dass sie rechtwinklig sind. Doch warum ist das so?

Die Beweisidee liegt im Zeichnen einer Hilfslinie, die vom Punkt C zum Mittelpunkt M führt. Dadurch wird das Dreieck in zwei gleichschenklige Dreiecke geteilt, worüber der Satz des Thales bewiesen werden kann.

Fazit: Das alles ist noch keine Geometrie, wie sie mit dem Satz des Pythagoras begründet wurde! Aber es führt schrittweise dorthin.

Wer war Pythagoras?

Pythagoras lebte ungefähr 570 bis 510 vor Christus. Er war damit ungefähr 70 Jahre älter als Empedokles (495-435 v.Chr.) und 100 Jahre älter als Sokrates (469 - 399 v. Chr.). Über sein Leben gibt es viele Legenden. Er soll sich in Ägypten und Babylonien aufgehalten haben und dort in das priesterliche Geheimwissen eingeweiht worden sein, doch gibt es dafür keine verlässlichen Quellen. Er hat in Süditalien eine eigene Sekte gegründet, und seither gehen die Meinung auseinander, ob er eine Art Religionsführer, Sektengründer oder Wissenschaftler war.

Ebenso ist umstritten, welche politische Richtung Pythagoras verfolgte. Die Pythagoreer galten lange als eine der frühesten demokratischen Bewegungen, die die noch älteren aus der Unterschicht stammenden orphischen Ideen aufgegriffen und fortgeführt haben, während ihn Karl Kerényi als einen typischen Aristokraten versteht. In seinen Kreisen soll er sich als eine Art Halbgott zwischen den Göttern und den Menschen ausgegeben haben.

Pythagoras hat versucht, in unterschiedlichsten Bereichen Harmonien zu erkennen. Am bekanntesten sind die musikalischen Harmonien, und nach ihrem Vorbild hat er nach mathematischen Harmonien gesucht. Angesichts ungesicherter Quellenlage kann nur spekuliert werden, ob und wie in diesem Zusammenhang der nach ihm benannte Satz des Pythagoras eingeführt wurde.

Harmonien gehen auf die mythische Figur Orpheus zurück und führen in noch weiter zurückreichende Fragen über die Ursprünge der westlichen Mythologie und Religion. Orpheus gilt als Sohn oder zumindest Geistesverwandter von Apollon, und in dessen Tradition verstand sich Pythagoras und sah sich als eine neue Verkörperung und eine Art Wiederkunft von Apollon.

Der prägende Einfluss von Pythagoras auf Platon und die Entwicklung der griechischen Mathematik ist unbestritten. Eine Schlüsselstellung nimmt der Pythagoreer Archytas von Tarent ein, der zwischen 435 und 350 v.Chr. lebte. Platon hatte ihn persönlich kennengelernt. Er hat wesentliche Beiträge geliefert, die später im Werk von Euklid aufgenommen wurden, das im 3. Jahrhundert v.Chr. entstand. Einer seiner Schüler war Eudoxos, der den Begriff der Größe geprägt hat und als der maßgebliche Vorgänger von Euklid gilt.

Beweis durch Euklid und Kritik daran durch Schopenhauer und Hegel

Erst tausend Jahre nach Pythagoras nennen Proklos (412-485) und andere Pythagoras als Urheber, doch sind ihre Quellen nicht bekannt und verschollen. Euklid führt ungefähr 250 Jahre nach Pythagoras in seinen Elementen einen eigenen Beweis (Euklid Elemente, Buch I, Proposition 47). Sein Beweis ist einerseits sehr systematisch eingeführt und bildet den krönenden Abschluss des 1. Buchs, doch wer ihn liest und zu verstehen versucht, wird enttäuscht sein. Nur sehr versteckt gehen die dem Satz zu Grunde liegenden entscheidenden Eigenschaften ein: Die Ebenheit der Zeichenfigur (Gültigkeit des Parallelen-Axioms), die Rechtwinkligkeit des Dreiecks ABC und die Rechtwinkligkeit und Gleichseitigkeit der an dessen Außenseiten gezeichneten Quadrate. Zuerst sei der Beweis vorgestellt und sodann die Kritik durch Schopenhauer und Hegel.

Pythagoras Beweis

Der Beweis des Satzes des Pythagoras durch Euklid

 

Kochrezept zum Beweis des Satz des Pythagoras nach Euklid

(1) Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit den Quadraten über seine drei Seiten und bezeichne die äußeren Ecken der Quadrate mit D, E, F, G, H, I.
(2) Ziehe die beiden Verbindungsstrecken von I nach B und von C nach D.
(3) Fälle von C auf die Grundlinie DE das Lot, das dort im Punkt J auftrifft und die Linie AB im Punkt K schneidet.
(4) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks IAB nach der Formel ›Grundlinie des Dreiecks mal Höhe des Dreiecks geteilt durch Zwei‹. Da das Dreieck IAB in der Grundlinie IA mit der einen Außenseite des Quadrats IAHC übereinstimmt und in seiner Höhe mit der anderen Außenseite des Quadrats AC, ist der Flächeninhalt des Dreiecks IAB die Hälfte des Quadrats b2. (In diesem Schritt geht sehr versteckt die Rechtwinkligkeit des Dreiecks ABC ein: Weil der Winkel gamma am Punkt C 90° beträgt, kann durch eine Parallelverschiebung entlang der Strecke BC die Höhe des Dreiecks IAB als AC erkannt werden.)
(5) Drehe das Dreieck AIB um den Punkt A, bis es in das gleich große Dreieck ACD übergeht.
(6) Dieses Dreieck ist wiederum halb so groß wie das Rechteck AKDJ, denn es es hat mit AD die gleiche Grundlinie wie dies Rechteck und mit AK eine Höhe, die der anderen Seite des Dreiecks entspricht.
(7) Daraus ergibt sich, dass das Rechteck AKDJ den gleichen Flächeinhalt wie das Quadrat b2 hat.
(8) Auf die gleiche Art kann gezeigt werden, dass a2 die gleiche Fläche hat wie das Rechteck KBJE.
quod erat demonstrandum

 

Für die meisten unbefangenen Betrachter gelten Beweise dieser Art als typisches Beispiel für eine Art mathematische Überrumpelungstaktik. Der normale Schüler hört es, staunt, aber versteht es nicht und vergisst es schnell wieder. Niemand kann nachvollziehen, wie Euklid auf diesen Beweis gekommen ist.

Die Philosophen sind da nicht anders und ignorierten den Satz am liebsten, auch wenn sie wußten, wie wichtig er für die Mathematik ist. Arthur Schopenhauer (1788-1860) war einer der ersten, der sich 1813 in seiner Doktorarbeit Ueber die vierfache Wurzel des Satzes vom zureichenden Grunde mit dem Satz des Pythagoras beschäftigt hat. Für ihn handelt die Mathematik von einer eigenen »Klasse der Gegenstände« (Schopenhauer, Vierfache Wurzel, § 35), die »weder der Verstand, noch die Vernunft, mittelst bloßer Begriffe zu fassen vermag, sondern einzig und allein vermöge der reinen Anschauung« (Schopenhauer, ebd., § 36). Die von der Mathematik betrachteten Gegenstände gelten unabhängig von Raum und Zeit und liegen ihnen zugrunde. Sie können nicht mit den üblichen Methoden der Kausalität bewiesen werden, sondern sprechen die Anschauung unmittelbar an. Schopenhauer erwartet daher von einem Mathematiker, dass er die mathematischen Aussagen mithilfe von Rechenoperationen oder geometrischen Konstruktionen in eine logische Ordnung bringt, aus der sie unmittelbar einsichtig werden. Damit stand er völlig quer zur Haupttendenz seiner Zeit, als die Mathematiker genau umgekehrt aus ihren Beweisen jede Anschauung verbannen und rein begrifflich vorgehen wollten. Sein Anliegen hat jedoch seit den 1960ern eine Renaissance erlebt. Seither wird vorsichtig versucht, die Mathematik anschaulicher darzustellen.

Mit den Beweisen von Euklid konnte er entsprechend wenig anfangen. Sie gingen für ihn genau in die falsche Richtung und er spottete über den »Euklidische(n) Mausefallenbeweis« des pythagoreischen Lehrsatzes (Schopenhauer, Vierfache Wurzel, § 39). In seinem Hauptwerk Die Welt als Wille und Vorstellung fand er nicht weniger deutliche Worte:

«Man hat daher fast die unbehagliche Empfindung, wie nach einem Taschenspielerstreich, und in der That sind einem solchen die meisten Eukleidischen Beweise auffallend ähnlich. Fast immer kommt die Wahrheit durch die Hinterthür herein, indem sie sich per accidens aus irgend einem Nebenumstand ergiebt. Oft schließt ein apagogischer Beweis alle Thüren, eine nach der andern, zu, und läßt nur die eine offen, in die man nun bloß deswegen hinein muß. Oft werden, wie im Pythagorischen Lehrsatze, Linien gezogen, ohne daß man weiß warum: hinterher zeigt sich, daß es Schlingen waren, die sich unerwartet zuziehn und den Assensus des Lernenden gefangen nehmen, der nun verwundert zugeben muß, was ihm seinem innern Zusammenhang nach völlig unbegreiflich bleibt, so sehr, daß er den ganzen Eukleides durchstudiren kann, ohne eigentliche Einsicht in die Gesetze der räumlichen Verhältnisse zu gewinnen, sondern statt ihrer nur einige Resultate aus ihnen auswendig lernt.« (Schopenhauer Die Welt als Wille und Vorstellung, Erster Band, § 15).

Seine Kritik ist jedoch nicht ganz gerecht, denn er hat offenbar bei Euklid im Original nachgelesen und dort in der vorangehenden Proposition 46 die Beweisidee gefunden, von der Euklid ausgegangen war. Diese Beweisidee ist unmittelbar anschaulich, und der Beweis lässt sich fast auf einen Blick verstehen und nachvollziehen:

Satz des Pythagoras mit Hilfslinien vereinfacht

Satz des Pythagoras mit Hilfslinien, vereinfacht
Quelle: Schopenhauer Ueber die vierfache Wurzel des Satzes vom zureichenden Grunde § 39 Geometrie Figur 6 (zeno.org), siehe auch Reidemeister Raum und Zahl, S. 20f und bereits Proklos, der diese Figur in seinem Euklid-Kommentar ebenfalls anführt.

Wird in diesem Bild das große Quadrat auseinandergefaltet (es wird längs der beiden Diagonalen aufgeschnitten und sodann werden das links und das rechts liegende Dreieck nach außen geklappt), dann ist unmittelbar zu sehen, dass im schraffierten Dreieck das Quadrat über die Hypotenuse gleich groß ist der Summe über die beiden Quadrate über die Katheten. Das gilt zwar in diesem Beispiel nur für gleichseitige, rechtwinklige Dreiecke, lässt sich aber einfach verallgemeinern.

Für mich ist an dieser Beweisidee wichtig, dass hier besonders gut zu erkennen ist, wie der Satz des Pythagoras aus einer  Bewegung  hervorgeht. Das rechtwinklige Dreiecke befindet sich inmitten eines Ablaufs, in dem ein Quadrat entlang seiner Diagonalen aufgeschnitten und auseinandergefaltet wird. Dieser Ablauf kann mit ein wenig Phantasie mit dem Auffalten einer Blume und ihrer Blätter und Blüten verglichen werden. Bei genauer Betrachtung zeigt sich, dass in dieser Bewegung für das Aufblättern eine zusätzliche Dimension genutzt wird, durch die hindurch die beiden Dreiecke erst aufgeschlagen und anschließend wieder in die Ebene zurückbewegt werden. (Anmerkung 1: An dieser Stelle sei bereits angemerkt, dass die Bewegung des Aufklappens oder Umblätterns durch eine neue Dimension aus der Ebene heraus- und wieder in sie zurückführt. Das wird im letzten Kapitel nochmals aufgenommen.) (Anmerkung 2: In neuester Zeit hat sich ein eigener Zweig an der Grenze von Mathematik und Kunst entwickelt, systematisch mit Techniken nach dem Vorbild des Origami mathematische Zusammenhänge und Kunstwerke zu entwerfen, siehe zum Beispiel die Arbeiten des 1981 geborenen Erik Demaine.)

Auch der fast eine Generation ältere Hegel (1770-1831), der sich hervorragend in Mathematik auskannte, war einerseits wie kein anderer vom Satz des Pythagoras fasziniert, aber er empfand ähnlich wie Schopenhauer große Unzufriedenheit über den Beweis bei Euklid. Bereits in seinen nicht veröffentlichten Jenenser Systementwürfen von 1804-05 hatte er geschrieben, dass für ihn die Geometer mit ihren Hilfslinien in ihren Beweisen die ursprüngliche Figur »verunstalten und zerreißen« (JLMN, S. 118). Im 1816 veröffentlichten dritten Band der Wissenschaft der Logik bezeichnet er die üblichen Beweise der Geometrie als »ein sinnloses Tun für denjenigen, der den Zweck noch nicht kennt« (HW 6.534).

In der 1806 veröffentlichten Phänomenologie des Geistes kritisierte Hegel:

»So zerlegt sich die Natur des rechtwinkligen Dreiecks nicht selbst so, wie es in der Konstruktion dargestellt wird, die für den Beweis des Satzes, der sein Verhältnis ausdrückt, nötig ist; das ganze Hervorbringen des Resultats ist ein Gang und Mittel des Erkennens.« (HW 3.42)

Der Beweis ist von außen an den Satz des Pythagoras herangetragen. Er folgt nicht dessen Logik, das heißt der Logik der Sache, sondern einer eigenen Logik des Erkennens, die dem Gegenstand übergestülpt wird. Das ist der Grund der Unzufriedenheit: Niemand versteht, warum diese Vorgehensweise gewählt wurde und wie zu erklären ist, dass sie zum gesuchten Ergebnis führt. Umgekehrt läßt sich aus dieser Kritik schließen, dass für Hegel ein Beweis dann gelungen ist, wenn er zeigt, wie sich die betrachtete geometrische Figur entsprechend ihrer eigenen Natur von selbst zerlegt. Diesen Vorgang aufzuzeigen und vorzuführen entspräche auch dem Anliegen von Schopenhauer. Das von ihm gewählte Bild zeigt daher bereits die Idee der Lösung: Es ist zu verstehen, wie der Satz des Pythagoras als eine übergreifende Bewegung (Entfaltung) zu deuten ist.

Lebendigkeit und reelle Definition

Die innere Bewegung gemäß der eigenen Natur einer Sache zu verstehen und in Worte zu bringen, das ist für Hegel die  reelle  Definition. Was ist die »Natur« der mit dem Satz des Pythagoras beschriebenen Aufgabe? Hier kann als Zwischenfazit gesagt werden, dass sie alles das nicht ist, was vorher beim algorithmischen Rechnen der Babylonier, in der Kongruenzgeometrie oder dem Ablösen eines mathematischen Schema von einer vorliegenden Form bekannt war, bis hin zum Satz des Thales. Es muss etwas anderes sein, und die Idee scheint mir in dem Bild aus dem Euklid-Kommentar von Proklos zu liegen, das Schopenhauer übernommen hat. Hegel kannte es ebenfalls.

Wird das intuitive Bild einer Selbstentfaltung gemäß der Proposition 46 in Buch 1 von Euklid weiter gedacht, dann kann es als ein Beispiel einer  Selbsterhaltung  gelten. Das führt zu Hegels Deutung des Satzes des Pythagoras. Um mit einer reellen Definition die Natur einer Sache zu treffen, ist mit Hegel nach ihrer Selbsterhaltung zu fragen. Er übernahm von Aristoteles das Verständnis der Natur als physis. Damit ist das Aufkeimen und Wachsen von Lebewesen gemeint im Unterschied von einer Kunst (techne), mit der ein vernunftbegabtes Wesen von außen etwas an einen Gegenstand heranträgt und ihn verändert. Auch der euklidische Beweis des Satzes von Pythagoras kann in diesem Sinn als technisch und nicht aus der Natur der Sache hervorgegangen kritisiert werden. In seinen frühen Systementwürfen brachte Hegel es programmatisch auf den Punkt: »Die  Selbsterhaltung oder die Definition  hat als unmittelbar Eins, was bisher getrennt oder nur unsere Reflexion war.« (JLMN, S. 109)

In einer schwierigen Passage dieses von Hegel nicht veröffentlichten Textes sah er den Satz des Pythagoras als typisches Beispiel für eine Selbsterhaltung und hatte offenbar schon früh ein völlig anderes Verständnis dieses Satzes als Euklid und die ihm folgende Mathematikgeschichte.

»Die in sich reflektierte Bestimmtheit ist die der Selbsterhaltung, welche an sich nach außen gegen anderes gerichtet ist, in sich zurückgekehrt auf sich selbst bezogen, die Ungleichheit an sich aufgehoben hat. So ist die Definition des rechtwinkligen Dreiecks die, daß ein rechtwinkliges Dreieck das Quadrat der seinem Rechten entgegengesetzten Seite gleich hat der Summe der Quadrate seiner Katheten. Jene [ist] die Bestimmung der bestimmten Qualität, diese der Reflexion, in dem es aus dem Gegensatze der einen Seite gegen die andern die Rückkehr oder die Gleichheit ausdrückt; der Gegensatz ist nach seiner Weise der von einer Seite gegen zwei.« (JLMN, S. 117f)

Doch scheint es mir möglich, Hegels Anliegen herauslesen zu können: Schon im Ansatz kehrt er das übliche Verhältnis von Definition und Satz genau um. Er definiert nicht zuerst, was Kreise, Geraden, Punkte, Quadrate etc. sind, um dann aus diesen Definitionen den Satz des Pythagoras zu folgern, sondern er erkennt umgekehrt, dass im Satz des Pythagoras elementar eine Selbsterhaltung formuliert ist: Die Fläche eines Quadrats bleibt erhalten, wenn die Grundseite aufgeklappt wird und wie in einer typischen geometrischen Konstruktion die beiden neu entstandenen Flügel verlängert werden, bis sie ein Dreieck bilden. Die einzige Bedingung ist, dass sie einen rechten Winkel bilden.

Pythagoras aufklappen

Pythagoras aufklappen 2

Aufklappen einer Linie in ein rechtwinkliges Dreieck
Das obere Bild zeigt das Aufklappen der Grundlinie. Das untere Bild zeigt die Erhaltung des Flächeninhalts: Die beiden neu entstehenden gestrichelt umrandeten Flächen haben den gleichen Inhalt wie das ursprüngliche schwarz umrandete Quadrat.

Das rechtwinklige Dreieck wird als das Ergebnis einer Bewegung verstanden, die von einer Geraden zu einem Dreieck führt, und hierbei einen Flächeninhalt erhält. Die Natur der Sache liegt in der Bewegung, die mit dem Satz des Pythagoras beschrieben wird, und die Elemente der Geometrie ergeben sich daraus. Dann ist es nur noch eine Art Kontrollrechnung oder Gegenprobe, wenn bewiesen werden soll, dass sich auch umgekehrt der Satz aus den Elementen folgern lässt, die aus ihm gewonnen wurden.

So sah es auch der 90 Jahre nach Hegel geborene Mathematiker David Hilbert (1862-1943), dessen Grundlagen der Geometrie 1899 erschienen, und fand die Verallgemeinerung: Er konstruierte Räume durch die Eigenschaft, dass in ihnen der Satz des Pythagoras gilt, und fragte, welche anderen Eigenschaften sich daraus folgern lassen. Diese Räume bilden seither die Grundlage der modernen Physik. Der Ansatz von Hegel ist damit gewissermaßen durch Hilbert und die ihm folgende Physik des 20. Jahrhunderts experimentell bestätigt.

Bevor die Idee von Hilbert näher dargestellt wird, ist zu ergänzen, dass Hegels Idee durchaus umstritten ist. Was soll das für ein lebendiges Wesen sein, dessen Bewegung im Satz des Pythagoras beschrieben wird? (a) Es kann sich um eine Art Piktogramm natülicher Bewegungen handeln, oder (b) um die Bewegung von etwas, das sich unserer Anschauung entzieht.

(a) Wird nach einem Piktogramm für eine Bewegung des Aufblühens gesucht, dann bietet sich das Vesta-Symbol an: Vesta-Symbol. Der in diesem Symbol dargestellte elementare geometrische Vorgang kann in der vom Satz des Pythagoras beschriebenen Bewegung des Aufklappens gesehen werden, die zugleich eine Selbsterhaltung beschreibt. Das aufblühende Wesen verändert zwar seine Gestalt, aber es bewahrt dennoch seine Identität.

Aber wie ist zu erklären, dass die Selbsterhaltung über die Erhaltung der Quadratflächen erfolgt? Meist wird nach keiner Erklärung gefragt, sondern es gilt als ausreichend, dass der Satz des Pythagoras formal korrekt bewiesen werden kann und folglich stimmen muss. Dennoch bleibt die Frage offen, wann und wie es zur Bildung und der Erhaltung von Quadraten kommen kann. Das soll in einem geplanten Beitrag über die Begriffe Kraft, Impuls und Energie weiter ausgeführt werden. Es wird sich zeigen, dass sich diese Begriffe wie Quadrat, Linie und Punkt zueinander verhalten.

(b) Der Übergang von verschiedenen Arten des Aufblühens zur vereinfachten Bewegung, die im Satz des Pythagoras zu erkennen ist, kann verstanden werden wie die Ideen-Bildung nach Platon. So wie sich aus verschiedenen konkreten runden Gegenständen wie z.B. die Sonnenscheibe, ein Ring oder der Hohlraum eines Rohres die Idee des Kreises ergibt, die in perfekter Form nie in der Natur vorkommt, so kann sich aus verschiedenen Bewegungen des Aufblühens eine Idee ergeben, die mit dem Satz des Pythagoras getroffen wird. Das hat Hegel zwar nicht explizit ausgeführt, aber so verstehe ich seinen Gedanken. Während jedoch die von Platon gemeinten Ideen wie Gegenstände in einem Reich der Ideen ruhen, ist bei dieser Idee der Bewegung zu fragen, was sich bewegt. Mir scheint es nicht möglich, an dieser Stelle weiter zu gehen. Die Frage ist verständlich, aber mögliche Antworten entziehen sich der Vernunft. Es kann nur die Erfahrung gemacht werden, wie die Vernunft an eine solche Grenze stößt.

Alle Versuche andere Beispiele zu finden, treffen nicht genau das, was gemeint ist, und führen daher in Missverständnisse. Ein Versuch wäre, die Grundseite des Dreiecks als einen Durchfluss zu verstehen, der senkrecht zu einer Strömung steht, die durch ihn hindurch fließt. Die Aufteilung in zwei Katheten wäre dann die Trennung in zwei Teilströme, in die die Strömung verzweigt und zugleich ihre Strömungsenergie erhält. Wird dieses Bild weiter hinterfragt, zeigt sich schnell, dass es nur eine Metapher sein kann, die nicht wörtlich genommen werden darf.

Die meisten Hegel-Kommentatoren übergehen die entsprechenden Ausführungen, nehmen ihre Bedeutung gar nicht wahr, oder sie kritisieren Hegel. Denn es muss deutlich gesagt werden: Für Hegel ist der Satz des Pythagoras das äußere Anzeichen eines übergreifenden lebendigen Wesens, das weit außerhalb des Horizont des Menschen steht und sich mit diesem Satz in dem den Menschen zugänglichen Horizont zeigt (offenbart). Eine solche Vorstellung entfernt sich so weit von der gewöhnlichen Vorstellung und Naturwissenschaft, dass sie bei vielen Lesern Hegels gar nicht wahrgenommen wird, und wenn doch, dann stößt sie meistens auf Unglauben und Unverständnis.

So schreibt zum Beispiel Rainer Schäfer in einem Kommentar zu Hegel: »Das Dreieck als solches ist keine allgemeine Einheit, die sich selbst in besondere Merkmale einteilt und sich tätig als Einheit im Beweis selbst wiederherstellt.« (Schäfer, S. 142f, Fn. 159). Doch genau in diesem Sinne verstehe ich die Aussage von Hegel. Für ihn zeigt der Satz des Pythagoras, dass hier innerhalb der Geometrie eine Eigenschaft beschrieben ist, die alle Anforderungen an eine lebendige Gattung und ihre Fähigkeit der Selbsterhaltung erfüllt. Das Unbefriedigende an den üblichen Beweisen des Satzes des Pythagoras löst sich auf, wenn er in diesem größeren Horizont gesehen wird.

Aus diesem größeren Horizont ist auch zu verstehen, was Hegel unter einer  Gleichung versteht. Mit Gleichung kann eine übliche mathematische Gleichung gemeint sein, mit der z.B. aus den Längen zweier Seiten und der Größe des eingeschlossenen Winkels die Länge der dritten Seite berechnet wird. – Oder der Ausdruck ‘Gleichung’ ist abwertend gemeint, wenn zwei Sachen entgegen ihrer wahren Fülle gewaltsam einander gleichgemacht und dadurch gegenüber ihrem wahren Maß zurechtgestutzt werden. Dieser abwertende Ton schwingt in Hegels Kritik am Verstand mit (und wird meines Erachtens im Kommentar von Liebrucks absolut gesetzt, weswegen er dem Gedanken von Hegel nur teilweise gerecht wird, siehe Liebrucks, S. 554ff). – In meinem Verständnis ist bei Hegel wie bei der reellen Definition mit ‘Gleichung’ der Inhalt einer Selbsterhaltung gemeint: In diesem Sinne spricht Hegel von der Gleichung, die für ihn erst im Satz des Pythagoras gegeben ist.

Hegel stellt das Ergebnis seiner Umwertung der Mathematik fast provozierend in einer Sprache dar, die jeden verwirren muss und soll, der die Darstellungen in üblichen Lehrbüchern der Geometrie kennt. Obwohl er natürlich weiß, dass der Satz des Pythagoras eine Gleichung über die Quadrate der Außenseiten ist und nicht über die Seiten, schreibt er:

»Die völlige Bestimmtheit aber der Größe des Dreiecks nach seinen Seiten in sich selbst enthält der Pythagoreische Lehrsatz; dieser ist erst die Gleichung der Seiten des Dreiecks, da die vorhergehenden Seiten es nur im allgemeinen zu einer Bestimmtheit seiner Stücke gegeneinander, nicht zu einer Gleichung bringen. Dieser Satz ist daher die vollkommene, reelle Definition des Dreiecks, nämlich zunächst des rechtwinkligen, des in seinen Unterschieden einfachsten und daher regelmäßigsten.« (HW 6.531f)

Es ist mathematisch wahr, dass erst mit dem Satz des Pythagoras Gleichungen gefunden wurden, während mit den Kongruenzsätzen lediglich geometrisch operiert wird. Aber was soll es heißen, dass erst dieser Satz zeigt, dass das Dreieck »in sich selbst« etwas enthält, das als seine »reelle Definition« gilt? Und was ist mit der »Gleichung der Seiten des Dreiecks« gemeint, obwohl der Satz des Pythagoras anders lautet? (Für Schäfer sind daher Hegels Ausführungen »in mehrfacher Hinsicht fragwürdig«, Schäfer, S. 142f, Fn. 159.) Was Hegel sagen will, wird nur verständlich, wenn Gleichungen als eine Bewegung der Selbsterhaltung verstanden werden.

Anmerkung: Hegels Deutung entfernt sich auch weit von Kant, für den sich das menschliche Denken im Horizont der Zeit befindet. Kant hat die transzendentale Logik auf die Eigenschaften der Zeit zurückgeführt (KrV, B 184f, siehe hierzu den Beitrag über Kant und Gödel). Für Hegel ist dagegen der Satz des Pythagoras gewissermaßen das experimentum crucis, an dem sich zeigt, dass sich das menschliche Denken nicht im Horizont der Zeit, sondern im Horizont eines den Menschen und die Zeit übergreifenden lebendigen Wesens bewegt. Der Mensch vermag dessen Selbstbewegung zu erkennen, und wie das logisch möglich ist, ist für Hegel die abschließende Frage seiner Wissenschaft der Logik. Er hat die Logik so aufgebaut, dass sie im Ergebnis im letzten Abschnitt in dieser Frage mündet. Erst hier ist für Hegel die Wissenschaft der Logik weit genug entwickelt, um gewissermaßen unter Einsatz aller ihrer Mittel den Satz des Pythagoras verstehen zu können. Erst von diesem Stand aus ergibt sich für Hegel der Begriff der Zeit. Schon seit seinen frühesten Systementwürfen steht daher für ihn der Satz des Pythagoras an der Schwelle von der Logik zur Naturphilosophie.

– Das Reflexionsprinzip und die »Offenbarung« des Satzes des Pythagoras

Die Mathematik hat sich aus ihrem Innern gewissermaßen von der anderen Seite der Erkenntnis von Hegel genähert. Mit ihrer Abstraktionsmethode kam sie zu immer abstrakteren Objekten, bis sie schließlich die Menge aller Mengen, das Sein allen Seiendens, die Theorie von Allem oder schlicht das alles enthaltende Universum erreicht hat. An diesem Punkt fällt jedoch die Mathematik in sich zusammen, wenn sie konsequent bis zum Schluss daran festhalten will, alles schrittweise aus einzelnen, voneinander unabhängigen Elementen zu entwickeln. Dann führt entweder der Entwurf einer Menge aller Mengen in Paradoxien, wie der Mathematiker und Philosoph Bertrand Russell gezeigt hat, oder es wird ein Begriff des Universums gefunden, der völlig inhaltsleer geworden ist.

Innerhalb der Mathematik konnte gezeigt werden, dass für den Begriff des Universums (wenn für eine Weile angenommen wird, dass er besteht und sich nicht in Paradoxien auflöst) das Reflexionsprinzip gilt: Wird am Universum irgendeine beliebige Eigenschaft erkannt und nachgewiesen, dann kann gezeigt werden, dass diese Eigenschaft bereits für eine Teilmenge des Universums gilt. Das besagt in der Konsequenz, dass es nicht möglich ist, irgendeine Eigenschaft des Universums zu finden, die nur für das Universum im Ganzen gilt und nicht bereits für eine Teilmenge des Universums. Es gelingt nicht, das Universum in irgendeiner Weise positiv zu beschreiben.

Das Reflexionsprinzip gilt erst dann nicht mehr, wenn das Universum nicht als eine Menge verstanden wird, in der alle Teilmengen äußerlich zusammengefasst sind, sondern als ein lebendiger Organismus. Für die Lebendigkeit eines Organismus kann keine Teilmenge des Organismus gefunden werden, auf der sie bereits gilt, sondern sie ist nur möglich für den Organismus im Ganzen. So ergibt sich aus der üblichen Mathematik ex negativo die Lebendigkeit als die einzige Eigenschaft des Universums, die das Ganze des Universums von allen seinen Teilen unterscheidet. Die Lebendigkeit bezieht sich auf das Wirken des gesamten Organismus. Kein Teil, kein Organ und keine Zelle ist für sich lebendig, sondern erst und nur im Ganzen des Universums.

Es könnte gesagt werden, dass die Lebendigkeit eine bloße, folgenlose Zuschreibung ist. Jemand mag behaupten, dass das Universum lebendig ist, und jemand anders behauptet das Gegenteil. Das bliebe beliebig, solange es nichts gibt, an dem sich zeigen lässt, dass die eine Behauptung zu anderen Konsequenzen führt als die andere. Das Unterscheidungskriterium ist für mich der Satz des Pythagoras. Mit der Behauptung der Lebendigkeit lässt er sich verstehen und entsprechend seiner eigenen Natur beweisen, ohne diese Behauptung bleibt es notwendig bei der Art von Beweisen wie von Euklid, die Schopenhauer und Hegel kritisiert hatten.

Kant hatte überzeugend darauf hingewiesen, dass wir trotz aller Erkenntnisfortschritte nicht wissen, was die »Dinge an sich« sind. Diese Behauptung ist einzuschränken: Wir wissen, dass die Dinge an sich lebendig sein müssen, und wir wissen, dass sich ihre Lebendigkeit im Satz des Pythagoras zeigt. Der Satz des Pythagoras geht noch der von Kant aufgezeigten transzendentalen Ästhetik voraus, die gemäß seiner Philosophie zumindest für den Menschen und seinem Sinnesapparat (Sensorium) inhaltlich mit der euklidischen Geometrie übereinstimmt. Im Satz des Pythagoras zeigt sich ein Wesen, das wir uns nicht in dem uns bekannten euklidischen Raum und der uns bekannten Zeit vorstellen können. Es übersteigt deren Horizont. Der Mensch kann sich davon eine Idee machen, aber kein Bild. Der Satz des Pythagoras ist daher in strengem Sinn eine Offenbarung, die sich jedoch innerhalb der dem Menschen möglichen Wissenschaft darstellen lässt und als ihre Begründung gelten kann.

Hilbert und die Quantenmechanik

Viele Mathematiker und Naturwissenschaftler fühlten sich durch Kant eingeschränkt. Sie verstanden ihn so, der Mensch könne gar nicht anders, als in euklidischen Räumen zu denken. Hilbert fand einen neuen Ansatz, der sich seither als Grundlage der Physik bewährt hat: Statt den Satz des Pythagoras aus den euklidischen Axiomen abzuleiten, setzt er umgekehrt den Satz des Pythagoras als einzige Eigenschaft der von ihm eingeführten neuen Räume (Hilbert-Raum) voraus. Dadurch wird es möglich, den Satz des Pythagoras auch in Räumen zu fordern, die nichts mehr mit dem uns bekannten Raum der Anschauung zu tun haben. Es ist lediglich verlangt, allgemeiner zu formulieren, was mit Abstand und Rechtwinkligkeit gemeint sein soll:

Abstand: Im euklidischen Raum ist der Abstand zweier Punkte durch die Gerade definiert, durch die sie miteinander verbunden werden können. Das ist im euklidischen Raum ihre kürzeste Verbindung. In der Quantenmechanik gilt als Abstand zweier Zustände die Übergangswahrscheinlichkeit, wie häufig von einem Zustand in den anderen gewechselt wird. Das lässt sich anschaulich auf Alltagserfahrungen übertragen: Der Abstand zweier Ereignisse besteht darin, wie häufig sie einander folgen. Werden z.B. die drei Ereignisse Abends-einen-Film-Schauen, Nachts-von-Berlin-Träumen, Von-einem-Schulfreund-angerufen-Werden ausgewählt, dann kann statistisch ausgewertet werden, wie häufig sie einander folgen. Wenn sie häufig nacheinander eintreffen, gelten sie als einander nahe, wenn dagegen Ereignisse nur selten zusammentreffen, gelten sie als fern voneinander. Untersuchungen dieser Art sind inzwischen einer der Hauptanwendungsgebiete von Big Data, seit eine unübersehbare Datenmenge von Ereignissen verfügbar ist und Programme zu ihrer Auswertung entwickelt und fortlaufend verbessert werden.

Analog verfährt die Physik: Sie zählt, wie häufig ein Ereignis B dem Ereignis A folgt ohne zu erklären, warum das so ist. Das Ergebnis wird als Übergangswahrscheinlichkeit bezeichnet: Wird der Ausgangszustand mit φ bezeichnet und der nachfolgende Zustand mit φ', dann wird mit dem Ausdruck ⟨φ | φ'⟩ die Wahrscheinlichkeit beschrieben, dass der Zustand φ' dem Zustand φ nachfolgt. Die Übergangswahrscheinlichkeit gilt ganz anschaulich als der Abstand von φ zu φ'. Wenn sie häufig einander folgen, sind sie nahe beieinander, ansonsten sind sie weiter voneinander entfernt. Mit diesem Abstandsbegriff wird eine Geometrie entwickelt, bei der nicht mehr Punkte, sondern Zustände einen Abstand voneinander haben und die kleinsten Elemente in einem Zustandsraum sind. Statt des aus Punkten zusammengesetzten euklidischen Raums wird ein aus Zuständen zusammengesetzter Zustandsraum betrachtet. Da dort mit der Übergangswahrscheinlichkeit ein Abstand und mit der Unabhängigkeit voneinander entkoppelter Kräfte die Rechtwinkligkeit eingeführt werden kann, ist es möglich, dort den Satz des Pythagoras zu formulieren.

Orthogonalität: Das ist die Verallgemeinerung der Rechtwinkligkeit. Orthogonalität der Kräfte bedeutet: Wenn Kräfte voneinander unabhängig sind, stehen sie geometrisch gesprochen senkrecht aufeinander. Die eine Kraft wird in ihrer Wirkungsweise nicht durch die andere beeinflusst, sondern beide wirken unabhängig voneinander, jedoch gleichzeitig auf einen Gegenstand. Daraus ergibt sich dessen resultierende Bewegung, die als Diagonale in einem Kräfteparallelogramm veranschaulicht werden kann. Der geometrisch verstandene Übergang von der Hypotenuse zu den beiden Katheten kann physikalisch gedeutet werden als Zerlegung einer einheitlichen, noch teilweise unbestimmten Kraft in zwei Kräfte, aus denen sie als Resultierende zusammengesetzt ist. So wie Newton zum Beispiel die Kräfte eines Planeten zerlegt hat in zwei Kräfte, von denen die eine zur Sonne gerichtet ist und die andere tangential zur Planetenbahn, so überträgt Hilbert das auf einen allgemeinen Entwurf. Er hat mit dem Hilbert-Raum den allgemeinsten Rahmen konstruiert, in dem sich Kräftezerlegungen darstellen lassen.

Erst im 20. Jahrhundert ist daher deutlich geworden, dass der Satz des Pythagoras nicht nur die erste Intuition war, an der sich das Vermögen der Wissenschaft entzündet hat, mit Definitionen, Konstruktionen und Beweisen zu arbeiten, sondern er ist auch in einem ganz wörtlichen Sinn die Keimzelle, um die herum die Wissenschaft aufgebaut wird.

Die Herausforderung besteht darin, in einer unübersichtlichen Datenmenge die verborgenen Kräfte zu finden, die voneinander unabhängig sind. Das kann sich jeder schon im Alltag klar machen: Welche Ereignisse sind voneinander unabhängig und treten in völlig zufälliger Reihenfolge auf, und welche Ereignisse sind miteinander innerlich verbunden? So können zum Beispiel die Ereignisse Abends-einen-Film-Schauen und Nachts-von-Berlin-Träumen miteinander verbunden sein, wenn der Film in Berlin spielt.

Hinweise auf Verknüpfungen sind durch Symmetrien gegeben. Wenn bestimmte Ereignisse immer in einer festen Reihenfolge auftreten, oder wenn ein Ereignis nie auftritt, wenn ein bestimmtes anderes Ereignis vorgefallen ist, wird angenommen, dass es eine Kraft gibt, die diese Symmetrie hervorruft. Fallen z.B. beim Münzwurf beide Seiten gleich häufig nach oben, dann ist die Münze völlig eben und ihr Gewicht gleichmäßig verteilt. Diesen Zusammenhang hat 1918 die Mathematikerin Emmy Noether (1882-1935) erkannt. Sie war eine Schülerin von David Hilbert und wurde von ihm zu einer Zeit sehr gefördert, als Frauen in der Regel noch nicht an mathematisch-naturwissenschaftlichen Fakultäten studieren durften.

Noether-Theorem (1918): »Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie eines physikalischen Systems gehört eine Erhaltungsgröße«.

So geht seither die Quantenmechanik vor. Wenn sich bei einer Vielzahl von Experimenten immer die gleichen Muster zeigen, dann muss es eine Kraft geben, die im Verlaufe der Prozesse erhalten bleibt und von allen anderen Kräften unabhängig ist. Die Physik sucht in ihren Experimenten nach der kleinsten Anzahl voneinander unabhängiger Kräfte, mit denen alle Muster in den Beobachtungsdaten erklärt werden können, und schreibt sie als Achsen in einem Hilbertraum ein. Im Hilbertraum gilt ausschließlich das Gesetz, dass jeweils zwei Achsen eine Ebene bilden, in der der Satz des Pythagoras gilt.

Für den Satz des Pythagoras gibt es in der Physik keine weitere Begründung mehr. Es gilt als experimentelle Tatsache, dass sich alle Beobachtungen zutreffend in einem Raum beschreiben lassen, in dem der Satz des Pythagoras gilt. Warum das so ist, fragt keiner und beantwortet keiner. Es hat sich aus Sicht der Physiker schlicht als Erfahrungswissen durchgesetzt.

Es spricht auch keiner darüber. Zwar wird viel über die Quantenmechanik geschrieben, doch die Bedeutung des Satzes des Pythagoras gilt in der Regel als ein nicht erwähnenswertes mathematisches Detail, das so wie die Mathematik im Ganzen dem Verständnis des gewöhnlichen Menschen entzogen bleiben kann.

Es gibt jedoch ein sinnlich erfahrbares Beispiel, mit dem sich das buchstäblich hören lässt. Die von der Physik angewandten mathematischen Verfahren wurden ursprünglich innerhalb der Musik entwickelt. Wenn auf einem Instrument ein Ton gespielt wird, klingen auch unterschiedliche Obertöne mit. Die Klangfarbe eines Musikinstruments wird dadurch beschrieben, wie intensiv am jeweiligen Musikinstrument die verschiedenen Obertöne zu hören sind. Wenn zum Beispiel auf einer Geige und einer Klarinette der gleiche Ton gespielt wird, klingen sie dennoch verschieden, weil in unterschiedlicher Weise die Obertöne zu hören sind. Kaum ein Musikstück hat das so konsequent genutzt wie der Bolero von Maurice Ravel, in dem die gleiche Melodie in jeder Wiederholung von anderen Instrumenten gespielt wird. Und so wie die Physik in ihren Experimenten Symmetrien und Muster betrachtet, so kennt die Musik Harmonien, die sich aus den Verhältnissen der voneinander unabhängigen Obertöne ergibt. Das ist als erstes systematisch mit der Fourier-Analyse (harmonische Analyse) beschrieben worden.

Die Obertöne beziehen sich jeweils auf ihren Grundton, aber sie sind in dem Sinn unabhängig, als sie keine Resonanz bewirken. Wenn ein Oberton zu hören ist, schwingt kein anderer Oberton in Resonanz mit (ein Oberton schaukelt keinen anderen Oberton auf). Ihre Wellenlängen sind mathematisch gesehen entkoppelt. Daher sind die Obertöne das anschaulichste Beispiel für ein System mit unendlich vielen Achsen, die orthogonal aufeinander stehen. Alle Systeme der modernen Physik sind mathematisch identisch mit den resonanzfreien Systemen von Obertönen. Wie die Geometrie bilden die Obertöne und ihre harmonischen Gesetze einen abstrakten Raum, in dem die empirisch beobachteten Symmetrien mathematisch dargestellt werden können.

Mit der Musik und ihren Harmonien schließt sich der Kreis zu Pythagoras. Die Untersuchung musikalischer Harmonien und die Entdeckung von Intervallen mit ganzen Zahlen (wie Oktave, Quarte, Quinte) sowie der einfachsten Obertöne stand nachweislich am Anfang seines Denkens. Es kann mangels überlieferter Texte nur spekuliert werden, worin seine Grundidee bestand: Sie scheint in der übergreifenden Harmonie sowohl in der Musik wie der Geometrie und der Natur gelegen zu haben. In diese Tradition hat sich am Beginn der Neuzeit ausdrücklich Johannes Kepler mit seinen Entwürfen zur Weltharmonie gestellt und war insofern prägend für die seither bestehende Naturwissenschaft.

Offenbarung und mathematische Intuition

Wie konnte Pythagoras auf einen Satz kommen, der von Anfang an die Geometrie umgewälzt hat, und über 2.000 Jahre später zur Grundlage der Physik wurde? Er ist weder aus praktischen Aufgabenstellungen noch als Abstraktion aus konkreten, vorliegenden Figuren gewonnen. Über seine historische Entstehungsgeschichte ist nur wenig bekannt. Daher können hier nur assoziativ einige Ideen entwickelt werden, die im Ganzen nahelegen sollen, dass und wie mit Pythagoras eine neue Art von Offenbarung entstanden ist. (Das ist für mich die Kehrseite, warum es seither keine neuen Götter mehr gibt, wie Nietzsche im Antichrist, § 19 klagte: »Zwei Jahrtausende beinahe und nicht ein einziger neuer Gott!«)

In der hebräischen (und wohl allgemeiner orientalischen) Tradition waren Offenbarungen mit ungewöhnlichen Naturereignissen verbunden, die die beteiligten Menschen zutiefst erschütterten. Moses stieg von der kaum sichtbaren Höhe des Bergs Sinai herab und führte die Gesetzestafeln bei sich. Er verstand die Offenbarung Gottes im brennenden Dornbusch.

In der griechischen Tradition gab es vergleichbare Erscheinungen wie den von Nebel umhüllten Olymp oder die Orakelstätte bei Delphi. In den Nordeuropa ist zum Beispiel an den Berg Rambynas an der Memel in Litauen zu denken. Mit ihnen waren typisierende Figuren verbunden wie die frühen Göttergestalten, von denen bis heute eine ungewöhnliche Anziehungskraft ausging, seien es Dädalus, Jason oder Antigone, Medea und andere Göttinnen. Nur eine Figur wie Hamlet konnte später vergleichbare Wirkung entfalten.

Die Fähigkeit, Ereignisse und Götter als Offenbarungen empfangen und zumindest ansatzweise verstehen zu können, ist in der griechischen Tradition von den Königen und Priestern übergesprungen auf die Philosophen und Wissenschaftler. Wenn Pythagoras seinen Satz erkannt hat, dann hat er hierin eine ähnliche Macht gesehen wie in den älteren Göttern oder anderen von ihm hervorgehobenen symbol-artigen Phänomenen: Seien es die musikalischen Harmonien, das Pentagramm, die Irrationalität der Diagonale im Vergleich zu den Außenseiten des Quadrats oder schlicht die Zahl Fünf.

Vielleicht war es einfach ein spielerischer Umgang mit Figuren, durch den die frühen Mathematiker in Griechenland mehr oder weniger zufällig auf die Aussage des Satzes des Pythagoras stießen. Sie gewannen einen freieren Umgang mit der Mathematik als die streng an Anwendungen orientierten Babylonier. Diese Freiheit machte sie empfänglich für eine neue Art von Offenbarungen.

Wird gefragt, warum die babylonische Mathematik noch nicht auf den Beweis des Satzes des Pythagoras kam, lässt sich das nur so verstehen, dass sie für eine solche Erkenntnis noch nicht bereit waren. Ein Satz und eine Beweisidee wie die von Euklid sind nur möglich, wenn eine Art inneres Hören auf das gegeben ist, was in Zeichnungen wie diesen enthalten ist.

Die Fähigkeit, auch in mathematischen Figuren gewissermaßen zwischen den Zeilen lesen zu können, kann mit den von Leibniz genannten kleinen Perzeptionen verglichen werden. Leibniz ging davon aus, dass der Mensch auf einer tiefen Ebene der Sinneswahrnehmung wesentlich mehr wahrnimmt als ihm bewusst wird und in seine Vorstellungen und Visionen einfließt. An der Schwelle von der Vielfalt der sinnlichen Eindrücke zu der verstandesmäßigen Bildung von daraus aggregierten Vorstellungen ist es möglich, ein intuitives Verständnis davon zu gewinnen, was an dieser Schwelle ausgefiltert wird. Das entzieht sich dem Verständnis und damit jeder Beschreibung, aber es scheint mir die einzig mögliche Erklärung zu sein, wie in unübersichtlichen Figuren mit mathematischer Phantasie (Gödel würde sagen: Anschauung) übergreifende Strukturen wahrgenommen werden können, die sich der direkten Sinnlichkeit entziehen. Erst wenn es dem Mathematiker gelingt, sie in Formeln zu bringen und deren Vorhersagen im gegebenen Datenmaterial zu überprüfen, dann lässt sich die Richtigkeit der mathematischen Einsicht überprüfen und bestätigen.

Gödel hat hierfür 1944 in seinem Aufsatz über Russell den Ausdruck fecundity (Fruchtbarkeit, Fertilität) gewählt (Gödel, S. 140f), und sprach 1964 in einem Anhang zu seinem Beitrag über die Kontinuum-Hypothese von fruitfulness (Gödel, S. 261, 269). Das scheint mir sehr treffend zu sein, da hier beides zusammenkommt: Die Empfänglichkeit und die Fruchtbarkeit. Die Mathematik steht damit in der mittleren Position, von der auch Platon sprach. Gödel war überzeugter Platoniker.

Überfließen und Zusammenfallen

Hegel hat meines Wissens als einziger Philosoph die herausragende Bedeutung des Satzes des Pythagoras erkannt. Er hat nicht nur gesehen, wie ihm auf Seite des Gegenstandes eine lebendige Bewegung zugrunde liegt, sondern auch, wie sich hier exemplarisch die besondere Fähigkeit des Erkennens zeigt, die dem Menschen gegeben ist. Als er versucht hat, für seine Idee des Erkennens ein überzeugendes Beispiel zu finden, blieb ihm nur der Satz des Pythagoras.

Er zeigt die Fähigkeit des Menschen, Dinge von einer völlig unerwarteten Seite zu sehen und einen Weg zu finden, Erkenntnisse dieser Art in geeigneten Sätzen formulieren und beweisen zu können. Der Satz des Pythagoras ist der Prototyp eines Satzes, der sich radikal von allen Protokollsätzen der Art ›S ist p‹ unterscheidet. Für Hegel gipfelt die Wissenschaft der Logik in der Einsicht, wie das Erkennen solcher Sätze fähig ist und sich erst darüber in seinem eigenen Wesen selbst erkennt. Ich verstehe das so: Er möchte am Beispiel des Satzes des Pythagoras die abstrakte Gegenüberstellung von Verstandes- und spekulativen Sätzen überwinden, wie sie noch seine Phänomenologie des Geistes prägt.

Der Satz des Pythagoras kann in einer übergreifenden Bewegung des Überfließens und des Zusammenfallens gesehen werden, die Hegel vom Neuplatonismus übernommen, aber an wesentlicher Stelle umgedeutet hat. Das soll hier abschließend wenigstens angedeutet werden.

Überfließen. Mit dem Satz des Pythagoras wird in meiner Deutung der »Überfluss der Realität« (HW 6.531) ergriffen. Das gehört für Hegel zum Fortgang des Erkennens. Es ist das vielleicht schlagende Beispiel, wie nicht der Fortgang der Methode ein Überfluss ist, sondern sich das Erkennen dem Überfluss der Realität nähert. Darin liegt der Unterschied von Hegel zum Neuplatonismus, von dem er sich mit der absoluten Idee absetzt. (HW 6.555f, siehe auch die Interpretationen bei Halfwassen 1999, S. 289 und Schäfer, S. 212).

Zusammenfallen. Nicht nur dem Verstand fallen seine Ergebnisse zusammen, sondern auf ganz andere Art kommt es zum Zusammenfallen der Logik, wenn sie vollständig abgeschritten und ausgeschöpft ist und übergeht in die neue Unmittelbarkeit der Naturphilosophie (siehe Richli 1978, S. 81ff mit Bezug auf JLMN, S. 185). Der Satz des Pythagoras scheint mir dasjenige zu sein, was im Zusammenfallen erhalten bleibt, wodurch ein völliges Auseinanderfallen von Logik und Naturphilosophie vermieden wird.

– Logik der Form nach Spencer-Brown

Überfließen und Zusammenfallen können mit den beiden Begriffen prohodos (Hervortreten) und epistrophe (Zurückkehren) im Neuplatonismus verglichen werden. Der englische Mathematiker und Philosoph George Spencer-Brown hat 1969 eine eigenwillige Logik der Bezeichnungen (Laws of Form, Indikationen-Kalkül) vorgelegt, der die Logik auf einfachste Regeln zurückführen will. Er bezieht sich ausdrücklich auf diese beiden grundlegenden Bewegungen und stellt sie in der von ihm eingeführten primären Algebra als Generierung (Erzeugung, procession, breed) und Integration (reversion) dar.

Sein Ansatz wurde von Informatikern wie Warren McCulloch (der unter anderem das Konzept neuronaler Netze einführte) und Theoretikern selbstorganisierender Systeme (autopoiesis) aufgegriffen (Francisco Varela). In dieser Richtung kann ein neuer Ansatz gesehen werden, auf wissenschaftlicher Grundlage eine Art Logik des Lebendigen zu entwickeln. Mir erscheint es eine naheliegende Frage, ob in den von Spencer-Brown angeregten Logik-Kalkülen in verallgemeinerter Weise der Satz des Pythagoras oder ein vergleichbares Gegenstück nachgewiesen werden kann.

Inhaltlich nimmt Spencer-Brown die Frage auf, ob und wie beim Auffalten (Umblättern) der geometrischen Konstruktion zum Beweis des Satzes des Pythagoras eine zusätzliche Dimension erforderlich ist. Er vergleicht das überzeugend mit der Einführung der komplexen Zahlen, die ebenfalls durch die zusätzliche imaginäre Achse die Darstellung von Rückkopplungen und Schleifen ermöglichen und in der Physik von grundlegender Bedeutung geworden sind.

Literatur

Mark van Atten: Monads and sets. On Gödel, Leibniz, and the reflection principle
in: G. Primiero and S. Rahman (Hg.): Judgement and Knowledge, London 2009, S. 3-33; Link

Peter Damerow, Wolfgang Lefèvre: Die wissenschaftshistorische Problemlage für Hegels 'Logik'
in: Hegel-Jahrbuch, 1979 (1980), S. 349-368

Euklid: Elemente, Buch 1 Proposition 47 (Link) und Buch 6 Proposition 31 (Link)

Georg Wilhelm Friedrich Hegel: Werke in 20 Bänden. Auf der Grundlage der Werke von 1832-1845 neu ediert. Red. E. Moldenhauer und K. M. Michel. Frankfurt/M. 1969-1971 (zitiert als HW); Link

Karl Kerényi: Pythagoras und Orpheus, Zürich 1950

Friedrich Wilhelm Korff: Der Klang der Pyramiden – Platon und die Cheopspyramide, Hildelsheim 2009

Gottfried Wilhelm Leibniz: Aus den Metaphysischen Anfangsgründen der Mathematik
in: Leibniz: Hauptschriften zur Grundlegung der Philosophie, Bd. 1, Hamburg 1996, S. 35-48

Bruno Liebrucks: Sprache und Bewußtsein, Band 6 Teil 3, Frankfurt am Main und Bern 1974

Kurt Reidemeister: Raum und Zahl, Berlin u.a. 1957

Rainer Schäfer: Die Dialektik und ihre besonderen Formen in Hegels Logik, Hamburg 2001

Claus-Artur Scheier: Der Satz des Thales und der Himmel über Griechenland, Braunschweig 2009

Arthur Schopenhauer (Schopenhauer 1813-1847): Ueber die vierfache Wurzel des Satzes vom zureichenden Grunde. 1813 (Dissertation Schopenhauers). Zweite, sehr verbesserte und beträchtlich vermehrte Auflage 1847. (zeno.org)

Arthur Schopenhauer (Schopenhauer 1819-1859): Die Welt als Wille und Vorstellung, Erster Band. 1819, Dritte, verbesserte und beträchtlich vermehrte Auflage 1859; (Gutenberg-Projekt)

George Spencer-Brown: Laws of Form, New York 1972 [1969]

Thomas Unkelbach: Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken, Rivius-Gymnasium Attendorn 2011; Link

Bildnachweis des Titelbildes: Wikipedia, Urheber: By Jean-Louis Lascoux - Own work, Public Domain, Link
Pythagoras und die Geometria sitzen in ihren Studierstübchen zu Füßen der Musik und der Dialektik. Zu ihrer Anordnung und zu den anderen Figuren am Königsportal siehe 12koerbe.

2016

 


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