Walter Tydecks

 

Imaginäre Zahlen

– Wie aus der Wissenschaft mathematische Intuition wird

Beitrag für den Themenkreis Naturwissenschaft und Technik von 50plus aktiv an der Bergstraße am 22.11.2017 in Bensheim

Einleitung

I Warum sind die imaginären Zahlen imaginär oder unmöglich? Welche Einbildungskraft (Imagination) zeigt sich an ihnen? Und warum sind für die meisten Laien die imaginären Zahlen die unüberwindbare Hürde um zu verstehen, mit welchen neuen Inhalten die moderne Mathematik und Naturwissenschaft befasst sind? Ist es möglich, das mit einfachen Beispielen aufzulösen?

Sind sie einfach nur eine hilfreiche Abkürzung, damit Elektroingenieure und Quantenphysiker leichter rechnen können, oder ein unglaublicher Juwel (»amazing jewel«), von dem der legendäre Nobelpreisträger Richard Feynman in seinen Physik-Vorlesungen schwärmt?

Warum liegen hier die größten offenen Fragen der Mathematik wie die Riemannsche Vermutung über die Verteilung der Primzahlen, und lohnt es sich überhaupt, Themen dieser Art verstehen zu wollen?

Besteht die Welt aus reellen oder komplexen Zahlen, oder möglicherweise noch exoterischen Zahlen wie die Quaternionen oder die Elemente der Lie-Gruppe E8, die sich aus 248 komplexen Dimensionen zusammensetzt?

Für mich zeigt sich in den imaginären Zahlen der neue Beitrag Europas in der Geschichte der Mathematik: So wie die Entstehung der Mathematik bei Ägyptern und Sumerern unter die Überschrift Wie aus den Bildern Zahlen wurden gestellt werden konnte und die antike Mathematik von Pythagoras, Euklid und anderen den Titel trägt Wie aus den Zahlen Wissenschaft wurde, kennzeichnet die europäische Mathematik Wie aus der Wissenschaft intuitive Mathematik wurde. Während die natürlichen Zahlen aus dem Zählen und die reellen Zahlen aus dem Messen hervorgehen, sind die imaginären Zahlen das Ergebnis mathematischer Einbildungskraft, sogar noch in solchen Bereichen mathematische Beziehungen zu konstruieren und mit ihnen nachprüfbare Erkenntnisse zu gewinnen, die für alle sinnlichen Erfahrungen verdeckt sind und den gegebenen Regeln des Denkens widersprechen.

Das soll an der Entwicklung der imaginären Zahlen vom italienischen Universalgelehrten Cardano (1501-1576) bis in die Gegenwart gezeigt werden, an den verschiedenen Anwendungsgebieten der imaginären Zahlen und führt zur Frage, welche neue Art zu denken mit den imaginären Zahlen verbunden ist. Überraschenderweise hat sich die moderne Philosophie mit diesem Thema bisher kaum befasst, die Religion und Theologie schon gar nicht, wohl aber Schriftsteller wie Robert Musil und Psychologen wie C.G. Jung und Lacan. An diesem Vormittag soll versucht werden, ein wenig Licht auf das Geheimnis zu werfen, das die imaginären Zahlen umgibt.

II Wenn die komplexen Zahlen überhaupt in der Schule unterrichtet werden, dann werden sie eingeführt als die Wurzeln aus negativen Zahlen wie Wurzel aus minus 1. Erst wird in der Schule gelernt, dass Quadratzahlen immer positiv sind, wenn z.B. 5 · 5 = 25 ergibt oder −5 · −5 ebenfalls 25. Die Quadratzahl wird veranschaulicht als die Fläche eines Quadrats, dessen Seite so lang ist wie die Zahl, die quadriert werden soll.

Quadratzahlen

Wie kann es dann möglich sein, eine Quadratzahl zu finden, die negativ ist? Was kann eine »negative Fläche« sein? Dafür gibt es keine Veranschaulichung, und so fällt es jedem schwer zu verstehen, was mit imaginären Zahlen gemeint sein soll. Um dennoch einen Zugang zu finden, soll daher ein anderer Weg eingeschlagen werden: Wie sind die Mathematiker auf die imaginären Zahlen gekommen? Niemand hat gefragt, was eine negative Quadratfläche sein soll, sondern es wurden Zahlen eingeführt, denen erst später die paradoxe Bedeutung verliehen wurde, als negative Fläche verstanden zu werden.

III Daraus ergibt sich der Aufbau des folgenden Beitrags:

– Wie sind die imaginären Zahlen historisch entstanden?

– Worin liegt ihre besondere mathematische Bedeutung, und was sind ihre wichtigsten Anwendungen?

– Zeigt sich an den imaginären Zahlen eine neue Art zu denken, und wie ist ein Denken möglich, das paradoxe Bedeutungen wie ‘negative Flächen’ einführen kann?

Komplexe Zahlen als mathematisches Spiel (Cardano)

Die imaginären Zahlen gehen zurück auf typische Universal-Gelehrte des Renaissance-Humanismus wie Girolamo Cardano (1501-1576), der auf unterschiedlichen Gebieten hervorgetreten ist von der Medizin über die Philosophie bis zur Mathematik, daneben astrologische Interessen und Traumdeutung. Heute ist sein Name vielleicht am ehesten bekannt über die nach ihm benannte Kardanwelle und die Kardanische Aufhängung. Renaissance-Denker wie Cardano standen damit zum einen in der Tradition arabischer Gelehrte wie Avicenna (980-1037) oder Averroës (1126-1198) aus dem 10. bis 12. Jahrhundert, die über eine ähnliche Bildung und Wissensfülle verfügten, gingen aber in einem entscheidenden Punkt über sie hinaus: Das ist ihre mathematische Intuition, um dies in diesem Beitrag gehen soll.

Cardano »hat zahlreiche Horoskope (u. a. für Francesco Petrarca, Erasmus von Rotterdam und Albrecht Dürer) gestellt und sich mit der Deutung von Vorzeichen und Vorahnungen beschäftigt. Dies hat ihm im 18. Jahrhundert den Ruf eines Schwärmers eingebracht. So urteilt später Leibniz über ihn: 'Es scheint, das Wissen hat einen Zauber, den die nicht begreifen können, die von ihm nie ergriffen worden sind. Ich meine nicht bloß Tatsachenwissen, das keine Gründe kennt, sondern ein Wissen wie dasjenige Cardanos. Der war wirklich ein großer Mann, trotz aller seiner Fehler; ohne die wäre er unvergleichlich gewesen.' (Leibniz: Essais de théodicée, 1710)«. (Wikipedia, abgerufen am 26.8.2017)

Seine Bedeutung für die Geschichte der Mathematik kann verglichen werden mit den ersten Mathematikern in Babylonien und den Pythagoreern. Hatten sie die ersten Zahlsysteme und das geometrische Beweisverfahren eingeführt, so steht Cardano noch 100 Jahr vor Descartes und Kepler für das intuitive Denken oder genauer die mathematische Intuition, die das Paradigma für die die neuzeitliche, europäische Mathematik wurde. Seine Neuerung scheint mir noch nicht annähernd gewürdigt. Bis heute blieb in der westlichen Philosophie die Frage der imaginären Zahlen nahezu unbeachtet.

Seine Herangehensweise mutet wie ein Spiel an, – ein Gedankenexperiment oder ein »Glasperlenspiel« (Hermann Hesse): Er ging von einer Aufgabe aus, die von keiner praktischen Bedeutung ist, sondern dazu hilft, an einer präzise gestellten Frage bisher unbekannte Wege zu gehen: Gibt es zwei Zahlen a und b, so dass gilt:

a + b = 10
a · b = 40

An dieser Aufgabe lassen sich alle Grundzüge der imaginären Zahlen verdeutlichen. Wer verschiedene Zahlen ausprobiert, wird schnell merken, dass es im Bereich der üblichen Zahlen keine Lösung gibt: Zum Beispiel gilt für 1 und 9 zwar 1 + 9 = 10, aber nur 1 · 9 = 9. Im anderen Extrem gilt zwar 5 + 5 = 10, aber 5 · 5 = 25 erreicht wiederum nicht die 40.

Erst mit komplexen Zahlen ist eine Lösung möglich:

Gleichung 1
Gleichung 2

Es gilt offensichtlich a + b = 10, da die Wurzel aus −15 einmal addiert und dann wieder subtrahiert wird. Und wer nachrechnet, wird für das Produkt a · b finden (nach Gill, 1):

Gleichung 3

Welche Idee liegt dieser Lösung zugrunde? Cardano erkannte, dass die Lösung nicht auf der Zahlengerade liegen kann, sondern dass die Lösungen außerhalb der Zahlengerade liegen müssen. Er sprach unter der Kapitelüberschrift »De Regula falsum ponendi« (Regeln falschen Setzens) von einer »unmöglichen Aufgabe« (quaestio est impossibilis) und von »quantitas sophistica«. Es ist nicht bekannt, wie er die Lösung gefunden hat. Verschiedene Äußerungen deuten darauf hin, dass er bei der Beschäftigung mit quadratischen und kubischen Gleichungen von einer algebraischen Vorstellung ausging. So sprach er von »dimissis incruciationibus«, was von den einen als »Überwindung geistiger Qualen«, von anderen als »kreuzweise entstehende Produkte« übersetzt wird und möglicherweise ein bewusst gewähltes Sprachspiel enthält. Ich will versuchen, es geometrisch an einer Zeichnung zu verdeutlichen und wähle eine eigene Intuition, die im Weiteren dabei helfen wird, die unterschiedlichen Möglichkeiten des Multiplizierens miteinander zu vergleichen.

Cardano 2

Cardanos Lösung mit imaginären Zahlen in meiner geometrischen Darstellung

Die Zeichnung erfolgt in zwei Schritten:

– Um für die Aufgabe a · b = 40 eine Lösung zu finden, kann im einfachsten Fall angenommen werden, dass a = b gelten soll. Es wird also die Zahl a gesucht, für die a · a = a2 = 40 gelten soll. Das ist Wurzel aus 40. Wurzel aus 40 beträgt angenähert 6,32. Diese Zahl wird auf der reellen Achse eingetragen. Das kann noch nicht die Lösung sein, denn es gilt 6,32 + 6,32 = 12,64 ≠ 10, so dass die erste Bedingung verletzt wird. An dieser Stelle ist es die Intuition der Mathematik, sich nicht auf die Zahlengerade zu beschränken, sondern eine neue Dimension zu öffnen und einen Kreis um den Nullpunkt zu schlagen, der die reelle Achse bei 6,32 schneidet. Alle Punkte auf dem Kreis haben den Abstand 6,32 zum Nullpunkt. Die Lösung muss irgendwo auf dem Kreis liegen, aber nicht auf der reellen Zahlengerade.

– Um auf dem Kreis die gesuchten Punkte zu finden, wird eine Gerade gezeichnet, die an der Zahl 5 senkrecht zur reellen Zahlengerade steht. Sie schneidet an zwei Punkten den Kreis, der den Radius 6,32 hat, und diese beiden Schnittpunkte sind die gesuchte Lösung!

Cardano hat die imaginären Zahlen noch nicht mit dem Buchstaben i bezeichnet, aber er hat intuitiv die Rechenregeln der imaginären Zahlen vorweggenommen. Die Rechenregeln für imaginäre Zahlen müssen zwei Anforderungen erfüllen:

(i) Sie dürfen nicht die bekannten Regeln für natürliche und reelle Zahlen verletzen. Werden zwei reelle Zahlen addiert oder multipliziert, dann sollen die bisher bekannten Ergebnisse gültig bleiben.

(ii) Werden dagegen zwei komplexe Zahlen addiert oder multipliziert, die nicht auf der reellen Zahlengerade liegen, dann sollen die Rechenregeln in sich widerspruchsfrei sein und die Aufgabe erfüllen, die sich Cardano gestellt hatte.

Schon am Beispiel der Aufgabe von Cardano lässt sich »sehen«, wie mit komplexen Zahlen gerechnet wird:

Cardano

Addition und Multiplikation imaginärer Zahlen am Beispiel der Cardano-Aufgabe

Addition: Für die Addition werden die beiden Strecken, die vom Nullpunkt zur jeweiligen komplexen Zahl führen, hintereinander ausgeführt. In diesem Beispiel wird zuerst die rote Strecke bis zur Zahl Gleichung 1 gegangen, und anschließend die blaue Strecke zur Zahl Gleichung 2 mit einer Parallel-Verschiebung angefügt (blau-punktiert angedeutet), wodurch im Ergebnis wie gewünscht die Zahl 10 erreicht wird. (Gleichbedeutend kann erst die blaue und dann die rot-punktierte Strecke ausgeführt werden, wobei ebenfalls die 10 erreicht wird.)

Multiplikation: Für die Multiplikation erfolgen zwei Schritte:
(a) Für jede Strecke, die zu einer komplexen Zahl führt, wird der Winkel gegenüber der reellen Zahlenachse ermittelt. In diesem Beispiel ist die rote Strecke ungefähr im Winkel von 50° gegenüber der reellen Zahlenachse gedreht, die blaue Strecke im Winkel von −50°. Beim Multiplizieren werden beide Windel addiert, wodurch sich in diesem Beispiel ein Winkel von 0° ergibt, da beide Zahlen spiegelbildlich oberhalb und unterhalb der reellen Zahlenachse liegen. Das war die Lösungsidee anhand der Aufgabe von Cardano: Werden die Winkel addiert, dann fällt die Lösung auf die reelle Zahlenachse.
(b) Zugleich werden die Längen der beiden Faktoren multipliziert, das sind die Abstände der beiden imaginären Zahlen zum Nullpunkt. In diesem Beispiel ergibt das 6,32 · 6,32 = 40, da beide Zahlen auf dem Kreis mit dem Radius 6,32 liegen.

Es ist nicht einfach, die mathematische Sprache zu verstehen, in der Cardano diese Lösung fand. Für ihn war klar, dass es solche Zahlen nicht gibt, sondern dass sie ausschließlich Ergebnis einer mathematischen Vorstellungskraft (Phantasie, Imagination) sind. Er hat auf nahezu spielerische Weise die Regeln der komplexen Zahlen vorweggenommen, die erst im Verlaufe der Jahrhunderte nach ihm im Einzelnen ausgearbeitet wurden. Die bis heutige gültige Darstellung führte erst 300 Jahre später Bernhard Riemann ein. Für mich ist die Arbeit von Cardano eine herausragendes Beispiel, welcher Leistungen die mathematische Intuition fähig ist.

Drehung komplexer Zahlen (Zyklizität)

Die Rechenregeln der imaginären Zahlen ergeben sich ausgehend von dem Cardano-Beispiel sehr einfach. Mir geht es vor allem um die Frage: Was ist das Neue der komplexen Zahlen, wodurch sich die imaginären Zahlen von gewöhnlichen Zahlen unterscheiden: Die Besonderheit der komplexen Zahlen liegt in der Multiplikation zweier komplexen Zahlen, bei der die beiden Faktoren  gedreht  werden. Um das zu verstehen, ist am einfachsten jede komplexe Zahl als ein  Zeiger  zu deuten, der vom Nullpunkt auf den Punkt der komplexen Zahl auf der zweidimensionalen Zahlenebene verweist.

Das haben um 1800 unabhängig voneinander der norwegisch-dänische Kartograph Caspar Wessel (1745-1818) und der aus Genf stammende Buchhändler, republikanische Revolutionär und Hobbymathematiker Jean-Robert Argand (1768-1822) eingeführt. Ihr Ansatz lässt sich bis heute nicht anschaulicher als in den Worten von Wessel formulieren.

Addition: »Zwei gerade Linien werden addiert, wenn wir sie auf solche Weise vereinigen, daß die zweite Linie beginnt, wo die erste endet, und dann eine gerade Linie von dem ersten zu dem letzten Punkt der vereinigten Linien ziehen. Diese Linie ist die Sume der vereinigten Linien.« (Wessel, § 1). Das verallgemeinert anschaulich das Addieren gewöhnlicher Zahlen, bei dem die beiden Zeiger zu den reellen Zahlen auf der Zahlengerade nebeneinander gelegt werden. Im zweidimensionalen Fall ergibt das ein Parallelogramm, dessen Diagonale die gesuchte Summe ist. (Die Bezeichnung i für die imaginäre Achse geht auf Euler 1777 zurück. Von komplexen Zahlen wird erst seit Gauß 1831 gesprochen.)

Vektoraddition     Zahlenaddition

Vektoraddition     Zahlenaddition

Summe zweier komplexer und zweier reeller Zahlen in Zeigerdarstellung

Die komplexen Zahlen werden mit Zeigern (Vektoren) dargestellt: Der rote und der blaue Vektor werden addiert, indem jeweils ihre beiden Koordinaten addiert werden. Erst wird die Strecke des roten Vektors gegangen, anschließend die Strecke des blauen Vektors, oder gleichbedeutend: Erst die Strecke des blauen Vektors, anschließend die Strecke des roten Vektors. Es entsteht ein Parallelogramm. Dessen Diagonale ist der grüne Vektor. Er ist die Summe der beiden Vektoren a und b, bzw. gleichbedeutend der beiden komplexen Zahlen a und b. Die schwarz gestrichelten Linien bezeichnen die Koordinaten, die jeweils addiert werden.

Bei der Addition reeller Zahlen geschieht das gleiche, nur liegen in diesem Fall der rote und der blaue Vektor auf der gleichen Linie. Sie werden nacheinander ausgeführt. Im Ergebnis ergibt sich als Summe der grüne Vektor. (Genau genommen liegen der blaue, rote und grüne Vektor jeweils aufeinander auf der horizontalen Achse. In der Zeichnung müssen sie übereinander dargestellt werden, um sie unterscheiden zu können.)

Multiplikation: Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen gilt in den Worten von Wessel eine »Richtungsänderung« (Drehung). Werden zwei komplexe Zahlen multipliziert, ergibt das wie beim Addieren einen neuen Zeiger. Seine Länge ist das Produkt der Längen der beiden Faktoren. Hinzu kommt die »Richtungsänderung«, wobei der Richtungswinkel des Produkts »der Summe der Richtungswinkel der Faktoren gleich werden« soll (Wessel, § 4).

Multiplikation komplexer Zahlen

Produkt zweier komplexer Zahlen
Urheber: von Kmhkmh - Eigenes Werk, CC-BY 4.0, Link

Die beiden komplexen Faktoren werden mit einem blauen bzw. roten Zeiger dargestellt, das Produkt mit einem grünen Zeiger. Die Drehung ergibt sich durch Addition der Winkel φ der beiden Zeiger, die Länge als Produkt der Längen des blauen und roten Zeigers. In diesem Beispiel ist die Länge des blauen Zeigers größer als 1 und die Länge des roten Zeigers kleiner als 1. Daher ergibt ihr Produkt einen Wert, der zwischen den Längen der beiden Faktoren liegt. Das Produkt zweier komplexer Zahlen ergibt durch eine Drehstreckung eine neue komplexe Zahl (grün).

Wie bei der Addition stimmen die Regeln für das Multiplizieren komplexer Zahlen mit den Regeln für das Multiplizieren reeller Zahlen überein: Positive reelle Zahlen können als komplexe Zahlen angesehen werden, die um einen Winkel von 0° (bzw. bei den negativen Zahlen von 180°) gedreht sind. Werden zwei reelle Zahlen multipliziert, dann ergeben sich die Multiplikationsregeln direkt aus der Lage auf der reellen Zahlenachse:

Multiplikationsregel    Addition der Winkel Deutung
+ · + = + 0° + 0° = 0°  
+ · − = − 0° + 180° = 180° Spiegelung
− · + = − 180° + 0° = 180° Spiegelung in der anderen Richtung
− · − = + 180° + 180° = 360° = 0°  volle Drehung zum Anfangspunkt

Das Produkt reeller Zahlen liegt wieder auf der reellen Zahlenachse. Es bleibt, nach den üblichen Regeln die Beträge (die Abstände zum Nullpunkt) der beiden reellen Zahlen miteinander zu multiplizieren und die Vorzeichen zu berücksichtigen.

Um zu erkennen, wie außergewöhnlich eine Drehung (Richtungsänderung) bei mathematischen Operationen ist, ist die Idee zur geometrischen Darstellung der Aufgabe von Cardano einen Schritt genauer zu untersuchen. Sie enthält zwei Momente: Das Skalarprodukt und das Vektorprodukt. Das Skalarprodukt kann mit einem Schattenbild, das Vektorprodukt mit der Errichtung einer neuen Achse und das Produkt komplexer Zahlen als Drehstreckung verstanden werden, die das Skalarprodukt und das Vektorprodukt als innere Momente enthält. Wer heute Mathematik, Physik oder technische Fächer lernt, wird meist mit einer Vielfalt von Begriffen wie diesen konfrontiert, und das oft in unterschiedlichen Zusammenhängen. Daher kann der Eindruck entstehen, als seien das einfach verschiedene Möglichkeiten, mit denen jeweils das gewünschte Ergebnis nachgewiesen werden soll, welches im Vorfeld schon bekannt ist. Ausgehend von der Multiplikation komplexer Zahlen lässt sich jedoch verstehen, wie diese verschiedenen Arten des Multiplizierens innerlich zusammen gehören und was sie unterscheidet.

(i) Skalarprodukt: Anschaulich kann gesagt werden: Zwei Zeiger, die in verschiedene Richtungen weisen, können nicht direkt miteinander multipliziert werden, da sie gegeneinander verdreht sind. Mit dem Skalarprodukt zweier Zeiger wird ein Weg gefunden, die Drehung beider Zeiger zueinander zu berücksichtigen und sie so zu multiplizieren, als würden beide auf der reellen Zahlenachse liegen. Um sie multiplizieren zu können, muss ein Zeiger auf den anderen projiziert werden, so dass beide aufeinander liegen und in die gleiche Richtung weisen. Wenn das erfolgt ist, können sie wie gewöhnliche Zahlen miteinander multipliziert werden. Das wird am klarsten an einer einfachen Zeichnung:

skalare Multiplikation     Skalarprodukt in Cardano

skalare Multiplikation     Skalarprodukt in Cardano

Skalarprodukt

Linkes Bild: Der kürzere Zeiger – das ist in diesem Beispiel der blaue Zeiger a mit der Länge |a| – wird auf den längeren Zeiger projiziert. Wichtig ist, den Unterschied einer Drehung und einer Projektion zu erkennen. Bei einer Drehung verändert sich die Länge nicht, bei einer Projektion wird sie verkürzt. Die Projektion kann mit einem Schattenwurf verglichen werden: Die Projektion ist der Schatten des einen Zeigers auf dem anderen. Das ergibt in diesem Bild den blau gestrichelten Zeiger ab mit der Länge |ab|. Es ist an der Zeichnung zu sehen, dass mit der Projektion die Länge kürzer geworden ist: |ab| ist kleiner als |a|. Das grün hervorgehobene Skalar a · b ist das Produkt der Länge des längeren Vektors, – bezeichnet als |b| –, und der Länge des auf den längeren Vektor projizierten kürzeren Vektors |ab|. Das ergibt in diesem Beispiel: a · b = |ab| · |b| .

Wenn im Grenzfall der Winkel zwischen beiden Zeigern 0° beträgt und sie aufeinander liegen, dann ist keine Projektion notwendig und es muss nicht unterschieden werden zwischen der Länge des Zeigers vor der Projektion – das ist in diesem Beispiel |a| – und der Länge der Projektion – das ist in diesem Beispiel |ab|. In diesem Grenzfall gilt direkt: a · b = |a| · |b|.

Rechtes Bild: Die Idee des Skalarprodukts ist bereits in der Intuition zu Cardano enthalten. Wird die senkrechte Linie betrachtet, die von der reellen Zahl 5 ausgeht, dann erfolgt entlang dieser Senkrechte der Schattenwurf der beiden Zeiger, die auf die Zahlen Gleichung 1 und Gleichung 2 zeigen, auf die reelle Zahlenachse. Während die beiden Zeiger jeweils die Länge 6,32 haben (das ist der Radius des Kreises), hat ihr Schattenwurf nur die Länge 5. Das lässt sich auch in der anderen Richtung "lesen": Statt den Schattenwurf der Zeiger auf die reelle Zahlenachse zu "sehen", kann umgekehrt entlang der Senkrechte eine Verlängerung gesehen werden, die von dem Zeiger auf die Zahl 5 durch eine Projektion auf die beiden Zeiger zu den Zahlen Gleichung 1 und Gleichung 2 führt. Mit dieser Operation sind die Zahlen gefunden, die die gestellte Aufgabe lösen: Das Produkt ihrer Längen ergibt wie gewünscht 6,32 · 6,32 = 40, während ihr Skalarprodukt (das ist das Produkt ihrer Schatten auf der reellen Zahlenachse jeweils mit der Länge 5) nur 5 · 5 = 25 ergibt. Mit dieser Operation ist es gelungen, aus ›5 · 5 = 25‹ das gesuchte Ergebnis ›6,32 · 6,32 = 40‹ zu "machen".

Als Ausblick sei ergänzt, dass jetzt nur noch jemand mit einer zugleich mathematischen wie physikalischen Phantasie begabter Wissenschaftler wie Einstein kommen musste, um das hier dargestellte Spiel der mathematischen Intuition der Zahlen zu übertragen auf den Bewegungsraum der Mechanik und zu erkennen, dass die im Verhältnis vom Skalarprodukt und dem Produkt komplexer Zahlen auftretenden Verkürzungen und Verlängerungen physikalisch gedeutet werden können. Das ergibt den Übergang zu Räumen, bei denen es in der Speziellen Relativitätstheorie zur Längenkontraktion und in der Allgemeinen Relativitätstheorie zur Krümmung kommt. Der gekrümmte Raum verhält sich zum ebenen Raum wie der in die komplexe Ebene gedrehte Zeiger zu seinem Schattenwurf auf der reellen Zahlenachse. Allerdings haben diesen Zusammenhang offenbar weder Einstein noch Gödel bemerkt. Das bis in seine philosophischen Konsequenzen auszuarbeiten und zum Beispiel für elementare philosophische Begriffe wie Reflexion, Abschattung und Imagination ihren über die imaginären Zahlen erkennbaren inneren Bezug zu finden, ist das langfristige Ziel der mit diesem Beitrag begonnenen Arbeit.

(ii) Vektorprodukt: Der Grundgedanke von Cardano war zweifellos, sich von der eindimensionalen Zahlengerade zu lösen und eine neue Dimension zu öffnen, in der die imaginären Zahlen liegen. Dieser Grundgedanke wird klarer, wenn er auf höhere Dimensionen verallgemeinert und insbesondere am Übergang von Flächen in den Raum veranschaulicht wird. Das liefert in der Physik die Drei-Finger-Regel, bisweilen auch als Korkenzieherregel oder Rechter-Daumen-Regel bezeichnet. Hier wird anschaulich gezeigt, wie aus zwei Dimensionen eine senkrecht auf ihnen stehende neue Dimension hervorgeht.

skalare Multiplikation

Rechter-Daumen-Regel
Zeigefinger und Mittelfinger bestimmen eine Fläche. Der Daumen steht senkrecht auf der Fläche.
Urheber: Von Abdull - Eigenes Werk, CC BY-SA 3.0, Link

Elektrotechniker machen sich mit der Daumenregel klar, in welche Richtung in einem Magnetfeld der Strom fließt. Das sind bereits Beispiele für die Anwendungen der imaginären Zahlen in die Naturwissenschaft und Technik.

Mathematisch wird das verallgemeinert zum Vektorprodukt oder Kreuzprodukt. Während das Skalarprodukt ein Skalar ergibt, das ist eine reelle Zahl, ergibt das Vektorprodukt einen Vektor. Zwei Vektoren, die nicht in die gleiche Richtung weisen, bilden eine Fläche. Das Kreuzprodukt zweier Vektoren erzeugt einen Vektor, der senkrecht auf dieser Ebene steht. (Das Kreuzprodukt wird bisweilen missverständlich auch als äußeres Produkt beschrieben. Das äußere Produkt gilt in äußeren Algebren mit eigenen Rechenregeln. Darauf soll in einem späteren Teil näher eingegangen werden.)

äußere Multiplikation

Kreuz-Produkt
Das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) zweier Vektoren: Zwei nicht in die gleiche Richtung weisende Vektoren bilden eine Ebene. Das Vektorprodukt a Symbol b hat eine Richtung, die senkrecht auf der von den beiden Vektoren gebildeten Ebene steht. Der Zahlenwert des Vektorprodukts entspricht dem Flächeninhalt der von den beiden Vektoren gebildeten Fläche.
Urheber: von MartinThoma - Eigenes Werk, CC BY 3.0, Link

Ergebnis Diese Darstellung soll zweierlei zeigen: (i) Das Skalarprodukt und das Kreuz-Produkt lassen sich verstehen als Momente des Produkts imaginärer Zahlen. Das Skalarprodukt verallgemeinert die Projektion (den Schattenwurf) zweier Geraden aufeinander, das Kreuz-Produkt verallgemeinert das Eröffnen einer Dimension und der Regeln, die hierbei einzuhalten sind. (ii) Aber weder das Skalarprodukt noch das Kreuz-Produkt ergeben die Drehung (die Richtungsänderung), die erst für die imaginären Zahlen typisch ist und diese von allen anderen Zahlen unterscheidet. (Die meisten dieser Erkenntnisse gehen auf den irischen Mathematiker William Rowan Hamilton, 1805-1865, zurück. Er hat nicht nur das Verständnis der komplexen Zahlen vertieft und darauf aufbauend weitere Zahlen wie die Quaternionen eingeführt, sondern auch die Vektorrechnung klarer formuliert.)

Die drei Arten der Multiplikation seien zusammenfassend nebeneinander gestellt, um die Gemeinsamkeiten und Unterschiede zu sehen:

skalare Multiplikation    äußere Multiplikation    Multiplikation komplexer Zahlen

skalare Multiplikation    äußere Multiplikation    Multiplikation komplexer Zahlen

Produkt zweier Vektoren und zweier komplexer Zahlen – Übersicht
(a) Das Skalarprodukt zweier Zeiger (Vektor) ergibt eine reelle Zahl (grün hervorgehoben)
(b) Das Vektorprodukt zweier Zeiger (Vektoren) ergibt einen senkrecht zu ihnen stehenden Zeiger (violett)
(c) Das Produkt zweier komplexer Zahlen ergibt durch eine Drehung eine komplexe Zahl (grün)

Wurzel aus minus 1 Nach diesen Vorbereitungen ist auf die Definition der imaginären Zahlen als ‘Wurzel aus minus 1’ zurückzukommen. Durch die Drehung wird es möglich, eine Zahl zu finden, die mit sich selbst multipliziert eine negative Zahl ergibt. Im einfachsten Fall Wurzel aus minus 1 wird das Produkt i · i betrachtet: In diesem Fall haben beide Faktoren (jeweils die Zahl i) einen Winkel von 90° relativ zur reellen Achse. Werden die beiden Winkel addiert, ergibt das den Winkel von 180° und das Produkt fällt durch die Drehung auf die Zahl −1. Daher ergibt i · i = −1 und es gilt nach Wurzelziehen auf beiden Seiten i = Wurzel aus minus 1.

i quadrat

i · i als Drehung auf −1
In diesem Fall handelt es sich bei beiden Faktoren (rot und blau) jeweils um die komplexe Zahl i und einem Winkel von 90° relativ zur reellen Achse. Das Produkt i · i = i2 = −1 ergibt sich durch Addition der beiden Winkel auf 180° = 90° + 90°.

Daher führt es in die Irre, wenn gesagt wird, das die imaginären Zahlen so etwas wie negative Flächen sind. Sie ergeben sich nicht aus Flächen, sondern aus der Drehung.

Wenn komplexe Zahlen miteinander multipliziert werden, kann das dazu führen, dass die Drehung wie bei einer Uhr an den Anfangspunkt zurückkehrt und ihn überschreitet. Während jedoch auf der Uhr nach jeweils 12 Stunden die gleichen Zahlen neu durchlaufen werden, soll das bei den komplexen Zahlen vermieden werden. Jede komplexe Zahl soll eindeutig bleiben. Das führt in eine Überlagerung von unendlich vielen Flächen, die wie in einer Spirale angeordnet sind:

Riemannsche Fläche

Riemannsche Fläche des komplexen Logarithmus
Urheber: Von Leonid 2 - Eigenes Werk, CC BY-SA 3.0, Link

Mit dieser Darstellung ist das Besondere der komplexen Zahlen getroffen. Die komplexen Zahlen zeichnen sich durch eine Multiplikation aus, bei der zwei komplexen Zahlen gedreht werden, und die Drehung kann spiralförmig in fortlaufend neue Blätter führen. Anschaulich entsteht das Bild einer Schraube, die von unten nach oben strömt, oder in der Sprache des Fernen Ostens einer Schlange, die durch eine Reihe von Rädern aufsteigt und mit jedem Rad neue Energie gewinnt und sich wandelt. Komplexe Zahlen sind daher besonders geeignet zur mathematischen Beschreibung von Prozessen, die sowohl rotieren wie strömen.

Graphische Darstellung reeller und komplexer Funktionen

Wenn das Multiplizieren komplexer Zahlen als Drehstreckung verstanden werden kann (Addieren der Winkel und Multiplizieren der Längen), ergibt sich eine  Doppelbedeutung: Die Drehung kann sowohl als eine  Bewegung  wie auch als eine  Eigenschaft  der komplexen Zahlen gesehen werden. Es ist schwer, beide Seiten gedanklich voneinander zu trennen und noch schwerer sich vorzustellen, was es bedeutet, dass mit den komplexen Zahlen mathematische Objekte vorliegen, die eine Bewegung als innere Eigenschaft enthalten.

Üblicherweise gelten mathematische Objekte wie die reellen Zahlen, Punkte, Geraden, Kreise und die aus ihnen konstruierten neuen Zahlen und geometrischen Figuren für sich als starr. Sie sind nicht in sich selbst bewegt, sondern werden von außen mit mathematischen Operationen bewegt: Es wird mit ihnen gerechnet und konstruiert. In der euklidischen Geometrie werden Punkte, Geraden und Kreise gedreht oder verschoben (Rotationen und Translationen). Mit diesen mathematischen Operationen können in der Natur vorkommende Bewegungen beschrieben werden wie z.B. das Fließen einer Strömung oder die Drehung eines Kreisels. Der Bewegungsverlauf wird graphisch veranschaulicht: Eine Achse beschreibt den Zeitverlauf, die andere Achse, wie im Verlaufe der Zeit ein Gegenstand seinen Ort verändert (räumliche, mechanische Bewegung).

Schon bei den reellen Zahlen führt die Trennung von Bewegung und Eigenschaft in ein Paradox: Auch unendlich viele dimensionslose Punkte können nie eine durchgehende Linie ergeben (Aristoteles Physik Buch VI.1, 231a). Aristoteles hat daher bereits für die reellen Zahlen und für die Zeit postuliert, dass der Punkt bzw. das Jetzt (Zeitmoment) als ihre kleinste Einheit eine innere Bewegtheit enthalten muss (Aristoteles Physik Buch IV.11, 219b). Sie kann als Fließbarkeit (Fluidität) bezeichnet werden und ermöglicht, dass die reelle Zahlenachse als Zeitfluss mit einem inneren Zusammenhalt verstanden werden kann. Diese Sicht ist jedoch bis heute in der Philosophie und der Physik umstritten.

Bei komplexen Zahlen tritt der Doppelcharakter von Bewegung und Eigenschaft noch deutlicher hervor. Bei ihnen ist die Drehbarkeit eine Eigenschaft der Zahlen selbst. Diese Eigenschaft hat bis heute in der Mathematik noch nicht einmal einen Namen bekommen. Ich möchte sie als  Zyklizität  bezeichnen. Dieser Begriff wird es ermöglichen, neuartige Beziehungen der komplexen Zahlen bis hin zu philosophischen Begriffen zu erkennen. Er hat für mich einen Vorläufer in den physikalischen Vorstellungen der Stoa (eine um 300 v. Chr. in Griechenland entstandene philosophische Richtung), für die die kleinste Einheit der Natur nicht isolierte Punkte, sondern mit Spannkraft (tonos) versehene Punkte sind.

Die Zyklizität ist mit anderen bekannten Eigenschaften von Zahlen vergleichbar wie z.B. der Transitivität der ganzen Zahlen (Größer-Kleiner-Ordnung: wenn a > b und b > c, so ist auch a > c) oder der Kontinuität der reellen Zahlen, die unendlich dicht beieinander liegen (für je zwei reelle Zahlen a und b mit der Beziehung a > b gibt es mindestens eine weitere reelle Zahl c, die  zwischen  ihnen liegt: a > c > b). Für die komplexen Zahlen gelten die Transitivität und Kontinuität nur eingeschränkt. Werden z.B. die beiden Zahlen 1 und i verglichen, dann gilt weder 1 > i noch i > 1. Und wenn beim Multiplizieren komplexer Zahlen eine Drehung von mehr als einem Vollkreis mit 360° erfolgt, wird in der schraubenförmigen Darstellung ein neues Blatt erreicht. Im Ergebnis liegen auf den verschiedenen Blättern Zahlen direkt übereinander, aber es ist offen, ob es zwischen diesen übereinander liegenden Zahlen weitere Zahlen gibt oder nicht.

Das eröffnet schon auf elementarer Ebene neue Möglichkeiten. So kann die Doppelbedeutung einer komplexen Zahl als Drehung und Eigenschaft mit der Theorie von Gödel in Bezug gesetzt werden, der ebenfalls Operationen in Objekten dargestellt hat (Gödelisierung). – In physikalischen Bildern kann das ausgenutzt werden und z.B. von einem Wurmloch gesprochen werden, das die auf unterschiedlichen Blättern übereinander liegenden Zahlen verbindet. – Es sollte anschaulich unmittelbar klar sein, welche neuartigen Eigenschaften sich aus diesen Besonderheiten ergeben können. So weit mir bekannt, wird jedoch bis heute bei den meisten Einführungen in die komplexen Zahlen die Zyklizität nur beiläufig erwähnt und nicht deutlich als die spezifische Eigenschaft dieser Zahlen herausgestellt, wodurch sie sich von den anderen Zahlen unterscheiden. Sie ist für die komplexen Zahlen von ähnlicher Bedeutung wie die Kontinuität für die reellen Zahlen. Stattdessen wird in den frühen Lehrbüchern der Funktionentheorie, – das ist die Lehre vom Differenzieren von Funktionen mit komplexen Variablen – über deren Fundamentalsatz zurecht festgestellt, dass er »außerordentlich merkwürdig [ist] und zeigt, daß die Werte einer regulären Funktion durch ein sehr starkes inneres Band miteinander verknüpft sind« (Knopp, 64). Ich möchte in einem noch geplanten Beitrag zeigen, dass dies mit der Zyklizität der komplexen Zahlen zu erklären ist. Zeitgenössische Handbücher stellen nicht einmal mehr solche Fragen wie Knopp, sondern beschränken sich auf die Entwicklung der formalen Methoden.

Wer versucht, sich die Eigenschaft der Zyklizität zu veranschaulichen, stößt auf eine weitere Doppelbedeutung. Jede Veranschaulichung nutzt Bilder, die auf einer Zeichenfläche (einem Blatt Papier oder einem Bildschirm) zweidimensional dargestellt werden, so auch das Bild der mehrblättrigen Riemannschen Fläche, die sich spiralförmig in eine neue Dimension schraubt. Jedes Bild dieser Art wird jedoch gewöhnlich als Darstellung einer reellen Funktion betrachtet. So wie ein Maler abschnittweise mit seinem Pinsel Linien und mit ihnen insgesamt ein Bild zeichnet, kann jedes Bild als der Verlauf einer mehr oder weniger verschlungenen Linie verstanden werden. Eine solche Linie ist für sich der Funktionsgraph einer reellen Funktion: Auf der Waagerechten liegt die Zeitachse, die mit der reellen Zahlenachse identifiziert werden kann, und jedem Punkt auf der Zeitachse wird der Punkt der Zeichnung zugeordnet, der in diesem Zeitmoment gezeichnet wird. Das ergibt den Graphen einer reellen Funktion. Wird der Graph auf der Ebene eingezeichnet, dann kann die Ebene unter einer anderen mathematischen Perspektive als die komplexe Zahlenebene verstanden werden, und jeder Punkt auf dem Graphen wird als eine komplexe Zahl und der Graph im Ganzen als eine Teilmenge der Menge aller komplexen Zahlen angesehen.

Das ist auf den ersten Blick kaum verständlich. Aber auf dem in Entstehung begriffenen Wikibook über komplexe Zahlen wird mit sehr treffenden Animationen entwickelt, wie reelle Zahlen auf reelle Zahlen abgebildet werden und in weiteren Schritten reelle Zahlen auf komplexe Zahlen und schließlich komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen. Den meisten sind nur die Abbildungen reeller Zahlen auf reelle Zahlen mit den zugehörigen Funktionsgraphen vertraut. Wird die reelle Zahlengerade als Zeitachse verstanden, dann zeigt der Funktionsgraph einer reellen Funktion die Bewegung eines Punktes. Die Zeitachse wird abgebildet auf den eindimensionalen Bewegungsverlaufs eines Punktes.

Animation von F(t)=exp((-1%3+2i)t)

Funktionsgraph von Funktion von F(t)=exp((-1%3+2i)t)
Der obere grüne Kasten zeigt den Verlauf der Zeit im ausgewählten Intervall von −5 bis 5. Der Funktionsgraph wird auf der komplexen Ebene als Zeichenebene eingetragen.
Quelle: Wikibook, abgerufen am 21.11.2017

Dieses Beispiel zeigt die Grundidee der Anwendungen komplexer Zahlen für die Physik. Die Physik liefert Bewegungskurven wie z.B. diese Spirale. Sie wird eingetragen auf der Zahlenebene und dort als eine Teilmenge komplexer Zahlen verstanden. Daher ist es möglich, den Graphen der Funktion als eine Menge von komplexen Zahlen zu verstehen und eine Formel zu finden, mit der alle Elemente der Menge aufgezählt werden. Die Formel enthält wie in diesem Beispiel die imaginäre Zahl i. Das ist nichts "Imaginäres" (Unmögliches, Rätselhaftes), sondern nur eine andere mathematische Darstellung des Funktionsgraphen als Menge komplexer Zahlen. Und doch kommt etwas hinzu: Die komplexen Zahlen haben die Eigenschaft der Zyklizität. An dieser Stelle sei es der Phantasie des Lesers überlassen, mit ein wenig mathematischer Intuition zu "sehen", wie sich aus der Deutung der Multiplikation komplexer Zahlen als Drehung ergibt, dass die innere Drehung dieser Figur mathematisch als Produkt komplexer Zahlen aufgeschrieben werden kann. Auch die meisten Mathematiker, Physiker und Techniker, die mit komplexen Zahlen rechnen, machen sich nicht klar, welche Intuition der komplexen Zahlen zugrunde liegt, sondern nutzen die komplexen Zahlen einfach als eine per Konvention eingeführte, formale Möglichkeit, Kurven wie diese einfacher oder eleganter zu beschreiben.

In diesem Beispiel wurde davon ausgegangen, die graphische Darstellung einer reellen Funktion als eine Menge komplexer Zahlen zu verstehen. Wie kann es gelingen, sich eine Funktion zu veranschaulichen, mit der komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen abgebildet werden? Dafür wäre ein vierdimensionaler Raum notwendig, in dem an die Stelle der reellen Zahlenachse die zweidimensionale Ebene der komplexen Zahlen und an die Stelle des eindimensionalen Graphen wiederum eine zweidimensionale Ebene treten müssten, was jedoch niemand veranschaulichen kann. Auch hier hilft eine einfache Intuition. Statt einen Funktionsgraphen zu zeichnen, werden auf der Ebene an jedem Punkt Symbole eingetragen, die ihrerseits zwei Koordinaten enthalten, die für den Realteil und Imaginärteil einer komplexen Zahl stehen. Physiker und Techniker kennen eine Darstellung, in der hierfür kleine Pfeile gewählt werden, deren Länge und Winkel für die beiden Koordinaten stehen. Mit der Informatik haben sich bildgebende Verfahren durchgesetzt, bei denen die Bilder durch Farben und ihre Helligkeitswerte veranschaulicht werden.

Animation von F(t)=exp((-1%3+2i)t)

Funktionsgraph von Funktion von F(t)=exp((-1%3+2i)t)
In der Darstellung ist an der Stelle jeder komplexen Zahl das Bild der komplexen Funktion eingezeichnet. Ihr Realteil ist die Pfeillänge, ihr Imaginärteil die Richtung des Pfeils. Entsprechend der Funktion sind zwei Pole erkennbar. Das kann als die Beschreibung eines elektrischen oder eines magnetischen Feldes gedeutet werden.
Quelle: Wikibook, abgerufen am 21.11.2017

Wer ein solches Bild sieht, kann z.B. an die Ausrichtung von Metallspänen auf einer magnetisierten Fläche oder an die Wirbel in einer Strömung denken.

Ein frühes Beispiel für Darstellungen dieser Art sind die Chladnischen Klangfiguren, die erstmals 1787 vorgestellt wurden. Eine mit dünnem Sand bestreute Platte wird mit einer Violinsaite angestrichen und beginnt zu vibrieren, so wie der Resonanzkörper einer Geige beim Anspielen schwingt. Der Sand wird durchgerüttelt und ergibt verblüffend einfache Muster:

Chladnische Klangfiguren

Chladnische Klangfiguren
Urheber: Von E.F.F.Chladni - From the book "Die Akustik" from E.F.F.Chladni. Originally from de.wikipedia; description page is/was here., Gemeinfrei, Link

Figuren dieser Art waren Hegel, Schopenhauer und Nietzsche bekannt. Hegel erwähnt in seiner Naturphilosophie zum Begriff der Töne die »Schwingungsknoten« nach Chladni (Hegel Enz. § 301, HW 9.176) und hat in der Wissenschaft der Logik möglicherweise nach ihrem Vorbild den Begriff der Knotenlinien entwickelt (HW 5.435). Schopenhauer nennt in Die Welt als Wille und Vorstellung § 52 die Akustik von Chladni (in der von den Klangfiguren gehandelt wird), wenn er von den harmonischen Systemen und den Dissonanzen der Töne spricht. Nietzsche erwähnt sie in Über Wahrheit und Lüge im außermoralischen Sinne (1873), wenn er von einem tauben Menschen spricht, der »die chladnischen Klangfiguren im Sande anstaunt, ihre Ursachen im Erzittern der Saite findet und nun darauf schwören wird, jetzt müsse er wissen, was die Menschen den 'Ton' nennen.« So haben sie sich einem Phänomen genähert, das zur Frage der imaginären Zahlen führt, ohne sich dessen bewusst und darauf aufmerksam zu werden.

Weitaus beeindruckender sind Darstellungen in Farben. Bei ihnen wird das Bild nicht durch die Länge und die Richtung von Pfeilen dargestellt, sondern durch Farben und ihre Helligkeit. Die Farbe kann als Realteil, die Helligkeit als Imaginärteil gedeutet werden.

Vektordarstellung einer komplexen Funktion

Funktionsgraph von Funktion von F(t)=exp((-1%3+2i)t)
In der Darstellung ist an der Stelle jeder komplexen Zahl das Bild der komplexen Funktion eingezeichnet. Ihr Realteil ist die Farbe, ihr Imaginärteil die Helligkeit.
Quelle: Wikibook, abgerufen am 21.11.2017

Wer Bilder dieser Art lesen will, muss sie als Abbildung verstehen von Punkten (x,y) auf der Zahlenebene auf Farbwerte (Farbe,Helligkeit), die an der gleichen Stelle eingetragen sind. Ein anschauliches Beispiel sind topographische Karten mit Höhenlinien. Jeder Ort (topos) hat wie die komplexen Zahlen zwei Koordinaten (den Höhen- und den Breitengrad). Mit der Farbe wird die jeweilige Höhe eingetragen, und bisweilen mit einem angedeuteten Schattenwurf (Schummerung) die jeweilige Steigung. Die Karte mit Schummerung ist ein Beispiel für komplexe Funktionen: Eine Zahl mit zwei Koordinaten (Höhengrad, Breitengrad) wird abgebildet auf einen Wert mit ebenfalls zwei Koordinaten (Farbe, Schummerung).

Schummerung

Karte mit und ohne Schummerung
»Lake Mead, USA
Oben:Karte ohne Schummerung;
Unten: Karte mit Schräglichtschummerung (Screenshot aus der NASA World Wind Software)« (Wikipedia, abgerufen am 22.11.2017)
Urheber: Gemeinfrei, Link

Das gilt im Grenzübergang auch für reelle Zahlen. Für eine Funktion von reellen Zahlen auf reelle Zahlen ist in diesen Bildern einfach die jeweils horizontale Gerade zu betrachten, die durch die Null geht. Dort liegen auf der reellen Zahlenachse in einem Beispiel die Pfeile, deren Länge den jeweils reellen Wert anzeigt, oder die Farben, mit denen der reelle Wert dargestellt wird. Allerdings weisen in diesem Grenzfall für reelle Zahlen alle Pfeile in die gleiche Richtung bzw. haben alle Farben die gleiche Helligkeit, da jeweils nur der Realteil berücksichtigt wird und der Imaginärteil unbeachtet bleibt. Ein einfaches Beispiel ist die Funktion y = x2, die jede reelle Zahl x auf die reelle Quadratzahl x2 abbildet:

Quadratfunktion in Pfeilen

Reelle Quadratfunktion y = x2 in Pfeildarstellung

Mit Animationen ist es möglich, zeitliche Verläufe komplexer Zahlen zu veranschaulichen. Es kommt entweder zu einer Veränderung des Farbverlaufs oder zu einer Bewegung der Fläche, auf der die Farben und ihre Helligkeiten eingetragen sind. Ein schönes Beispiel ist die komplexe Tangential-Funktion, wenn deren Real- und Imaginärteil zeitlich verändert werden:

Animation von tan z     Animation von Contour tan z

Animation von tan z     Animation von Contour tan z

Funktionsgraph von tan z
Quelle: Wikibook, abgerufen am 21.11.2017

Aufgrund ihrer Zyklizität haben die komplexen Zahlen besondere Bedeutung für Fraktale. Werden solche Zahlen gewählt, die spiralartige Entwicklungen hervorrufen, kann sehr einfach Selbstähnlichkeit entstehen.

»Die Mandelbrot-Menge ist die Menge aller komplexen Zahlen c, für welche die durch
z0 = 0
zn+1 = zn2
rekursiv definierte Folge beschränkt ist. Bilder der Mandelbrot-Menge können erzeugt werden, indem für jeden Wert des Parameters c, der gemäß obiger Rekursion endlich bleibt, ein Farbwert in der komplexen Ebene zugeordnet wird.« (Wikipedia Eintrag zur Mandelbrot-Menge, abgerufen am 27.8.2017)

mandelbrot menge

Mandelbrot-Menge
Urheber: Die Autorenschaft wurde nicht in einer maschinell lesbaren Form angegeben. Es wird Wolfgangbeyer als Autor angenommen (basierend auf den Rechteinhaber-Angaben). - Die Autorenschaft wurde nicht in einer maschinell lesbaren Form angegeben. Es wird angenommen, dass es sich um ein eigenes Werk handelt (basierend auf den Rechteinhaber-Angaben)., CC BY-SA 3.0, Link

Besonders beeindruckend sind Filmsequenzen, die in Mandelbrot-Mengen hineinzoomen. Siehe eine Auswahl in YouTube mit Suchbegriff "mandelbrot fraktale zoom".

Zyklizitäts-Denken – Formales Vortasten in das Unbekannte

Die Einführung der imaginären Zahlen ist zu vergleichen mit anderen großen wissenschaftlichen Erfolgen, um daraus das Besondere des Imaginären zu erkennen. Es war eine der größten Erfolge der Wissenschaft, als zu Beginn des 19. Jahrhunderts aus ungewöhnlichen Bewegungsmustern der bekannten Planeten die Existenz eines weiteren Planeten vorausgesagt und sogar dessen Ort bestimmt werden konnte: Die Entdeckung des Neptun 1846. Doch änderte sich damit nicht das grundsätzliche Bild der Planeten und des Kosmos. Ähnlich bei der Relativitätstheorie von Einstein: Wieder wurden eigenartige Phänomene beobachtet wie z.B. die 1859 entdeckte abweichende Periheldrehung des Merkur. Erst mit der Allgemeinen Relativitätstheorie wurde eine Erklärung gefunden. Trotz aller Unterschiede gegenüber Newton verbleibt die Relativitätstheorie von Einstein dennoch im Ganzen in der Vorgehensweise der klassischen Physik. Das änderte sich erst mit der Quantenmechanik, die daher auch nicht ohne Grund von Einstein abgelehnt wurde. Mit der Quantenmechanik können nur noch Wahrscheinlichkeiten berechnet werden, wo sich ein Objekt wahrscheinlich befindet und gemessen werden kann. Die Messung beeinflusst das gemessene Objekt und verändert seinen Ort, so dass nie exakt gesagt werden kann, wo es sich zu einem bestimmten Zeitpunkt genau befunden hat. Dieser völlig neuartige Ansatz führte endgültig in ein Rechnen mit imaginären Zahlen. Mit dem Wahrscheinlichkeitsraum verlässt die Physik auf ähnliche Weise den realen Raum, wie seit Cardano mit den imaginären Zahlen die reellen Zahlen verlassen wurden. Die mathematische Physik kann nur sagen: Die Objekte bewegen sich durch einen Raum, der prinzipiell nicht beobachtet werden kann (es ist zum Beispiel nicht möglich, die Bahn eines Elektrons zu bestimmen, sondern nur die "Wolke" von Möglichkeiten, an denen sich das Elektron wahrscheinlich aufgehalten hat), aber es kann wie für die imaginären Zahlen angenommen werden, dass sie sich in ihrer Bewegung durch einen imaginären Raum der Wahrscheinlichkeiten und Möglichkeiten auf eine Art und Weise drehen, dass sie am Ende in den realen Bereich zurückkehren und dort die vorausgesagten Wahrscheinlichkeiten gemessen werden können. Daher ist für mich das Verständnis der imaginären Zahlen zugleich der Schlüssel, die Quantenmechanik zu verstehen.

Was hier geschieht, kann als Vortasten in etwas Unbekanntes bezeichnet werden, für das es seit Einführung der imaginären Zahlen formale Methoden gibt. Im realen Bereich treten Fragen auf, die sich innerhalb dieses Bereichs nicht lösen lassen. Die spielerische Aufgabe von Cardano ist das exemplarische Beispiel dafür. Die Situation scheint aussichtslos zu sein und kann erst gelöst werden, wenn eine Erweiterung in einen »unmöglichen«, rein »imaginären« Raum erfolgt, ohne dabei der Gefahr zu unterliegen, sich völlig in Träumereien zu verlieren und nie mehr in die Realität zurückzukehren.

Ist es möglich, philosophisch oder psychologisch zu beschreiben, was der Mathematik gelang? Um welche Art von Einbildungskraft handelt es sich hier?

Die Frage nach der besonderen Art zu denken, die mit den imaginären Zahlen verbunden ist, steht für mich noch ganz am Anfang. Für mich handelt es sich hier um das überzeugendste Beispiel, was Gödel unter mathematischer Intuition verstanden hat. Während für die Veranschaulichung von negativen Zahlen Beispiele herangezogen werden können wie Soll und Haben oder die beiden einander entgegenwirkenden Kräfte, die an einem Hebel wirken und in ein Gleichgewicht kommen können (siehe hierzu Kant Versuch den Begriff der negativen Größen in die Weltweisheit einzuführen), ist die Frage der imaginären Zahlen von der Philosophie bisher nicht einmal aufgegriffen worden. Die einzigen wichtigen Ausnahmen sind für mich Spencer-Brown, der offenbar von seinen Erfahrungen mit den imaginären Zahlen als Elektroingenieur ausgehen konnte, und das gemeinsame Projekt von Raymond Swing und Walter Rella. Hegel hat sich in seiner Wissenschaft der Logik an zwei wichtigen Stellen dem Thema genähert, wenn er in der Maßlogik die chemische Sphäre untersucht, und wenn er den Begriff des Widerspruchs in eine Pulsation geraten sieht. (Siehe hierzu die entsprechenden Interpretationen über Analytizität als Grund einer Logik der chemischen Sphäre und die höhere Idee des Widerspruchs.)

In völlig anderer Weise können Anregungen des Buddhismus aufgenommen werden. Wenn dort mit Vasubandhu der Bewusstseinsstrom untersucht und gefragt wird, welche Eigenschaften er hat, um sich nicht zu verlieren, ist das für mich genau die Frage, um die es auch gegenüber der Einbildungskraft (Imagination, Intuition) geht.

Robert Musil über imaginäre Zahlen in Die Verwirrungen des Zöglings Törleß (1906)

Vor der Philosophie wurde die Literatur auf die imaginären Zahlen aufmerksam. Sogar Philosophen wie Hegel, Schopenhauer, Frege oder Husserl, die sich intensiv mit Mathematik beschäftigt hatten, übersahen sie schlicht und einfach, und selbst Russell und Gödel erwähnen sie nicht. Aber als sich im 19. Jahrhundert entgegen dem materialistischen Zeitgeist eine Wende vom Realismus zum Irrealismus vollzog und die Literatur sich mit dem Symbolismus ihrer eigenständigen Position bewusst zu werden begann, ließ Robert Musil (1880-1942) beide in seinem ersten, 1906 veröffentlichten Roman Die Verwirrungen des Zöglings Törleß direkt aufeinander treffen. Anders als die meisten Schriftsteller und Philosophen seiner Zeit hatte Musil eine Ausbildung an einer Technischen Hochschule durchlaufen und 1901 die zweite Ingenieurprüfung mit der Gesamtnote »sehr befähigt« absolviert. Er spürte, dass mit den imaginären Zahlen etwas Neues entstand, das weit über bloße Rechenkonventionen hinausgeht, erhielt darauf jedoch keine Antwort. Im Törleß legt er diese Frage seiner Romanfigur in den Mund.

Törleß hat eine unbestimmte Erwartung über »die fürchterlichen Dinge«, die in der Mathematik geschehen. Schon als er das Zimmer seines Lehrers betritt und dessen einfache Einrichtung sieht, »(begann) sein Respekt [...] mißtrauischen Widerstreben zu weichen« – nicht nur gegenüber dem Lehrer, sondern auch gegenüber der Mathematik. Der Lehrer spürt die Frage nach dem Transzendenten und Übernatürlichen und wehrt sie ab. Er antwortet, was jeder wahrscheinlich schon einmal so oder ähnlich gehört hat:

»Was also die Mathematik anlangt, ist es ganz gewiß, daß hier auch ein natürlicher und nur mathematischer Zusammenhang besteht. Nur müßte ich – um streng wissenschaftlich zu sein – Voraussetzungen machen, die Sie kaum noch verstehen dürften, auch fehlt uns die Zeit dazu«.
    »Ich gebe ja gerne zu, daß zum Beispiel diese imaginären, diese gar nicht wirklich existierenden Zahlwerte, ha ha, gar keine kleine Nuß für einen jungen Studenten sind. Sie müssen sich damit zufrieden geben, daß solche mathematische Begriffe eben rein mathematische Denknotwendigkeiten sind.«

Der Lehrer sieht seine Schüler »von der Wissenschaft weg zu religiösen Gesichtspunkten gezogen« und erkennt bei ihnen »ein empfängliches Gemüt für das feinere, ich möchte sagen göttliche und über uns hinausgehende Wesen der Moral«, worauf für ihn die Mathematik keine Antwort zu geben hat, auch nicht mit den imaginären Zahlen.

Der Roman von Musil blieb jedoch in der Literatur eine Ausnahme. Erst 100 Jahre später nahm der amerikanische Schriftsteller Thomas Pynchon (* 1937) das Thema wieder auf. Pynchon hatte zunächst Physik studiert und nach dem Krieg als technischer Redakteur beim Luftfahrtkonzern Boeing gearbeitet. In seinem großen Roman Gegen den Tag (2006) schreibt er in ausführlichen Darstellungen von der Begeisterung über komplexe Zahlen, Quaternionen und die Riemannsche Vermutung, die 1900 eine ganze Generation von Wissenschaftlern erfasst hatte und nicht zuletzt in Oxford und Göttingen eine fast magische Stimmung erzeugte, aus der sowohl die physikalischen Anschauungen der Relativitäts- und Quantentheorie wie auch die neue philostophische Strömung der Phänomenologie hervorgingen.

Lacan zu den imaginären Zahlen (1958-1962) und das buddhistische Bedingte Entstehen

Die Psychologie hat überraschend spät auf die imaginären Zahlen reagiert, obwohl Fragen der Einbildungskraft wie auch im engeren Sinn der Imago zu den Grundbegriffen der Psychologie zählen. Sigmund Freud (1856-1939) hat zwar auf dem Gebiet der Traumdeutung einen Paradigmen-Wechsel vollzogen und die Traumdeutung erstmals wissenschaftlicher Forschung zugänglich gemacht, indem er an den Träumen eine eigene Sprache oder Traumlogik nachweisen wollte (Verdichtung und Verschiebung von Trauminhalten), aber er scheint nie einen möglichen Zusammenhang zu den imaginären Zahlen gesehen zu haben. Carl Gustav Jung (1875-1961) hat zwar über die Imago gearbeitet und war seit 1931 mit dem Physiker Wolfgang Pauli (1900-1958) bekannt. Pauli kam zu ihm in psychologische Behandlung. Ihn verfolgte die Zyklizität der Quantenmechanik bis in die Träume. In einem Brief an Jung berichtet er von folgendem Traum:

»Traum: (...) Da spricht der Blonde: 'Die Männer, deren Frauen die Rotation objektiviert haben, sind angeklagt.' (...) Bald nachdem der Neger mit dem Zettel fortgegangen war, kommt wirklich meine Frau und sagt zu mir: 'Du hast vergessen mir gute Nacht zu sagen'. (...) Mit dem eindringlichen Ton eines Lehrers fährt er (der Blonde, t.) fort: 'Aber Sie wissen doch, was Rotation ist!' 'Natürlich' sage ich sofort 'der Kreislauf und die Zirkulation des Lichtes das gehört doch zu den Anfangsgründen'. (Da spricht der Blonde: 'Jetzt verstehen Sie die Männer, deren Frauen ihnen die Rotation objektiviert haben'. Nun küsse ich meine Frau und sage ihr: 'Gute Nacht! Es ist ganz entsetzlich, was diese armen Menschen leiden, die da angeklagt sind!' Ich werde sehr traurig und weine. Aber der Blonde sagt lächelnd: 'Nun halten Sie den ersten Schlüssel in der Hand.« (Brief von Pauli an Jung 28.10.46, zitiert in Pauli, 34f)

Es kam auch zu einer wissenschaftlichen Zusammenarbeit. In einer gemeinsamen Broschüre veröffentlichten Pauli eine Arbeit über Kepler und Jung über die Synchronizität. Doch wurde das Thema der imaginären Zahlen nicht aufgegriffen. Dazu kam es erst mit Lacan.

Jacques Lacan (1901-1981) entwickelt einen weit über die Mathematik hinausgehenden Begriff des Imaginären, der für ihn die menschliche Existenz und das Denken im Ganzen bestimmt. Für ihn sind das Reale, das Symbolische und das Imaginäre drei Bereiche, die aufeinander angewiesen sind und nur wechselweise aus- und miteinander erklärt werden können. So gesehen führt Lacan im Strukturalismus konsequent den Holismus von Quine weiter, jedoch beschränkt er seine Untersuchung nicht auf die Stellung der imaginären Zahlen innerhalb mathematischer Kalküle. Aber an den imaginären Zahlen lässt sich klarer als an anderen Beispielen zeigen, was er meint: Die imaginären Zahlen blieben bloße Traumgebilde, wenn sie nicht nach klaren Regeln auf dem Boden der reellen Zahlen entstehen und zu ihnen zurückkehren würden. Diese Regeln lassen sich nur formulieren, wenn eine eigene Symbolsprache gefunden wird. Auf der anderen Seite blieben die reellen Zahlen (das Reale) flach und tot, gäbe es nicht die Einbildungskraft, mit der die Bewegung der aus ihnen hervorgehenden imaginären Zahlen beschrieben werden kann. Und ebenso würden die Symbole wie e, i oder pi nichts-sagend bleiben, gäbe es nicht die Bewegung und die Operationen der imaginären Zahlen, mit und an denen sie ausgeführt werden.

Rolf Nemitz stellt die Stellen zusammen, bei denen Lacan von imaginären Zahlen spricht:

»Eine imaginäre Zahl ist eine Zahl, deren Quadrat eine negative reelle Zahl ist, beispielsweise Wurzel aus minus 1. Statt von 'imaginären Zahlen' sprach man früher von 'unmöglichen Zahlen' (vgl. Lacan: 'Das Reale ist das Unmögliche').
Auf imaginäre Zahlen bezieht Lacan sich erstmals in Seminar 6, Das Begehren und seine Deutung, 1958/59 (Sitzung vom 22. April 1959), er sagt hier, das menschliche Leben könne als ein Kalkül definiert werden, dessen Null irrational wäre, und er fügt hinzu, dies sei eine mathematische Metapher und der Ausdruck 'irrational' beziehe sich auf eine imaginäre Zahl, Wurzel aus minus1. Er erläutert dann, dass er darunter einen Signifikanten versteht, der nicht subjektiviert werden kann. (Vgl. Seminar 6, Version Miller S. 387 f.)
Im Aufsatz Subversion des Subjekts und Dialektik des Begehrens im Freud'schen Unbewussten (geschrieben 1962) heißt es über Wurzel aus minus1: 'Es ist das, was dem Subjekt fehlt, um sich durch sein Cogito ausgeschöpft zu denken, nämlich das, was es an Undenkbarem ist', ein 'Fehlen im Meer der Eigennamen' (J. Lacan: Schriften. Band II. Vollständiger Text. Übersetzt von Hans-Dieter Gondek. Turia und Kant, Wien 2015, S. 325-368, hier: S. 358). Näher ausgeführt wird das in Seminar 9, Die Identifizierung, 1961/62, in den Sitzungen vom 10. Januar 1962 und vom 2. April 1962.
Der Ausdruck 'Funktion der reellen Zahlen' steht hier für die Funktion, durch die – wie Lacan annimmt – die reellen Zahlen definiert werden können.« (Nemitz Imaginäre Zahlen bei Jacques Lacan, Fußnote 36)

Alain Sokal (* 1955) kritisierte nach seiner Parodie eines postmodernen Beitrags in Social Text von 1996, dass Lacan in Seminar 6 irrationale und imaginäre Zahlen gleichsetzt, und offenbar »die Materie, auf die er seine Behauptungen gründe, nicht verstanden habe« (Marius Erdt Eleganter Unsinn, Koblenz 2004, 13). Es fällt nicht schwer, an der bewusst paradoxen Schreibweise und dem charismatischen Auftreten von Lacan seine Glaubwürdigkeit in Frage zu stellen und an ihm Züge eines zweifelhaften Guru zu sehen. Gerade im Vergleich mit der buddhistischen Philosophie von Nagarjuna und Vasubandhu (siehe den Beitrag über Bedingtes Entstehen) lässt sich jedoch für mich die Bedeutung des Ansatzes von Lacan erkennen. In seiner Unterscheidung in Reales, Symbolisches und Imaginäres sehe ich zum einen eine ähnliche wechselweise Beziehung, wie es im Buddhismus mit dem Bedingten Entstehen ausgeführt wurde, doch geht Lacan deutlich über sie hinaus. Während Nagarjuna mit seiner Unterscheidung in Subjekt, objektive Umgebung und Prozess noch relativ eng an der grammatikalischen Unterscheidung in Subjekt, Prädikat und Objekt bleibt, gelingt es Lacan, eine unterliegende Struktur zu erkennen.

Im Vergleich mit dem Buddhismus favorisiert Lacan ein paradoxales Denken. Dafür wählt er als Bild den borromäischen Knoten. Das zeigt zwar sehr klar das Bedingte Entstehen, wenn je zwei Ringe nur dank des jeweils dritten Ringes miteinander verbunden sind, doch droht es in einen Stillstand zu führen, wenn der Knoten unauflösbar bleibt.

borromäischer Knoten

Borromäische Ringe
»Die Borromäischen Ringe sind eine spezielle Anordnung von genau drei (biegsamen, nicht ebenen) Ringen, mathematisch gesprochen eine Verschlingung mit drei Komponenten, für die die Eigenschaft gilt: Löst man einen der Ringe heraus, so sind auch die beiden anderen frei. Das heißt, die Ringe sind paarweise unverschlungen, obwohl alle drei zusammengenommen unlösbar miteinander verschlungen sind.« (Wikipedia, abgerufen am 17.11.2017)
Urheber: Von Jim.belk - Eigenes Werk, Gemeinfrei, Link

Mit den borromäischen Ringen lassen sich auch selbstbezüglich die Ausführungen über die imaginären Zahlen betrachten: Da gibt es erstens das Reale. Das sind die Sachen, anhand derer die Frage nach den imaginären Zahlen aufgeworfen werden, seien es Rätselaufgaben wie von Cardano, Beobachtungsmaterial von Physikern, elektrische und magnetische Ströme, mit denen es Elektroingenieure und -techniker zu tun haben, oder auch ganz banal das Reale, auf dem Darstellungen und Texte wie in diesem Beitrag aufgetragen sind (ein Stück Papier und die Farbe von Schreibstiften, oder der Bildschirm und die in einem Computer hinterlegten Textdateien). – Weiter gibt es das Symbolische. Das sind sowohl die Symbole der verschiedenen Graphiken einschließlich der Zeichnung der borromäischen Ringe wie auch die Buchstaben, Zahlen und weitere mathematische Zeichen, Satzzeichen. – Das Imaginäre beschreibt den Bereich, der sich weder im Realen noch im Symbolischen direkt darstellen lässt. Imaginär ist die Idee von Cardano, und imaginär ist der »Zauber« des Wissens, von dem Leibniz sprach.

So ergeben sich für mich Parallelen von Lacan und der buddhistischen Lehre des Bedingten Entstehens. Das Imaginäre deutet zugleich auf das dritte Prinzip des Bewusstseinsstroms nach Vasubandhu, in unterschiedlichen Übersetzungen die letzte Wirklichkeit, ultimate reality, Unbeschreiblichkeit, Only Buddhas Know, Ineffability, oder im Sanskrit-Ausdruck des Buddhismus: tathata.

Möglicherweise lässt sich bei höher entwickelten Bewusstseinsströmen eine innere Rotation erkennen, durch die dieser Strom stabilisiert wird, vergleichbar der inneren Rotation bei elektrischen Strömen.

Kreis und Rad im Buddhismus: Das Mandala ist als eine Figur anzusehen, die zum Meditieren anleiten kann. Chakra, siehe auch das Lebensrad (Bhava-cakra) der Bedingten Entstehung und das tibetische Kalachakra.

Literatur

Hans-Jürgen Caspar: Imaginärer Kreis, Link

Richard Feynman: The Feynman Lectures on Physics, Volume 1, Chapter 22: Algebra; Link

Wilhelm Forst und Dieter Hoffmann: Funktionentheorie erkunden mit Maple; Link

Klaus Fritzsche: Grundkurs Funktionentheorie, Heidelberg 2009
Auszüge und Bonusmaterial auf der Seite des Springer-Verlag

Lutz Führer: Kubische Gleichungen und die widerwillige Entdeckung der komplexen Zahlen; Link

Helmut Gericke: Mathematik im Abendland, Berlin u.a. 1990

Brian Gill: Why i? The Historical Roots of 'Imaginary' Numbers, Link

Thomas und Brigitte Görnitz: Der kreative Kosmos, Heidelberg, Berlin 2006

Hans Humenberger: Wie können die komplexen Zahlen in die Mathematik gekommen sein?; Link

Jacques Lacan: Seminar XVIII, 8. Sitzung (19. Mai 1971); Link

Christian B. Lang, Norbert Pucker: Mathematische Methoden in der Physik, Heidelberg 2010 [2005]

Matheplanet: Funktionentheorie existenziell - Sartres Residuensatz; Link

Rolf Nemitz: Imaginäre Zahlen bei Jacques Lacan; lacan_entziffern vom 27.1.2017

Max Neunhöffer: Wie schaffte es E8 in die Schlagzeigen?; Link

Michael Otte: Analytische Philosophie, Hamburg 2014

Wolfgang Pauli, C.G. Jung: Ein Briefwechsel 1932 - 1958, Heidelberg u.a. 1992

Helmut Pulte: Das Prinzip der kleinsten Wirkung und die Kraftkonzeptionen der rationalen Mechanik, Stuttgart 1989

Reinhold Remmert: Komplexe Zahlen
in: Ebbinghaus u.a. (Hg.) Zahlen, Berlin, Heidelberg 1983

Jürgen Roth: Die Zahl i - phantastisch, praktisch, anschaulich
in: Mathematik lehren, Heft 121, Dezember 2003, S. 47-49; Link

George Spencer-Brown: Laws of Form, New York 1972 (Julian Press) [1969]; Link

Raymond Swing: Formale und generative Dialektik, Kopenhagen 2006; online

Caspar Wessel: Über die analytische Repräsentation der Richtung, [1797]; Link

Wikibooks: Komplexe Zahlen: Darstellung komplexwertiger Funktionen – Mathe für Nicht-Freaks; Link


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