Spekulatives Denken zweiter Ordnung

– Die Gegenläufigkeit spekulativen und konstruktiven Denkens bei Hegel und Spencer-Brown

 

Einleitung

»Im gemeinen Leben« hat spekulatives Denken nicht den besten Ruf. So wie es heute um Börsenspekulationen und ähnliche gewagte Finanztransaktionen geht, nennt Hegel »Heirats- oder Handelsspekulationen«, und allgemein werden Spekulationen meist »in der Bedeutung eines bloß Subjektiven« und letztlich »gleichbedeutend mit dem Geheimnisvollen und Unbegreiflichen« gesehen (Enz. § 81Z, TWA 8.178). Aus Sicht der Aufklärung ist kaum mehr zwischen Glaube, Aberglaube und Spekulation zu unterscheiden. Seither zählen nur Tatsachen-Erkenntnisse, die sich experimentell überprüfen lassen und aus denen sich mit Wissenschaft und Technik ein erkennbarer Nutzen ergibt. Wir sind in einer rein materiellen Welt und der Erfolgsgeschichte ihrer Fortschritte angekommen. »Alles Spekulative aus menschlichen und göttlichen Dingen hat die Aufklärung verbannt und vertilgt.« (VPhG, Aufklärung und Revolution; TWA 12.524)

Dagegen vollzog bereits Kant in einer Denkbewegung, die oft nur Hegel zugetraut wird, eine erste Negation. Für ihn gibt es keinen Zweifel: »Eine theoretische Erkenntnis ist spekulativ, wenn sie auf einen Gegenstand, oder solche Begriffe von einem Gegenstande, geht, wozu man in keiner Erfahrung gelangen kann.« (KrV, B 662) Aber er sah darin zugleich eine unerwartete Möglichkeit, tiefer in die Grundlagen des Denkens einzudringen: In der bewussten Abkehr von jeder Erfahrung und bloßem Empirismus kann ein Standpunkt gewonnen werden, von dem aus deren Grenzen und verborgenen inneren Voraussetzungen erkennbar werden, die jeder möglichen Erfahrung  vorausgehen. Für ihn ist spekulatives Denken die höchste Aufgabe der Philosophie, wenn sie sich bewusst darauf beschränkt, ausschließlich negativ zu denken. Negativ bedeutet, dass sie etwas entdeckt, das nicht erfahren werden kann, sich aber an den Erfahrungen zeigt. Das sind zuvörderst Einsichten über die reine Zeit und den reinen Raum, die als solche nicht erfahren werden können, – wir können nur Dinge in Raum und Zeit, aber nie diese unmittelbar für sich erfahren –, aber deren Eigenschaften jeder Erfahrung vorausgehen und sie prägen. Weitere Beispiele sind regulative Prinzipien wie das Ich, die Welt im Ganzen oder Gott, die die Tätigkeit des Verstandes orientieren, ohne als solche sinnlich erfahren werden zu können. Kant wählte das eingängige Bild des focus imaginarius, der sich im unsichtbaren Rücken aller Erfahrung befindet und die innere Krümmung all unserer Darstellungsräume des Wirklichen erklärt. Ohne diesen wichtigen Gedanken an dieser Stelle inhaltlich weiter auszuführen (siehe dazu den Beitrag Die Sphäre des Begriffs und die Logik der Sphäre), soll es hier ausschließlich um die Frage gehen, wie Kant das spekulative Denken sieht. Der focus imaginarius ist »ein Punkt [...], aus welchem die Verstandesbegriffe wirklich nicht ausgehen, indem er ganz außerhalb den Grenzen möglicher Erfahrung liegt, [der] dennoch dazu dient, ihnen die größte Einheit neben der größten Ausbreitung zu verschaffen« (KrV, B 672). Diesen Punkt zu treffen ist nur einem spekulativen Denken möglich. In der gedanklichen Konstruktion eines focus imaginarius zeigt sich das konstruktive Vermögen des spekulativen Denkens, auch wenn Kant das nicht weiter erläutert hat, sondern sich ganz auf die Kraft dieses Bildes verlässt.

Würde dieses Bild wörtlich genommen, führt das in Widersprüche. Kant hat ausdrücklich vor allen überfliegenden Ideen gewarnt, die Erkenntnisse des rein negativ operierenden, spekulativen Denkens auf die erfahrbare Welt zu übertragen. Der focus imaginarius ist kein Gegenstand im Bereich der erfahrbaren Welt. Die erste These lautet daher: Nicht Hegel, sondern Kant sieht das spekulative Denken in absoluter Negativität. Hegel übernimmt diesen Schritt, etwas rein negativ in seiner »Bewegung von nichts durch nichts zu sich selbst zurück« zu untersuchen (WdL, Erscheinung; TWA 6.148f) und arbeitet ihn weiter aus zu einer Logik der Reflexionsbestimmungen. Aber er bleibt nicht dabei stehen, sondern negiert diese Negation ihrerseits und versteht im Ergebnis »das Spekulative« als das »Positiv-Vernünftige« (Enz. § 82, TWA 8.176). In der Philosophie der Religion spricht er von »dem wahrhaft Affirmativen« (PhRel I, 15. Vorlesung; TWA 17.481). Er sieht, dass diese Negation der Negation im Keim bereits bei Kant angelehnt ist, wenn dieser keineswegs nur rein negativ denkt, sondern mit der Erkenntnis der Einheit der Verstandesbegriffe und Begriffen wie Zusammenhang oder Krümmung zu positiven Bestimmungen findet, die über eine rein negative Philosophie hinausgehen.

Daraus folgt die zweite These: Wie für Kant muss sich auch für Hegel das spekulative Denken vom gewöhnlichen Denken entfernen, das den Widerspruch nicht festzuhalten vermag. Aber während für Kant das spekulative Denken nur negativ die Grenzen der Erfahrung bestimmen kann, erwartet Hegel vom spekulativen Denken in seiner Affirmation solche Erkenntnisse, die es in das gewöhnliche Denken zurück zu tragen und dieses auf eine Weise zu verändern vermag (Re-entry), die diesem selbst unbegreiflich sind, aber von ihm aufgenommen werden können.

Das bedeutet: Die Spekulation muss sich von den gegenständlichen Sachen und der Widersprüchlichkeit und Beschränktheit einer Erfahrung entfernen können, der die unterschiedlichen Momente einer Sache nur als voneinander isolierte Seiten zugänglich sind. Zugleich muss sie ihnen nahe und verbunden bleiben, um sie in ihren Ergebnissen nicht zu verfehlen. Sie muss die Fähigkeit bewahren, von ihrem Gang zur Sache zurückkehren zu können. Kants Kritik an der überfliegenden Ideen der Spekulation hatte zwei Seiten: Diese Ideen können sich ins Blaue verlieren und dadurch belanglos werden, und sie können von außen den erfahrbaren Sachen etwas überstülpen, das diesen fremd ist. Hegel sucht einen Weg, beides zu vermeiden.

Bei der Sache zu bleiben muss mehr sein als ein bloßes Gedächtnis. Das Gedächtnis kann nur Erinnerungen enthalten, wie die Sache für ein nicht-spekulatives Denken aussieht. Daraus ergibt sich die Aufgabe, die Begriffe der Spekulation in einer Weise zu bestimmen, dass sie auch dann noch die Sache festhalten, wenn sie sich von ihr entfernt haben. Das zu verstehen ist die Aufgabe der Spekulation zweiter Ordnung: Die Spekulation ist rückbezüglich auf sich selbst anzuwenden, um sich ihres eigenen Weg bewusst werden zu können.

Bereits in der Phänomenologie des Geistes hatte Hegel die schlagende Erkenntnis, diese Frage nicht abstrakt zu stellen, sondern selbstbezüglich am Denken und den Denkbestimmungen zu untersuchen. Jedes Denken denkt in Sätzen. Das spekulative Denken muss sich daher in einer neuartigen Deutung des Satzes zeigen. »Diese Bewegung, welche das ausmacht, was sonst der Beweis leisten sollte, ist die dialektische Bewegung des Satzes selbst. Sie allein ist das wirkliche Spekulative, und nur das Aussprechen derselben ist spekulative Darstellung« (Phän., Vorrede; TWA 3.61).

Mit der dialektischen Bewegung des Satzes ist die jedem Satz zugrunde liegende Bewegung des Denkens, Urteilens und Schließens als Prozess gemeint. Während das gewöhnliche Denken mit und in Sätzen denkt und diese jeweils als statisch sieht, befindet sich das spekulative Denken in einer sich dessen selbst bewusst seienden widersprüchlichen Position, in der es zugleich von innen her das gewöhnliche Denken mitgeht und von außen her den Satz in seiner dynamischen Bewegung überschaut. Es erkennt an der dynamischen Bewegung, wie sich im Verlaufe des Denkens innerhalb des Satzes ›S ist P‹ dessen einzelne Bestandteile (das Subjekt S, dessen Prädikat P und ihre Zuordnung ‘ist’) ineinander verwandeln und verändern. Für das gewöhnliche Denken gilt es als verrückt, wenn so etwas geschieht.

Das kann in einem an der Kategorientheorie angelehnten Diagramm veranschaulicht werden (siehe zu dieser Art der Darstellung weiterführend den Beitrag Wie aus den Zahlen Pfeile wurden):

Figur 1: Gewöhnlicher und spekulativer Satz

– Heraufführung (Aufhebung): In einem ersten Schritt werden am Satz dessen innere Widersprüche aufgezeigt. Hegel sagt es in aller Klarheit, »daß die Natur des Urteils oder Satzes überhaupt [...] durch den spekulativen Satz zerstört wird« (Phän., Vorrede; TWA 3.59).

– Spekulatives Denken: Doch muss es im Weiteren darum gehen, diese Negation ihrerseits zu negieren. Es wird nicht einfach der übliche Satz zerstört, sondern das spekulative Denken erkennt an dessen Widersprüchen deren Grund und gelangt zu Schlüssen, die dem einseitigen, linearen Denken nicht möglich sind. Es zerstört nicht einfach den üblichen Satz, sondern erkennt in einer Negation dieser Negation am gewöhnlichen Satz den Keim, der über sich selbst hinausführt, aber nicht seinerseits mit den Mitteln des gewöhnlichen Denkens vollzogen werden kann.

– Re-entry: Die Ergebnisse des spekulativen Denkens kehren zurück, indem sie dem gewöhnlichen Denken eine neue Orientierung geben. Dieser Schritt kann als Paradigmenwechsel bezeichnet werden. Spencer-Brown wird einfach von der Kreativität sprechen, die es ermöglicht, Konstruktionen zu finden, die in den alten Bahnen nicht möglich gewesen wären. Erst wenn das gelingt, bleibt das spekulative Denken nicht in einem unbestimmbaren, leeren Raum außerhalb des gewöhnlichen Denkens, sondern befindet sich in ihm selbst.

Die Systemtheorie spricht von Änderungen erster und zweiter Ordnung: Auch das gewöhnliche Denken kann Bewegungen und Änderungen beschreiben, die jedoch innerhalb des jeweiligen Rahmens bleiben. Änderungen zweiter Ordnung verändern den Rahmen im Ganzen. Spencer-Brown spricht von Gleichungen ersten und zweiten Grades. Gleichungen ersten Grades beschreiben die lineare Bewegung, die nur in eine Richtung oder gespiegelt in die entgegengesetzte Richtung verlaufen kann. Gleichungen zweiten Grades verlassen den linearen Weg und kehren auf einer gekrümmten Kurve zu ihm zurück. Ohne es weiter auszuführen hatte Spencer-Brown die Idee, dass diese Gleichungen im imaginären Raum verlaufen und dank dessen inneren Bewegungsgesetzen den Weg zurück in den Re-entry finden.

Hegels Ausführungen zu Urteil und Satz lassen die weitere Entwicklung der Logik in einem neuen Licht sehen, die in den Jahrzehnten nach ihm von Frege über Cantor, Russell, Wittgenstein und Gödel zu Spencer-Brown geführt hat. Sie haben sowohl formale Darstellungen des Satzes gefunden wie auch konstruktive Verfahren, die Formen des Satzes zu ändern.

Und umgekehrt gilt: So wie sich ausgehend von Hegel die Frage nach der Konstruktion des Weges des spekulativen Denkens stellt, stellt sich für Spencer-Brown die Frage, von welcher Idee ausgehend er seine Konstruktionen hat entwerfen können. Er wendet sich ausdrücklich gegen diejenigen unter den Mathematikern, die hier nichts als eine übliche Konstruktion sehen wollen, und vertritt dagegen die Position einer Kreativität, die nur spekulativ verstanden werden kann.

Damit ist die Idee dieses Beitrags formuliert: Das spekulative und das konstruktive Denken schließen sich gegenseitig aus und setzen einander zugleich gegenseitig voraus. Sie bilden ihrerseits eine Gegenläufigkeit, die als spekulatives Denken zweiter Ordnung verstanden werden kann, die Gegenläufigkeit des spekulativen und konstruktiven Denkens. Auf dieser Ebene wird sich die Frage nach der Energie der Form stellen.

In den folgenden beiden Abschnitten soll auf der einen Seite betrachtet werden, wie seit 1960 ein Verständnis des spekulativen Denkens Hegels entstand, das sich in der Sache dem konstruktiven Denken von Frege bis Spencer-Brown nähert. Und im Gegenlauf wird der Weg von Frege bis Spencer-Brown betrachtet. Welche inneren Widersprüche treten dort auf, und wie verweisen sie in der anderen Richtung auf das spekulative Denken?

Von der Gegenläufigkeit zum Verhältnis von Syntax und Semantik

Unter dem Eindruck von Wittgenstein und Heidegger hat sich in Deutschland seit 1960 eine Deutung des spekulativen Denkens von Hegel entwickelt, die nicht mehr nur von einer statischen Sicht auf die in eine Einheit gebrachten Momente spricht, sondern von ihrer dynamischen Gegenläufigkeit. Dieser Gedanke wurde Hegel folgend auf die Untersuchung der Struktur des Satzes angewendet. Die dialektische Bewegung des Satzes wird genauer gefasst als Gegenläufigkeit von Syntax und Semantik. Damit wird der Anschluss gefunden, um die neueren Arbeiten der Logik, Mathematik und Linguistik für das Verständnis des spekulativen Denkens fruchtbar machen zu können.

1963 ist Ute Guzzoni (* 1934) mit ihrer Arbeit unter dem treffenden Titel Werden zu sich ein erster wichtiger Schritt gelungen. Sie greift Ideen von Heidegger auf und sieht bei Hegel eine doppelte Bewegung des Gründens und Begründens. »Das Absolute wird zu sich, indem es zugleich sich selbst gründet und sich selbst begründet. Sich-Gründen und Sich-Begründen machen zusammen, in gegenläufiger Einheit, die eine 'logische' Bewegung aus.« (Guzzoni, 7) In meiner Deutung erfolgt das Begründen in den üblichen linearen Urteils- und Schlussketten, mit denen schrittweise aus gegebenen Sätzen auf neue Sätze gefolgert bzw. geschlossen wird. Auch Hegels Wissenschaft der Logik ist im Ganzen in dieser Weise aufgebaut, indem schrittweise die Begriffe auseinander entwickelt werden. Das Gründen ist dagegen die spekulative Sicht, die in Figur 1 als Heraufführung bezeichnet ist. Hegel hat es am Begriff des Widerspruchs ausgeführt. Wenn es dem spekulativen Denken gelingt, den Widerspruch nicht einfach als Fehler abzuwehren und in isolierte Sätze aufzuteilen, die unabhängig voneinander betrachtet werden, dann geht der Widerspruch in doppelter Bedeutung zu Grunde: Er löst sich auf, indem das Denken aus der Sackgasse der aufeinander bezogenen Gegensätze einen Ausweg in eine Dimension findet, in der der Grund des Widerspruchs gefunden wird (das Gründen). Das spekulative Denken vermeidet nicht die Widersprüche, sondern erkennt an ihnen ihren Grund. Das ist für Hegel die Keimzelle des spekulativen Denkens. »Das spekulative Denken besteht nur darin, daß das Denken den Widerspruch und in ihm sich selbst festhält, nicht aber, daß es sich, wie es dem Vorstellen geht, von ihm beherrschen und durch ihn sich seine Bestimmungen nur in andere oder in nichts auflösen läßt.« (WdL, der Widerspruch; TWA 6.76)

10 Jahre später hat Lorenz Bruno Puntel (* 1935) 1973 mit Darstellung, Methode und Struktur bei aller Kritik die Grundidee von Guzzoni aufgenommen und die Gegenläufigkeit konsequent als innere Verlaufsform der Philosophie Hegels gesehen. Mit Hegel fasst er Gründen und Begründen allgemeiner und betont zugleich deren zirkulären Charakter: »Jede neue Stufe des Außersichgehens, d.h. der weiteren Bestimmung, ist auch ein Insichgehen.« (WdL, die absolute Idee; TWA 6.570, zitiert bei Puntel, 243).

Wesentlich kritischer hat sich dagegen 1978 Dieter Henrich (* 1927) geäußert. Aus seiner Sicht vermochte Hegel begriffliches und spekulatives Denken noch nicht überzeugend zusammen zu führen. Es gelingt keine Heraufführung in das spekulative Denken, sondern es bleibt letztlich rein subjektiv: »Auf der Spitze der begrifflichen Abstraktion ließ er seine spekulative Intuition einfach gewähren.« Nach Henrichs Überzeugung hätte Hegel eine »Analyse der logischen Argumente [...] auch nicht gelingen können.« Ihm blieb daher nichts als »die bewußte und definitive Entfernung von den Grundbedingungen des normalen Diskurses.« (Henrich 1978, 305) Aber er folgt Hegel, wenn dieser die Frage nach dem spekulativen Denken an der Urteilslogik entscheiden möchte. »Weil sie ein eigenes Kriterium der spekulativen Entwicklung besitzt, konnte die Urteilslogik als geheimer Motor des ganzen logischen Prozesses angesehen werden.« (Henrich 1978, 315)

1982 hat Urs Richli (1936-2019) den Gedanken von Puntel aufgenommen und wollte ihn positiv wenden. Puntel sah die beiden Seiten des Außersichgehens und des Insichgehens als »defizient [...], insofern sie auseinanderfallen.« (Richli, 113). Für Richli hatte Hegel demgegenüber in seinen Jenenser Systementwürfen die Idee, wie beide konstruktiv aufeinander bezogen sind: »In der Jenenser Logik und Metaphysik bezeichnet Hegel das Außersichgehen, d.h. den Prozeß der Verdoppelung als Konstruktion, das Insichgehen, d.h. das negative Aufheben, als Beweis.« (Richli, 104)

Für mich deutet das an, wie an der Frage des Satzes und seiner inneren Bewegung spekulatives und konstruktives Denken einander treffen. Das spekulative Denken löst die vorgefundene Form des Satzes auf. Aber vergleichbar den beiden Seiten des Zu-Grunde-Gehens des Widerspruchs enthält diese Zerstörung des Satzes die andere Seite eines konstruktiven Aufbaus. In diesem Sinn sind Hegels Ausführungen in der Phänomenologie des Geistes neu zu lesen: »Diese Bewegung, welche das ausmacht, was sonst der Beweis leisten sollte, ist die dialektische Bewegung des Satzes selbst. Sie allein ist das wirkliche Spekulative, und nur das Aussprechen derselben ist spekulative Darstellung.« (Phän., Vorrede; TWA 3.60)

Spekulatives und konstruktives Denken verhalten sich wie Beweis und Konstruktion.

Günter Wohlfart (* 1943) stellt 1981 in Der spekulative Satz den Bezug zur Linguistik her. Was Guzzoni in der Tradition von Heidegger als Gründen und Be-Gründen bezeichnet hat, sieht er als das Verhältnis von Syntax und Semantik.

»Unter einem spekulativen Satz wäre ein Satz zu verstehen, dessen Gegenstoß von  Semantik  und  Syntax  der  Ursprung  und Anstoß einer Denkbewegung ist, die, weil sie in einem Satz als festem Resultat nicht festgehalten ist, über den einzelnen Satz als zusammenhanglosen hinausführt zu seinem sprachlichen und darüber hinaus zu seinem 'pragmatischen'  Kontext, zum Kontext der gesamten Erfahrung, in dem sich erst zeigen kann, in welchem Sinn der Satz  gebraucht  ist.« (Wohlfart, 244 mit Hinweis auf Josef Simon Philosophie und linguistische Theorie, Berlin New York 1971)

Wilhelm Lütterfelds (1943-2018) vergleicht 2006 die »dialektische Bewegung des Satzes selbst« (Phän., Vorrede; TWA 3.61) mit der grammatischen Bewegung des Satzes in Wittgensteins Philosophischen Untersuchungen §§ 395-403. Allerdings darf die Bewegung des Satzes nicht verwechselt werden mit einer gegenständlichen Bewegung des Referenten, von dem der Satz spricht (Lütterfelds, 34). »Bei der 'Bewegung' des 'spekulativen Satzes' handelt es sich also - wie mehrfach betont - keineswegs um eine von einem Gegenstand aussagbare, raum-zeitliche und qualitative Veränderung inhaltlicher Art, derart, daß diese Bewegung einem bestimmten Objekt zugesprochen wird und es weiterhin charakterisiert« (Lütterfelds, 40), »so daß dieses 'Werden' gleichfalls keinen aussagbaren, beurteilbaren Sachverhalt, etwa als raum-zeitliche, physikalische Veränderung eines Objekts, darstellt« (Lütterfelds, 41). Die dialektische Bewegung des Satzes ist daher ihrerseits eigentlich nicht sagbar, »aber Hegel beansprucht offenbar, über eine Einsicht zu verfügen, die den Grund für dieses in Urteil und Satz aussagbare, inhaltliche Werden der Dinge im Unterschied zu ihrer empirisch 'feste[n]', 'ruhende[n]' und 'unbewegt[en]' Entität liefert.« (Lütterfelds, 41 mit Zitaten Phän., Vorrede; TWA 3.57) Die Skepsis gegenüber Hegel ist unüberhörbar. Wie gelingt die spekulative Hinaufführung des formal-logischen in das spekulative Denken? Und vor allem: Wie kommt das spekulative Denken zu Ergebnissen, die zum gewöhnlichen Denken zurückfinden? Der Hinweis auf Wittgenstein gibt den Anstoß, dort die Antwort zu finden. Aus meiner Sicht liegt sie noch nicht bei Wittgenstein selbst, sondern in der Kritik von Spencer-Brown an Wittgenstein.

Dirk Quadflieg sieht 2008 Parallelen zwischen dem spekulativen Denken bei Hegel und der Philosophie von Derrida und von Wittgenstein. Er dynamisiert das Verhältnis von Syntax und Semantik: »Es gibt hier [bei Wittgenstein], so könnte man sagen, nicht nur einen Überschuss des Syntaktischen, sondern ein absolutes Überborden.« (Quadflieg, 187) Die Syntax ist nicht nur die allgemeine Form des Satzes, die unabhängig vom jeweiligen Inhalt der Aussage eines Satzes gilt, sondern führt aus ihrer eigenen Bewegung zu inhaltlichen (semantischen) Aussagen. Das führt für Quadflieg so weit, dass die dialektische Bewegung des Satzes ihren eigenen Bewegungsraum erzeugt, den er mit der chora im Sinne von Platon vergleicht. »Das aufgezeigte Prinzip dieser Beziehungen, ihre Prozessstruktur, ist nicht nur vollständig aus dem Wechselspiel von Syntax und Semantik hergeleitet, es kann darüber hinaus sogar die fundamentalen Kategorien von Raum und Zeit in sich aufnehmen.« (Quadflieg, 247) Obwohl er indirekt über Luhmann den von Spencer-Brown eingeführten Re-entry zitiert (Quadflieg, 225), scheint er mit Wittgenstein überzeugt, »daß die ›logischen Konstanten‹ nicht vertreten' sind (WTLP 4.0312)« (Quadflieg, 188).

Für mich ergibt diese Übersicht die Themen, unter deren Blickwinkel die Geschichte der Logik, Mathematik und Linguistik seit Frege zu lesen ist:

– Es sind innerhalb des Satzes nicht nur die Gegenläufigkeit von Subjekt und Prädikat zu betrachten, sondern auch die Transformationen, die hierbei die Copula durchläuft. Sie wandelt sich aus einem statisch verstandenen ‘ist’ in ein dynamisches ‘kontinuieren’. Wenn sich Subjekt und Prädikat gegenläufig zueinander bewegen, führt das im Ergebnis dazu, dass sich das eine in das andere kontinuiert. (WdL, das unendliche Urteil; TWA 6.325) Der starre Satz ist damit aufgehoben. Er hat sich aus dem Urteil in den Schluss transformiert: Aus der Copula ist der terminus medius geworden. Während jedoch Hegel an den ihm überlieferten logischen Konstanten und Termini festhält und sein Anliegen darauf beschränkt, sie auseinander zu entwickeln, kann diese erste Transformation der Copula zum terminus medius bei Hegel mit Claus-Artur Scheier (* 1942) fortgeführt werden in eine Vielzahl neuer logischer Konstanten bis hin zum Aufblühen des Satzes. Das ist als die logische Keimform von Emergenz und Autopoiesis zu verstehen. (Scheier konnte wiederum auf Luhmann und die von ihm genannten Arbeiten zur Systemtheorie zurückgehen, indirekt auf Spencer-Brown. Siehe eine erste Übersicht in der Kurzeinführung zu Luhmanns Schatten.)

– Auf der anderen Seite ist innerhalb des spekulativen Denkens zu betrachten, wie es sich vom gewöhnlichen Satz entfernt und zugleich bei ihm geblieben ist.

– Das konstruktive Denken zeigt sich in der Gesamtheit der Bewegung, in der sich das spekulative Denken vom gewöhnlichen Denken trennt und zu ihm zurückfindet.

Von der Satzanalyse zu Konstruktion und Re-entry

In diesem Kapitel soll gezeigt werden, wie sich in der Gegenrichtung die Entwicklung von Frege zu Spencer-Brown den gleichen Fragen angenähert hat.

Frege

Am Anfang steht Gottlob Frege (1848-1925). Er hatte die Sätze der Alltagssprache in die Form einer mathematischen Funktion gebracht. Das erschließt völlig neue Möglichkeiten: Die formale Darstellung des Urteilens und Schließens bleibt nicht mehr wie in der Geschichte der Logik von Aristoteles bis Hegel auf einfache, lineare Ausdrücke beschränkt wie der Modus Barbara bei Aristoteles oder graphische Kürzel wie ›E – B – A‹ bei Hegel (WdL, Schluß des Daseins; TWA 6.355, wobei E für Einzelheit, B für Besonderheit und A für Allgemeinheit steht), sondern es wird im Weiteren möglich, die hoch entwickelten arithmetischen und geometrischen Methoden der Mathematik für die Analyse der Kalküle und ihrer Regeln nutzbar zu machen, bis es Gödel gelang, sogar eine Abbildung logischer Konstanten und Variablen aufeinander zu finden. Turing entwarf die allgemeinste Idee von Algorithmen für die Darstellung des Folgerns und Schließens, und mit der Künstlichen Intelligenz und dem Maschinellen Lernen Neuronaler Netze sind für das Sprachverständnis Anwendungen gefunden, die vor Frege völlig undenkbar waren.

(i) Frege verallgemeinert einen Satz wie ›Cäsar eroberte Gallien‹ in die Form einer mathematischen Gleichung y = f(x). Eine Möglichkeit ist: ›(x) eroberte Gallien‹ (Frege 1891, 17). Genauso gut ließe sich die Funktion ›Cäsar erobert (x)‹ bilden. Es genügt, exemplarisch einen der beiden Fälle zu untersuchen, da für beide die gleiche Überlegung gilt. Die dritte Möglichkeit ›Cäsar (x) Gallien‹ hatte Frege noch nicht gesehen. Sie wird sich im Weiteren als der Wendepunkt von Wittgenstein zu Spencer-Brown erweisen und ist vorerst zurückzustellen. In der erstgenannten Gleichung kann für x der Eigenname eines jeden beliebigen Menschen eingesetzt werden.

(ii) Auf welches y wird das x abgebildet? Das können für Frege nur die beiden Wahrheitswerte ‘wahr’ oder ‘falsch’ sein. Wird in diesem Beispiel der Eigenname ›x = Alexander der Große‹ eingesetzt, bekommt die Funktion den Wert ›y = falsch‹, und nur für den Eigennamen ›x = Cäsar‹ erhält sie den Wert ›y = wahr‹ zugeordnet.

Cantor

Während Hegel den Übergang von der abzählbaren zur überabzählbaren – in seinen Worten: von der schlechten zur wahren – Unendlichkeit spekulativ mit einer Negation der Negation ausgeführt hat, gelang es 1877 Georg Cantor (1845-1918) 1877 mit dem Zweiten Diagonalargument an einem Formalismus die abzählbare und die überabzählbare Unendlichkeit zu unterscheiden. Die Diagonale ist auf abzählbare Weise konstruiert, doch erschließt sich dem Leser an der von Cantor gewählten Darstellung intuitiv die Überabzählbarkeit. Eine solche Konstruktion hatte sich zuvor kein Mathematiker und kein Philosoph vorstellen können. Die Operation geht über sich selbst hinaus.

Figur 2: Cantors Zweites Diagonalargument
Quelle: mathe online

Was geschieht hier: Eine beliebige vorgegebene Menge von Zahlen wird zeilenweise untereinander angeordnet und von oben nach unten schrittweise durchlaufen. In der jeweils i-ten Zeile wird an der i-ten Nachkomma-Stelle die dort mit dunklem Hintergrund hervorgehobene Ziffer genommen, um eins erhöht (bzw. die 9 auf 0 zurückgesetzt) und anschließend an der entsprechenden Stelle der neu konstruierten Zahl eingetragen.

An diesem Verfahren lassen sich die neuen Konstruktionsideen ablesen, die Russell, Gödel und viele andere von Cantor übernommen haben: Dies Verfahren ist ein Algorithmus, er ist konstruktiv und doch zugleich negativ selbstbezüglich und basiert auf einem Auswahlverfahren, aus einer gegebenen Menge von Zahlen und ihren Ziffern die neue Zahl aufzubereiten.

Cantor war sich der Tragweite bewusst. Er sieht, dass sich diese Methode auf höheren Ebenen nochmals unendlich oft auf sich selbst anwenden lässt. Das führt zu fortlaufend neuen Mächtigkeiten und zeigt für Cantor eine Art Jakobsleiter von den gewöhnlichen Zahlen bis in die Sphäre des Göttlichen. Erst mit diesem Gedanken wird die Gegenläufigkeit spekulativen und konstruktiven Denkens offen sichtbar.

Russell

Bertrand Russell (1872-1970) war in seinen jungen Jahren überzeugter Hegelianer. Sein Entwurf einer negativen Selbstbezüglichkeit (Russellsche Antinomie) steht unverkennbar in der Tradition Hegels. Sie hat – für ihn sicher überraschend – zu einer Wende im Verständnis der dialektischen Methode geführt. Das zeigt erstmals die 1931 veröffentlichte Studie Logik des Widerspruchs von Robert Heiß (1903-1974), der sich ausdrücklich auf Hegel und die Mathematik des 20. Jahrhunderts bezieht, und darauf aufbauend zahlreiche Arbeiten zur dialektischen Methode, auch wenn sie Robert Heiß nur selten erwähnen (Kulenkampff, Kesselring, Wandschneider, Knoll & Ritsert, Stefan Müller, Collmer).

Gibt es in der Mathematik und der Logik negative Selbstbezüglichkeit? Kann in diesem Sinn von einer Dialektik der Mathematik gesprochen werden? Bertrand Russell hatte 1903 gezeigt, wie der sich selbst widersprechende Satz ›dieser Satz ist falsch‹ formal in die Mengenlehre übertragen werden kann, indem eine Klasse aller Klassen entworfen wird, die sich nicht selbst als Element enthalten. Mit dieser Erkenntnis hatte er das große Ziel von Frege widerlegt: Zum einen ist es ihm gelungen, wie Frege einen Satz der Alltagssprache in eine mathematische Form zu bringen, aber er hat mit diesem Beispiel gezeigt, dass es nicht gelingt, mit der Übersetzung von Sätzen in eine mathematische Form die aus der üblichen Sprache bekannten Täuschungen und Widersprüche auszuschließen. Das aber war Freges eigentliches Anliegen gewesen, als er in der Begriffsschrift als »eine Aufgabe der Philosophie« sah, »die Herrschaft des Wortes über den menschlichen Geist zu brechen, indem sie die Täuschungen aufdeckt, die durch den Sprachgebrauch über die Beziehungen der Begriffe unvermeidlich entstehen« (Frege 1879, VI).

Um dennoch Antinomien dieser Art zu vermeiden sah Russell nur den Weg, die Mathematik streng in hierarchische Ebenen (Typen) zu ordnen. Innerhalb einer Ebene dürfen die jeweils gegebenen Elemente nur äußerlich miteinander verknüpft werden – so wie es von den einfachen arithmetischen Operationen ›a + b‹ oder ›a · b‹ gewohnt ist –, aber nichts übereinander sagen. Reflexive Urteile eines Elements über ein anderes Element oder gar über die auf dieser Ebene geltenden Regeln und deren mögliche Ungereimtheiten und Widersprüche sind nur von übergeordneten Meta-Ebenen aus zugelassen (Vicious circle principle), oder im Sinne von Kant nur mit einer negativ operierenden Philosophie. 1931-32 konnte jedoch Kurt Gödel (1906-1978) in zwei Schritten zeigen, wie Verbote dieser Art in einem hinreichend komplexen formalen System (in dem Addition und Multiplikation möglich sind) unterlaufen und das Lügner-Paradoxon ohne Unterscheidung in Objekt- und Metasprachen oder unterschiedliche Typen innerhalb der jeweils gegebenen Ebene nachgebildet werden können. Damit war nicht nur das Ziel von Frege, sondern auch des ihn weiter führenden Russell widerlegt und überhaupt jede vergleichbare Hoffnung auf eine in sich widerspruchsfreie Mathematik.

Wittgenstein

Ludwig Wittgenstein (1889-1951) hat im Tractatus die Satzanalyse von Frege aufgenommen. Über Frege hinaus untersucht er nicht mehr nur die Form einzelner Sätze und ihre Verkettung in Urteilsfolgen, sondern sieht sie als Elemente übergreifender Kalküle und ihrer Regeln. Mit diesem Ansatz findet er eine neue Lösung für die Typentheorie von Russell und Whitehead. Allerdings bleibt er im Tractatus noch bei einem weitgehend statischen Verständnis. Das ändert sich in seinen späteren Arbeiten, bis er ausdrücklich von der grammatischen Bewegung des Satzes spricht. Lütterfelds zeigt, wie nahe er damit Hegels Analyse der dialektischen Bewegung des Satzes kommt.

Auch wenn ihm der Übergang in die Linguistik gelingt, trennt er systematisch Variablen, die für Satzsubjekt und Satzprädikat stehen, und die logischen Konstanten wie die klassische Copula ‘ist’, die er für unveränderlich hält. Weiter unterscheidet er am Satz die Funktion, wofür ein Satz gebraucht wird (Pragmatik), und die Operation, wie innerhalb eines Kalküls Sätze gebildet und ineinander transformiert werden (Syntax). An diesen Punkten wird die Kritik durch Spencer-Brown ansetzen.

Etwas mehr im Detail: Ohne sich auf die mathematischen Feinheiten einzulassen sah Wittgenstein in der Russellschen Antinomie eine viel weiter reichende Frage, die nicht nur die Mathematik und die Logik, sondern alle Sprachen (Kalküle und codierten Systeme) betrifft. In dem 1914-18 entstandenen Tractatus logico-philosophicus hat er die Frage nach der Selbstbezüglichkeit von der Mathematik auf die Linguistik übertragen und dort in einem völlig neuen Kontext nach einer Lösung gesucht. Er unterscheidet nicht wie Russell Objekt- und Meta-Ebenen, die klar voneinander getrennt werden müssen, sondern ausgehend von der Sprachwissenschaft innerhalb jeder Sprache Syntax, Semantik und Pragmatik. Die Unterscheidung in Objekt- und Meta-Sprache ist ihm weniger wichtig, da auch jede Meta-Sprache eine Sprache mit Syntax, Semantik und Pragmatik ist.

Syntax Mit der Syntax wird vereinbart, in welcher Weise Sätze gebildet werden können, mathematisch gesprochen: nach welchen Regeln mit Zahlen gerechnet und heutzutage: mit welcher Syntax programmiert werden kann. Die Syntax beschreibt die Form des Satzes. Auch ein Satz wie ›dieser Satz ist falsch‹ ist syntaktisch korrekt gebildet und kann daher als ein wohlgeformter Satz angesehen werden. Die Syntax sagt nichts über die Bedeutung, den Sinn oder die Wahrheit der mit ihr gebildeten Sätze aus. Syntax und Semantik sind streng voneinander getrennt. Wenn sich diese Unterscheidung durchhalten lässt, ist auf eine für einen Mathematiker wie Russell völlig unerwartete Weise sein Anliegen erfüllt, die zerstörerische Wirkung der negativen Selbstbezüglichkeit zu vermeiden.

Semantik Unabhängig von der Syntax ist nach der Bedeutung eines Satzes zu fragen: Was soll mit einem Satz ausgesagt werden, was ist sein Sinn? Das nennt Wittgenstein missverständlich ‘Satzzeichen’. Unter Satzzeichen versteht er nicht wie allgemein üblich die Sonder- und Interpunktionszeichen wie Punkt, Komma, Gedankenstrich, Frage- oder Ausrufezeichen, sondern in Anlehnung an Frege den Sinn eines Satzes: Welcher Gedanke, welche Aussage wird mit einem Satz formuliert? Was ist der Inhalt des Satzes? Offenbar will er den mit einem Satz formulierten Gedanken zugleich als Zeichen verstehen, das für den Satz steht und auf ihn verweist: im wörtlichen Sinn das Satzzeichen. Dieses Zeichen kann verworren sein und in einer ungewohnten Umgebung auftreten, aber es hat in jedem Fall als Zeichen einen eigenen Wert. Ein Satz kann nie als solcher ignoriert oder für sinnlos erklärt werden. Er enthält immer eine Botschaft. Es kann nur geschehen, dass ein gegebener Satz nicht direkt verständlich ist und durch weitere Sätze erläutert werden muss, ja diese Sätze möglicherweise sogar erst anregt. (Selbst auf den ersten Blick leere Sätze wie ›die Rose ist kein Elefant‹, die von Hegel dem Inhalt nach als widersinnig und der Form nach als negativ-unendlich bezeichnet werden [WdL, Schluss des Daseins; TWA 6.324], werden von der Psychoanalyse als Ausdruck unbewusster Inhalte gedeutet und therapiert. Das klassische Beispiel ist die Traumdeutung. Sie untersucht mit einer Gesprächstherapie, welche Bedeutung ein solcher Satz für den Analysanden haben kann, was ihm dazu einfällt und auf welche verborgenen Wünsche und Vorstellungen er führt.) Wittgenstein vertraut darauf, dass das in der uns gegebenen Sprache möglich ist, bis in der Deutung eines Satzes Sätze gefunden sind, die aus sich selbst heraus verständlich sind. »Dies sehen wir daraus, dass wir den Sinn des Satzzeichens verstehen, ohne dass er uns erklärt wurde.« (WTLP 4.02)

Wenn für Wittgenstein mit dem Satzzeichen der mit einem Satz gegebene Gedanke gemeint ist, ist klar, dass er sich nicht auf sich selbst beziehen kann, da er sich als Zeichen bereits unmittelbar ausspricht. Daher löst sich in diesem Kontext die Antinomie von Russell von allein: »Kein Satz kann etwas über sich selbst aussagen, weil das Satzzeichen nicht in sich selbst enthalten sein kann (das ist die ganze 'Theory of Types').« (WTLP 3.332) Für Wittgenstein liegt der Irrtum von Russell darin, rein auf der syntaktischen Ebene Widerspruchsfreiheit erzwingen zu wollen, während für ihn mit der Sprache und ihrer unendlichen Vielfalt, über alle Antinomien und Widersprüche sprechen zu können, der Weg gefunden ist, Widersprüche nicht unbedingt zu vermeiden, aber ihre Bedeutung in Worte fassen zu können. – Daran hält er auch in seinen späteren Schriften fest. Im Grunde gibt es für ihn keine Widersprüche, sondern nur offene Fragen, an denen weiter zu arbeiten ist, bis es gelingt, den Zusammenhang zu überschauen, in dem sie auftreten, und aus ihm heraus für sie die treffenden Worte und Satzzeichen (Gedanken) zu finden.

Wird das von Wittgenstein gemeinte Satzzeichen als der Name eines Satzes verstanden, dann kann seine Auflösung der Russellschen Antinomie mit Spencer-Brown in die einfache Formel gebracht werden: »Wenn ein Name genannt wird und dann noch einmal genannt wird, ist der Wert, der durch beide Nennungen zusammen bezeichnet, derjenige, der durch eine der beiden bezeichnet wird.« (LoF dt, 2) Es ist nicht möglich, einem Namen nochmals einen Namen zu geben. Spencer-Brown trifft mit seinem Axiom 1 Das Gesetz des Nennens genau, was Wittgenstein sagen wollte: Namen können nichts über sich selbst aussagen, sondern sind bereits die Aussage.

Pragmatik Allerdings ist zu berücksichtigen, dass die Bedeutung von Sätzen von ihrem Kontext abhängig sein kann. So kann zum Beispiel der Satz ›grün ist grün‹ sowohl ›Herr Grün ist grün‹ als auch ›Alles was grün ist, ist grün‹ bedeuten (Huber, 17). Der Kontext zeigt, wofür ein Satz gebraucht wird, oder in Wittgensteins späteren Worten: In welchem Sprachspiel er vorgetragen wird (Pragmatik). – Hegel spricht die Pragmatik an, wenn er am Beispiel widersinniger Sätze negativ erläutert, welchen Gebrauch Urteile haben. Er vergleicht den Autor solcher Sätze mit dem Verbrecher: So wie ein Verbrecher das Rechtssystem im Ganzen in Frage stellt, so wird mit widersinnigen Sätzen der Logos der Sprache im Ganzen skeptisch gesehen und der Lächerlichkeit preisgegeben. Widersinnige Sätze können nur vermieden werden, wenn sich alle an den gemeinsam vereinbarten Gebrauch von Urteilen als Mittel für die Erkenntnisgewinnung und der Kommunikation halten und dieses Sprachspiel akzeptieren.

So wie Wittgenstein zwischen Syntax, Semantik und Pragmatik unterscheidet, unterscheidet Hegel Form und Inhalt, und am Inhalt dessen Richtigkeit und Wahrheit. Ein Satz kann formal richtig sein, aber die Form des Satzes kann unabhängig vom jeweiligen Inhalt (Semantik) ihrerseits daran gemessen werden, ob die jeweils erreichte Form eines Urteils aus sich heraus zu höheren Formen und schließlich zu Schlüssen und zur Objektivität führen. In letzter Konsequenz werden Sätze daran gemessen, ob sich mit ihnen eine Idee ausdrücken lässt. Das ist das Sprachspiel, das Hegel unausgesprochen in seiner Wissenschaft der Logik voraussetzt. »Die Erkenntnis der Fortbestimmung des Urteils gibt demjenigen, was als Arten des Urteils aufgeführt zu werden pflegt, erst sowohl einen Zusammenhang als einen Sinn.« (Enz. § 171, TWA 8.321) Der hier angesprochene Sinn ist nicht mehr wie bei Frege auf der Objektebene der Gedanke, der Inhalt oder die Aussage eines Satzes, sondern die Dynamik liegt auf der Metaebene des Logos als eines zusammenhängenden Systems von Denkformen in der Bewegung und dem inneren Zusammenhang der von Kant noch äußerlich aufgezählten Urteilsformen. Die Urteile finden ihren Sinn darin, wie sie sich auseinander entwickeln und letztlich zur Idee führen. Daran wird auch der einzelne Satz gemessen. Er wird daran gemessen, ob er zu dieser Entwicklung beiträgt oder sich ihr widersetzt.

Wird auf diese Weise zwischen Syntax, Semantik und Pragmatik unterschieden, hat das für Wittgenstein zwei wichtige Konsequenzen, die Spencer-Brown in Frage stellen und über sie hinausgehen will:

(i) Die Syntax unterscheidet Satzvariablen und logische Konstanten. Die konsequente Trennung von Syntax und Semantik ist nur möglich, wenn ebenso strikt Satzvariablen und logische Konstanten voneinander isoliert werden: Eine Satzvariable kann keine logische Konstante sein, und eine logische Konstante kann nicht als Satzvariable auftreten. In einem Satz wie ›(S) eroberte Gallien‹ ist S eine Satzvariable, für die zum Beispiel der Eigenname ‘Cäsar’ eingesetzt werden kann. Das im Verb ‘eroberte’ enthaltene Wort ‘ist’ (in diesem Beispiel ausgeschrieben ‘ist der Eroberer von’) steht für eine logische Konstante, mit der eine Identität zweier Satzvariablen bezeichnet wird, in klassischer Ausdrucksweise die Identität von Subjekt und Prädikat eines elementaren Urteils. »Die Möglichkeit des Satzes beruht auf dem Prinzip der Vertretung von Gegenständen durch Zeichen. Mein Grundgedanke ist, dass die ‘logischen Konstanten’ nicht vertreten. Dass sich die Logik der Tatsachen nicht vertreten lässt.« (WTLP 4.0312) Im Sinne von Hegel trennt Wittgenstein zwischen Inhalt und Form des Satzes: Die Satzvariablen enthalten den Inhalt, die logischen Konstanten bestimmen die Form. In der Sprachweise der Linguistik: Die Satzvariablen stehen für Ausdrücke, die semantisch geprüft werden können. Wird in diesem Beispiel der Eigenname ‘Cäsar’ eingesetzt, so ist semantisch zu fragen, was mit ‘Cäsar’ gemeint ist und ob für ihn die Aussage zutrifft, dass er Gallien erobert hat. Die logischen Konstanten wie ‘ist’ lassen sich dagegen nicht in dieser Weise semantisch untersuchen. Das wäre erst möglich, wenn die Form ihrerseits zum Inhalt wird. Das will Wittgenstein ausschließen. Sie müssen für Wittgenstein mit den Regeln der Syntax hingenommen werden und sind nicht Gegenstand der Semantik. Jeder Versuch, in Worten auszusagen, was die logischen Konstanten sind, wann sie eingeführt und wie sie gebraucht werden, muss sich seinerseits an die gegebene Syntax und ihre logischen Konstanten halten und kann sie nicht verlassen.

(ii) Und ebenso strikt muss zwischen Operationen und Funktionen unterschieden werden. Was üblicherweise als mathematische Funktion y = f(x) verstanden wird, ist für Wittgenstein eine Operation, mit der innerhalb eines Kalküls Zeichen x in andere Zeichen y umgewandelt werden: x → y. Damit erweitert er den Gedanken von Frege: Für Frege war die Funktion identisch mit der Wahrheitsfunktion, die einem Satz einen Wahrheitswert zuordnet. Weiter reichte sein Gebrauch des Ausdrucks ‘Funktion’ nicht. Wittgenstein unterscheidet dagegen: Für ihn gibt es zum einen die Operationen, mit denen in einem Kalkül Sätze in andere Sätze transformiert werden können (Veränderungen erster Ordnung), und zum anderen den Gebrauch (die Funktion im umgangssprachlichen Sinn), für welchen Nutzen gesprochen und Sätze gebildet und kommuniziert werden. Wenn sich der Gebrauch der Sätze ändert, ist das eine Änderung zweiter Ordnung. Ein klassisches Beispiel ist bereits genannt: Die Psychoanalyse gebraucht und deutet mit der Einführung des Unbewussten Sätze völlig neu gegenüber der traditionellen Logik. Sie kennt daher neuartige logische Operationen wie Verschiebung und Verdichtung, die in der traditionellen Logik unbekannt sind, und kommt dafür ohne die klassischen logischen Operationen wie Verneinung, ‘und’ und ‘oder’ aus.

Vereinfacht gesagt: Operationen sind an die Syntax gebunden, nach deren Regeln operiert werden kann, während Funktionen ausschließlich semantisch bestimmt werden können (wenn in Worten beschrieben wird, wofür etwas gebraucht wird). Sie sind daher entsprechend der Unterscheidung in Syntax und Semantik ihrerseits voneinander getrennt: Operationen können keine Funktionen sein und Funktionen keine Operationen. Genauer: Da Operationen an die gegebene Syntax gebunden sind, können sie sich als Operationen nicht auf sich selbst beziehen. Es kann zwar über die Syntax gesprochen werden, aber auch dieses Sprechen über die Syntax bleibt seinerseits an die Syntax gebunden. Am Beispiel der Mathematik: In arithmetischen Operationen treten Konstante wie Plus (+) und Gleich (=) auf, aber es ist nicht möglich, ihnen eigene Zahlen-Werte zu verleihen und beispielsweise selbstbezüglich die Summe aus den Zeichen Vier und Plus zu bilden. Das wäre eine Summe, die über das Summenzeichen Plus selbstbezüglich die Summe einer Summe wäre. Es ist nur möglich, dass sich Operationen rekursiv auf ihre eigenen Resultate beziehen. Das einfachste Beispiel ist das Zählen, das rekursiv von jeder neu gefundenen Zahl aus einen Schritt weiterzählt: n → (n + 1). Das ist jedoch keine Selbstbezüglichkeit, sondern lediglich eine Wiederholung der fortlaufend gleichen Operation ›Erhöhe den jeweils gegebenen Wert um 1‹.

Und ebenso wenig kann es einen Selbstaufruf von Funktionen geben. Sicher ist es wiederum möglich, darüber zu sprechen und Sätze zu bilden, was Funktionen sind und wofür sie in der Sprache gebraucht werden. Aber das meint Wittgenstein nicht: Wenn über Funktionen gesprochen wird, besteht für ihn dieses Sprechen über Funktionen wiederum aus Operationen. Funktionen werden nicht daran erkannt, dass über sie gesprochen wird, sondern sie können nur am Gebrauch der Operationen erkannt werden. Wird nachträglich darüber gesprochen, was am Gebrauch der Operationen erkannt wurde, ist dies wiederum nur eine Operation.

Wittgensteins Gedanke ist so ungewohnt, dass es schwer fällt, sich in ihn hineinzufinden. Vielleicht macht das eine Analogie klarer: Funktionen und Operationen können mit dem Gebrauchs- und Tauschwert einer Ware verglichen werden. Der Gebrauch einer Ware (zum Beispiel das Essen eines Brotes, die Nutzung eines Autos) kann in Worten beschrieben werden, aber der Gebrauch (das Essen, das Autofahren) kann nicht seinerseits gebraucht (gegessen oder gefahren) werden.

Ryle näherte sich der Frage von einer anderen Seite, wenn er in Knowing how und Knowing that unterscheidet. Beispiele: Gehen lernen, Radfahren lernen, ein Instrument zu spielen lernen, Humor, Bergsteigen. In all diesen Fällen werden zwar Regeln gelernt, aber darüber hinaus entsteht in der Praxis ein eigenes Wissen, das in Deutsch als »Geschick« bezeichnet werden könnte. Auch wenn das in die von Wittgenstein gemeinte Richtung geht, meint er es ein wenig anders: Zum Beispiel kann das Gehen als eine Operation beschrieben werden, eine Bewegung von einem Ort zu einem anderen mit einem genau bestimmten Operationsablauf. Die Funktion des Gehens kann zum Beispiel sein, einkaufen zu gehen, jemanden zu besuchen oder die körperliche Ertüchtigung. Die Funktion kann nicht an der Operation abgelesen werden, sondern nur an ihrem Gebrauch, und es gibt keine Funktion der Funktion, zum Beispiel kein Besuchen des Besuchens, kein Einkaufen des Einkaufen usf. – Aber es ist offenbar nicht möglich, unmittelbar auszusagen, warum Funktionen sich nicht selbst aufrufen können. Es können nur Beispiele gewählt werden in der Hoffnung, dass der andere an diesen Beispielen versteht, wie das gemeint ist.

Wer Hegel liest, macht eine ähnliche Erfahrung. Was Hegel unter einem spekulativen Satz versteht, ist seinerseits kaum in Worte zu fassen. Der Leser muss beim Lesen größerer, zusammenhängender Texte von Hegel an diesen Texten und an der Erfahrung des eigenen Mitvollzugs ihrer Gedankenentwicklung lernen, was Hegel unter einem spekulativen Satz versteht. Hegel war sich dessen bewusst: Die Negation der Negation führt nicht von einem Satz ›A ist B‹ über die Negation ›A ist nicht B‹ zu einem neuen Satz ›A ist nicht nicht B‹, sondern wendet sich selbstbezüglich von den einzelnen Stationen einer Position, ihrer Negation und der Negation der Negation auf den Prozess (Wittgenstein würde sagen: Gebrauch) des Negierens.

Das ergibt für Wittgenstein zusammenfassend:

»Eine Funktion kann nicht ihr eigenes Argument sein, wohl aber kann das Resultat einer Operation ihre eigene Basis werden.« (WTLP 5.251, zitiert LoF dt, 84)

Spencer-Brown

An dieser kritischen Stelle setzt George Spencer-Brown (1923-2016) mit den 1969 veröffentlichten Laws of Form an. Er wollte diese beiden Folgerungen nicht einfach widerlegen, sondern ihrerseits in einen neuen Kontext stellen, den er in seiner Berufstätigkeit als Ingenieur für die britische Bahn kennen gelernt hatte: Das sind die Programmierung, für die mit der Turing-Maschine ein völlig neues Feld gefunden wurde, und die neuartigen Automaten mit ihren elektrischen Bauelementen, komplexen Schaltplänen und Leiterbahnen. Mit den Laws of Form hat er ein Sprachspiel gefunden, um über die Erkenntnisse von Wittgenstein sprechen zu können. Er beschränkt die in der üblichen Umgangssprache geschriebene begleitende Prosa auf ein Minimum an aphoristischen Sätzen und vertraut darauf, dass die von ihm eingeführten Zeichen und ihre Formen für sich selbst sprechen.

– Er gibt die Trennung von Satzvariablen und logischen Konstanten radikal auf und führt stattdessen ein einziges Zeichen ein, das cross . Es ist sowohl ein inhaltliches (semantisches) Zeichen in der vielfältigen, unmittelbar anschaulichen Bedeutung ‘Grenze’, ‘Unterscheidung’, ‘Hervorhebung’, ‘Markierung’ ‘Benennung’ (in seinen Worten: cross, mark, indication, call), wie auch die grundlegende logische Konstante für die Syntax in seinem Kalkül, mit der sowohl zwei Zeichen voneinander unterschieden werden wie auch die Überschreitung (crossing) von dem einen zum anderen erfolgt. Alle weiteren in seinem Kalkül eingeführten logischen Konstanten (Re-crossing , Re-entry , ⇀, ↽, ⇌) ergeben sich unmittelbar daraus. Wer unbefangen an die übliche Arithmetik denkt: Bereits dort gibt es mit der Zahl ‘4’ und dem Plus-Zeichen ‘+’ einen Operanden und einen Operator, die als Zeichen graphisch einander ähnlich sehen (das Zeichen ‘4’ enthält graphisch das Zeichen ‘+’) und möglicherweise auf eine gemeinsame Wurzel zurückgehen: Quaternität und Additivität als zwei Seiten eines arithmetischen Grundzeichens. Für Spencer-Brown ist das cross sowohl der einzige Buchstabe des in seinem Kalkül verfügbaren Alphabets wie das einzige ursprüngliche Operationszeichen. Arithmetische Gleichungen ersten Grades beschränken sich darauf, dieses Zeichen entweder mehrfach hintereinander zu schreiben (so wie auf einem Bierdeckel mit Strichen gezählt wird), oder ineinander zu verschachteln. Spencer-Brown zeigt in einer Art Elementarlehre – die er Proto-Arithmetik nennt –, wie sich mit diesem einzigen Zeichen eine Logik ausarbeiten lässt, die inhaltlich mit der Booleschen Algebra verglichen werden kann. (Siehe für eine ausführliche Darstellung die Einführung in die Laws of Form.)

Die entscheidende Anregung kam sicher von Gödel. Gödel hatte gezeigt, wie sich in jedem ausreichend komplexen System alle Zeichen der Syntax eindeutig mithilfe des im System verfügbaren Alphabets darstellen lassen, womit die Unterscheidung in semantische und syntaktische Zeichen unterlaufen wird. Das gilt auch für alle Zeichen der Meta-Ebene: Sie lassen sich grundsätzlich auf der Objektebene darstellen. Was auf den ersten Blick wie ein Kollaps der traditionellen Logik aussieht, hat ihr jedoch im Gegenteil eine völlig unerwartete Anwendungsmöglichkeit gegeben: Die moderne Informatik wäre ohne diese Idee nicht möglich: Ihre Maschinensprachen arbeiten mit einem Code, mit dem einheitlich sowohl die semantischen wie die syntaktischen Zeichen, Worte und Sätze formuliert werden (üblicherweise der 1963 vereinbarte ASCII-Code).

(ii) So wie beim Zählen der einfache Zählschritt ›n → n + 1‹ beliebig oft iteriert wird, so führt Spencer-Brown in seinem Kalkül unendliche Iterationen ein. Und so wie in diesem Zählschritt ›n → n + 1‹ auf beiden Seiten des Pfeils die Variable n auftritt, so zeigt Spencer-Brown ausgehend von einfachen Beispielen, wie in seinem Kalkül Gleichungen aufgeschrieben werden können, in denen ebenfalls auf beiden Seiten die gleiche Variable steht. Dies sind Gleichungen zweiten Grades, mit denen eine Variable transformiert und auf sich selbst abgebildet wird. (Jeder Programmierer kennt das, wenn die Zählfunktion mit der einfachen Zuweisung ›i = i + 1‹ aufgeschrieben wird. Damit ist gemeint: Der aktuelle Wert der Variable i wird um 1 erhöht und das Ergebnis der Variable i zugewiesen.) Gegenüber der gewöhnlichen Mathematik zieht er daraus den elementaren Schluss, dass mit Gleichungen zweiten Grades im Unendlichen gerechnet werden kann, da sie auf einer Betrachtungsebene angesiedelt sind, die sich unendlich oft wiederholen lässt. Das ist sicher jedem Mathematiker von der Idee her vertraut, aber erst Spencer-Brown hat diese grundlegende Einsicht in seinem radikal vereinfachten Kalkül in aller Klarheit herausarbeiten und bis in die Grundlagen eines neuartigen Kalküls einbeziehen können.

Mit Gleichungen zweiten Grades kann Wittgensteins Unterscheidung in Funktionen und Operationen aufgehoben werden: Diese Gleichungen sind zum einen Operationen, mit denen innerhalb des Kalküls Zeichen auf andere Zeichen abgebildet und ineinander transformiert werden. Und zugleich erfüllen sie bestimmte Funktionen. Das ist elementar die Funktion des Zählens. Aber erst im Kalkül von Spencer-Brown wird erkennbar, wie sich daraus Automaten entwickeln lassen, die bestimmte Aufgaben erfüllen. Mit Gleichungen zweiten Grades wird die Pragmatik des Kalküls erfüllt.

Damit ist alles zusammen, was Hegel vom spekulativen Denken erwartet hat: An einem einzigen Zeichen lassen sich der statische Widerspruch von Innen und Außen und die dynamische Bewegung von Innen nach Außen und zurück darstellen (Hegel sprach von der Grenze eines Etwas vom Anderen). Lässt sich ein besserer Weg denken, die dialektische Bewegung des Satzes auszuarbeiten? Und nicht nur das: Mit diesem Zeichen lässt sich eine Entwicklung herbeiführen, die Hegel als den Übergang von der schlechten zur wahren Unendlichkeit verstanden hat.

Die oben eingeführte Figur 1 kann mit Spencer-Brown neu formuliert werden:

Figur 3: Gleichungen ersten und zweiten Grades

Untere Zeile: Gleichungen ersten Grades können nur zu endlichen Ausdrücken führen. Das ist von der üblichen Arithmetik bekannt, wenn dort Ausdrücke wie z.B. ›(3 + 8) + 12 / 7‹ gebildet und schrittweise ausgerechnet werden. Im Kalkül von Spencer-Brown kommt hinzu, dass für jeden Ausdruck gilt, dass er entweder auf ein einfaches cross oder auf den Grundzustand ohne Zeichen zurückgeführt werden kann. Die Forderung von Frege, dass jeder Satz auf eine Menge abzubilden ist, die nur aus den zwei Werten ‘wahr’ oder ‘falsch’ besteht, ergibt sich hier von allein, wobei der Kalkül von Spencer-Brown genau so wenig wie jede Art von Geometrie eine ausdrückliche Verneinung (Negation) kennt, sondern nur das Rückgängig-Machen einer Operation (cancellation).

Heraufführung: Mit unendlich oft wiederholbaren Iterationen gelingt die Heraufführung in Gleichungen zweiten Grades. Vorbilder sind das Zählen und die sequentiellen Annäherungsverfahren an irrationale Zahlen und Grenzwerte. Spencer-Brown verallgemeinert das und spricht in seinem Kalkül von Wiedereinfügung (Re-insertion) (LoF, 65; LoF dt, 56): Mit jedem Iterationsschritt wird ein fester, gleichbleibender Baustein des aktuell gegebenen Zeichens in das nachfolgende Zeichen eingefügt. Vorbild ist wiederum die einfache Kette von Zeichen |, ||, |||, …; zum Beispiel beim Zählen durch Einkerbungen oder mit Strichen und das verallgemeinernd mit den römischen Zahlen. Spencer-Brown erweitert das, wenn nach einer festen Regel bei jedem Einzelschritt ein bestimmter Baustein des aktuellen Zeichens an einer bestimmten Stelle oder sogar mehrfach an verschiedenen Stellen des nachfolgenden Zeichens eingefügt werden kann und zeigt am Beispiel von Modulatoren, wie sich mit dieser Methode vollständige Automaten beschreiben lassen.

Obere Zeile: Wird an die Beispiele aus der gewöhnlichen Mathematik gedacht, können sich Iterationen an Grenzwerte und Eigenwerte annähern. Bereits die gewöhnliche Mathematik muss für den Grenzwert neue Zeichen einführen wie z.B. das Wurzelzeichen √, das Summenzeichen ∑ und das Integralzeichen ∫. Spencer-Brown verallgemeinert das. Er führt in seinem radikal vereinfachten Kalkül das Zeichen ein, mit dem die Iteration im Ganzen benannt wird.

Und er geht über rein mathematische Kalküle hinaus und erfasst zugleich die von Russell und Wittgenstein untersuchten linguistischen Paradoxien. Es kann sein, dass sich die Iteration keinem festen Grenz- oder Eigenwert annähert, sondern mit jedem Iterationsschritt abwechselnd der Zustand 1 (markiert) oder 0 (unmarkiert) erreicht wird. Er vergleicht das mit dem Lügner-Paradox ›dieser Satz ist falsch‹: Wenn dieser Satz wahr ist, ist er falsch, wenn er falsch ist, ist er wahr, usf. Auch in diesem Fall kann dennoch die Gestalt (Verlaufsform) der Iteration bestimmt werden. Das ist im einfachsten Fall eine einfache Rechteckschwingung, die abwechselnd den Wert 0 oder 1 annimmt. Dieser Verlauf erfolgt im zweidimensionalen Raum. Spencer-Brown spricht von der Unbestimmtheit, welcher der beiden Werte angenommen wird, und deutet sie als imaginären Wert:

»Der Wert der im (oder durch den) Punkt (oder die Variable) p repräsentiert wird, kann, indem er im Raum unbestimmt ist, imaginär im Bezug auf die Form genannt werden. Wie wir oben erkennen, ist er nichtsdestoweniger real im Bezug auf die Zeit und kann im Bezug auf sich selbst im Raum bestimmt und somit real in der Form werden.« (LoF dt, 53)

Mit dieser Erkenntnis verlässt Spencer-Brown die übliche Logik, und es bereitet daher einige Mühe, seinen neuartigen Gedanken zu verstehen. Wird das Beispiel der Rechteckschwingung betrachtet, dann ist jeder Wert in der Reihenfolge ›1, 0, 1, 0, …‹ für sich ein realer Wert: entweder 1 oder 0. Aber die oszillierende Bewegung des Auf und Ab muss in einer unabhängigen Achse beschrieben werden, die senkrecht zur Achse der realen Zahlen steht: Das ist die imaginäre Achse. Mathematisch wird auf diese Weise die Zahlenebene der komplexen Zahlen eingeführt.

Für diesen Sprung in die imaginäre Achse gibt es bei Hegel ein Gegenstück, wenn Hegel den Übergang des Gegensatzes, der auf der realen Zahlenachse mit Zahlenpaaren a und −a beschrieben werden kann, in eine neue Dimension beschreibt, in der er zu Grunde geht. Hegel findet hierfür ein Bild, das an die Rechteckschwingung erinnert: »Dies rastlose Verschwinden der Entgegengesetzten in ihnen selbst ist die nächste Einheit, welche durch den Widerspruch zustande kommt; sie ist die Null.« (WdL, der Widerspruch; TWA 6.67). In der Null wird eine neue Achse eröffnet mit einer eigenen Einheit, der imaginären Einheit i. Das ist die nächste Einheit, auch wenn Hegel noch nicht von imaginären Zahlen spricht. Hegel nennt diesen Prozess »Pulsation der Selbstbewegung und Lebendigkeit« (WdL, der Widerspruch; TWA 6.78) und hat damit die Statik des Gegensatzes verlassen. Spencer-Brown hat für diesen Prozess eine geeignete Form gefunden, den Hegel nur in Worten beschreiben konnte.

Re-entry: In meiner Deutung ist der Wiedereintritt (Re-entry) von der Wiedereinfügung (Re-insertion) zu unterscheiden. Das wird in der bisher vorliegenden Literatur zu Spencer-Brown nicht so gesehen. In meiner Deutung beschreibt die Re-insertion den einzelnen Iterationsschritt, während der Re-entry beschreibt, wie Spencer-Brown im Ganzen den Prozess der Gleichungen zweiten Grades benennt und mit einem eigenen Zeichen einführt: . Dieses Zeichen ist eine neues Element, mit dem das Alphabet dieses Kalküls erweitert wird. Der Re-entry hat eine vielfache Bedeutung: (i) Er ist der Name und das Ikon für Gleichungen zweiten Grades; (ii) er ist ihr Grenzwert (Eigenwert), der nicht mehr real, sondern nur noch imaginär dargestellt werden kann; und (iii) ist er die Rückkehr, mit der das in Figur 3 beschriebene Diagramm zum kommutativen Abschluss gebracht wird. Daher hat Varela einen eigenen Kalkül enwickelt, in dem der Re-entry als eigenständiges Zeichen auftritt.

Mit dem Re-entry hat Spencer-Brown formal beschrieben, was sich für Hegel als ein »geschlungener Kreis dar[stellt], in dessen Anfang, den einfachen Grund, die Vermittlung das Ende zurückschlingt« (WdL, die absolute Idee; TWA 6.570).

Abschließende Bemerkungen:

Imaginäre Zahlen: Mit den imaginären Zahlen ist nicht nur eine neue Dimension eröffnet, sondern die mathematischen Bewegungsgesetze imaginärer Zahlen zeigen, wie sich imaginäre Verläufe entsprechend ihrer Eigendynamik drehen und aus dem imaginären Raum zur realen Achse zurückführen. Sie müssen kein Gedächtnis mit sich führen, um sich daran zu erinnern, woher sie kommen und wohin sie zurückkehren wollen, sondern diese Richtung ist an ihnen selbst in ihrer eigenen Dynamik angelegt. (Siehe hierzu weiterführend den Beitrag imaginäre Zahlen.) An jeder Stelle einer Bewegung können drei Momente voneinander unterschieden werden, die im Ganzen die Einheit des jeweiligen Bewegungszustandes bilden: (i) Der aktuelle Wert. Das ist eine messbare Größe und wird physikalisch als der Betrag der Kraft bezeichnet. (ii) Die Richtung, in der die Bewegung an der jeweiligen Stelle zeigt. Das wird mit einem Vektor (Pfeil) dargestellt. (iii) Der Drall, der an dieser Stelle dazu führt, dass sich im weiteren Verlauf die Richtung ändert. Dieser Wert kann als die Energie (oder die Information) bezeichnet werden. Werden mit Spencer-Brown Kalküle betrachtet, die eigene Formen hervorzubringen vermögen, dann enthält jede Form eine Energie, mit der sie neue Formen erzeugt. Bei Hegel ist wiederum ein analoger Gedanke zu erkennen: Er unterscheidet bei den Urteilen die Richtigkeit des Inhalts eines Urteils und die Wahrheit der Urteilsform: Während mit Richtigkeit gemeint ist, dass das Urteil sachlich zutrifft, ist in meiner Deutung die Wahrheit der Urteilsform die Energie, mit der die jeweilige Urteilsform andere Urteilsformen erzeugen bzw. in sie überzugehen vermag.

Pragmatik: Ohne Zweifel konnten schon immer arithmetische Rechnungen mit Operationen wie dem Zählen oder dem Messen und geometrische Konstruktionen mit Operationen wie dem Polieren einer Fläche in eine ebene Gestalt und dem Bauen einfacher und komplexer Gebilde verglichen und als Abstraktion aus ihnen begründet werden (Operationalismus). Und es gab schon seit vielen Jahrhunderten Uhren, mit denen die Stunden und Tage gezählt werden. Aber erst seit der Einführung der Automaten in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts wurde es möglich, Maschinen dieser Art weiter auszuarbeiten. Spencer-Brown ist stolz, in seiner Zeit als Ingenieur erstmals ein solches Gerät entworfen zu haben, das erfolgreich eingesetzt wurde (LoF dt, 86). Wittgenstein hat dagegen bei Logik und Mathematik an wissenschaftliche Disziplinen gedacht.

Beobachter: Wittgenstein sah sich als Autor des Tractatus als einen absoluten Beobachter, der von außen alle Regeln übersehen und formulieren kann, mit denen Sprache und Wissenschaft möglich sind. Er hatte daher angenommen, dass mit dem Tractatus das letzte Wort über die Philosophie gesagt ist und die Philosophie ihren Abschluss gefunden hat. Wenn dagegen mit Spencer-Brown ein Kalkül gefunden ist, der sich selbst erweitern kann, ist zwischen zwei Beobachterstandorten zu unterscheiden: Der eine Beobachter bewegt sich innerhalb des Kalküls und führt alle Operationen aus, die dort möglich sind. Wird der Kalkül verlassen, eine neue logische Konstante erzeugt und in den Kalkül aufgenommen, gibt es einen zweiten Beobachter, der aus dieser Bewegung heraus den ursprünglichen Kalkül sieht und ihn verstehen lernt. Das kann für mich in Analogie zu Einstein gesehen werden, wenn er den ruhenden und den bewegten Beobachter unterschieden hat: Der ruhende Beobachter sieht, wie sich der bewegte Beobachter aus dem ruhenden System entfernt und zurückkehrt. Der bewegte Beobachter sieht die Kontinuität des ruhenden Systems und kann sie nach seiner Umkehr und Rückkehr erschüttern (Zwillingsparadox bis in die letzte Konsequenz von Zeitreisen in die Vergangenheit).

Kreativität: Wenn Spencer-Brown im Ergebnis das konstruktive Denken gelungen ist, sieht er sich dennoch missverstanden, dies auf die übliche Mathematik zu reduzieren.

»Ein Theorem wird genauso wenig durch Logik und Berechnung (computation) bewiesen, wie ein Sonett durch Grammatik und Rhetorik geschrieben wird, oder eine Sonate durch Harmonie und Kontrapunkt komponiert wird, oder wie ein Bild durch Ausgewogenheit (balance) und Perspektive gemalt wird. Logik und Berechnung (computation), Grammatik und Rhetorik, Harmonie und Kontrapunkt, Gleichgewicht und Perspektive können im Werk hervortreten und erkannt werden, nachdem es geschaffen wurde, aber diese Formen sind letztlich parasitär gegenüber der Kreativität des Werkes selbst, sie haben keine eigene Existenz außerhalb davon. So wird das Verhältnis der Logik zur Mathematik als das einer angewandten Wissenschaft zu ihrem reinen Ursprung gesehen, und alle angewandte Wissenschaft bezieht ihre Kraft (Nahrung, sustenance) von einem Schöpfungsvorgang, mit dem sie sich strukturgebend verbinden kann, den sie sich aber nicht aneignen kann.« (LoF dt, 88)

Was er mit »Kreativität« anspricht, sehe ich im Sinne von Hegel als spekulatives Denken. Sicher ist es möglich, die von Spencer-Brown entworfene konstruktive Lösung technisch zu verstehen und sogar besser und »eleganter« auszugestalten, aber Spencer-Brown denkt an die eigene Erfahrung, in einer spekulativen Phase diese Lösung gefunden zu haben. Das sieht er nicht nur in der gewöhnlichen Mathematik, sondern allgemein im westlichen Denken unterbewertet und spricht daher später von einer eigenen buddhistischen Erleuchtung und im Sinne des Buddhismus von der »Konditionierte[n] Co-Produktion« (Spencer-Brown, 8f).

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    Enz = Enzyklopädie der philosophischen Wissenschaften (1830) (TWA 8-10)
    WdL = Wissenschaft der Logik (TWA 5-6)
    VPhG = Vorlesungen über die Philosophie der Geschichte (TWA 12)
    PhRel I-II = Vorlesungen über die Philosophie der Religion (TWA 16-17)

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LoF dt = George Spencer-Brown: Gesetze der Form, Lübeck 1997

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in: Werke Band 1, Frankfurt am Main 1984; Link
zitiert werden die Paragraphen und nicht die Seitenzahl

WTLP = Ludwig Wittgenstein: Tractatus logico-philosophicus
in: Werke Band 1, Frankfurt am Main 1984; Link
zitiert werden die Aufzählungspunkte und nicht die Seitenzahl

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