Walter Tydecks

 

Das reale Maß – die Logik der chemischen Sphäre

– Kommentar zu Ulrich Ruschig Hegels Logik und die Chemie

Version 18.10.2014

Einleitung

Hegels Ausführungen zum realen Maß lassen die Grundlinien einer neuen, nicht-formalen Logik erkennen, die weder verwechselt werden darf mit späteren Entwürfen einer mehr-wertigen, »dialektischen« Logik – zum Beispiel von Gotthard Günther –, noch mit parakonsistenten Logiken. Hegel geht davon aus, dass die bestehenden Logiken am mechanischen Denken orientiert sind und entwirft die Idee, wie sie aufgehoben werden können in einer weiter reichenden Logik der chemischen Sphäre. Während in den traditionellen Logiken atomare Bestandteile definiert und äußerlich miteinander verknüpft werden, – so gelten Subjekt und Prädikat als kleinste Einheiten von Aussagensätzen, und es wird nach den Wahrheitsregeln ihrer Verknüpfung in den verschiedenen Arten von Urteilen gefragt –, und im weiteren die Verknüpfungen mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten relativiert werden können (Unsicheres Wissen, Fuzzylogik), sowie höherstufige Meta-Logiken diese Verknüpfungen ihrerseits als Elemente verstehen, zwischen denen Verknüpfungen erfolgen (also Verknüpfungen von Verknüpfungen, oder mathematisch gesprochen Funktionen von Funktionen), will Hegel nach dem Vorbild der sich zu seiner Zeit entwickelnden Chemie eine andere Art von Logik entwerfen, die die mechanische Logik als Grenzfall enthält. Dort wird unterschieden zwischen Wahlverwandtschaften miteinander reagierender Objekte, über die unterschiedliche Zustände eines zugrundeliegenden Substrats konstituiert werden. Jeder Zustand hat seine eigene Ordnung und seine eigene Stabilität, und kann entlang einer Knotenlinie in andere Zustände umschlagen.

Hegel entwickelt diese Logik jedoch nicht in einem zusammenhängenden Handbuch, das den früheren logischen Arbeiten etwa von Aristoteles oder später entstandenen Logiken in der Tradition von Frege vergleichbar ist, sondern in mehreren Schritten entlang seiner Wissenschaft der Logik. Er entwickelt noch nicht zusammenhängend eine neue nicht-mechanische Logik, sondern ich verstehe seine Wissenschaft der Logik so, dass er mit ihr eine Wissenschaft begründet hat, die in dieser Richtung tätig werden kann (auch wenn er selbst sicher der Überzeugung war, bereits ein abschließendes System vorgelegt zu haben). Der vorliegende Beitrag soll dieses Anliegen anhand Hegels Ausführungen zum realen Maß herausarbeiten, worauf sich weitere Beiträge zur Klärung elementarer Begriffe der Logik beziehen können. Das Ergebnis könnte in Zukunft eine andere Logik sein, in der die von Hegel insbesondere in den Kapiteln über das reale Maß und die Objektivität angedeuteten Grundlinien ausgeführt werden. In diesem Beitrag werden erste Thesen aufgestellt, welche neuen Begriffe hilfreich sein könnten (Analytizität, Auflösbarkeit).

Der Ausdruck »Logik der chemischen Sphäre« soll verdeutlichen, welche Schwierigkeiten und möglicherweise Missverständnisse damit verbunden sind. Gibt es in der Natur eine chemische Sphäre, die über eine eigene Logik verfügt, so wie zum Beispiel von der »Sprache der Blumen« gesprochen werden kann, und die zu erkennen und in Worte zu bringen Anliegen einer neuen Wissenschaft der Logik ist? Oder ist umgekehrt der menschliche Geist fähig, aus Betrachtung seiner eigenen transzendentalen Strukturen eine höhere Logik zu entwerfen, die nicht adäquat durch die mechanische Wissenschaft dargestellt werden kann, und für die er nun dank der neuen chemischen Experimente seit dem 18. Jahrhundert gleichsam das Illustrationsmaterial geschenkt bekommt, worauf er zur Darstellung seiner Ideen lange hatte warten müssen?

Die Idee einer Logik der chemischen Sphäre sieht sich beiden Vorwürfen ausgesetzt. Wer an Hegel die Geistesphilosophie schätzt, wird kaum verstehen, warum er in der Maßlogik so intensiv Beispiele aus der chemischen Wissenschaft heranzieht und keineswegs ausschließlich in illustrierende Anmerkungen verbannt. Daher werden diese Ausführungen und erst recht die später folgenden über den Chemismus von dieser philosophischen Richtung überwiegend schlicht ignoriert. – Und umgekehrt kann Hegel vorgehalten werden, er wolle schulmeisterlich von außen der Chemie sagen, wie sie denken könne und solle. Ihm kann vorgeworfen werden, dass er die experimentellen Leistungen der Chemie zu gering schätzt. Dieser Vorwurf sieht sich bestätigt, wenn später von vielen Hegelianern die »Realwissenschaft« als geringerwertig angesehen wird im Vergleich zum absoluten Wissen. – Eine solche kritische Haltung vertritt auch Ulrich Ruschig. Er ist dennoch in einer Weise von den Ergebnissen der hegelschen Ausführungen fasziniert, dass sein Kommentar tiefer als andere mir bekannte Arbeiten in die Ausführungen von Hegel eindringt und im folgenden zum Ausgangspunkt genommen wird.

Rückblickend muss gesagt werden, dass die von Hegel eingeführten Begriffe »chemische Sphäre« und »Chemismus« von der Philosophie nicht angenommen wurden. Auch der dialektische Materialismus hat sie ignoriert, obwohl Friedrich Engels zahlreiche Aussagen der chemischen Sphäre als »Gesetze« einer Dialektik der Natur versteht. Niemand spricht mehr von »chemischer Sphäre«, und »Chemismus« taucht bestenfalls als selten benutzter Fachbegriff in der Biologie, Medizin oder Ökologie auf. Sie scheinen völlig durch die Entwicklung einer wissenschaftlichen Chemie im 19. Jahrhundert überholt worden zu sein.

Für Hegel geht die chemische Sphäre aus der mechanischen Sphäre hervor und bedeutet einen notwendigen Vermittlungsschritt, um zur Sphäre des Lebendigen zu gelangen. Er ist damit wesentlich über Kant hinausgegangen, dem es noch unmöglich erschienen war, dass die Chemie jemals zu einer »eigentlichen Wissenschaft«, d.h. mathematik-fähig werden könne (Kant, MAN, AA 04: 471.05-10). Wenn mit Hegel der Logik der chemischen Sphäre nachgegangen wird, bedeutet das, dass nicht nur mit Kant der Monismus der Leibnizschen Monadologie überwunden wird, sondern auch Kants Dualismus. Kant hatte bereits 1746 in seiner ersten Veröffentlichung Gedanken von der wahren Schätzung der lebendigen Kräfte gegenüber Leibniz zwischen toten und lebendigen Kräften unterschieden und in weiteren Arbeiten nahegelegt, dass ihnen zum einen ein eindimensional verbleibender Verstand und zum anderen eine zu höheren Einsichten fähige Vernunft entsprechen, oder ein Dualismus zwischen der im Mechanischen verhafteten reinen Vernunft und eine darüber hinausgehende Urteilskraft, die zu Einsichten in das Organische fähig ist. Als Analogie diente ihm die physikalische Unterscheidung zwischen der dem Impuls zugrunde liegenden toten Kraft, die als ›m · v‹ gemessen wird, in der die Zeit mit ›v = t / s‹ eindimensional auftritt, und die der Energie zugrunde liegende lebendige Kraft durch das Maß ›m · v2, in der die Zeit quadratisch, also in einer höheren Dimension auftritt.

Obwohl Hegel mit der chemischen Sphäre diesen Dualismus im Prinzip aufgebrochen hat, fällt er dennoch immer wieder in das dualistische Denken zurück, wenn er zwischen dem endlichen Verstand und der »höheren« Vernunft unterscheidet. Daher konnte den Lesern Hegels die weitreichende Bedeutung der chemischen Sphäre verborgen bleiben. Bonsiepen fasst es in einem Satz zusammen: »Insgesamt ist festzuhalten, daß Hegel zu keiner positiven Aufnahme der neueren Chemie gelangt, obwohl er die zeitgenössischen Entwicklungen verfolgt« (Bonsiepen, S. 536).

Demgegenüber eröffnet nach meiner Überzeugung die chemische Sphäre einen neuen Horizont. Um das zu verstehen ist zunächst zu entwickeln, was mit chemischer Sphäre gemeint ist und dann in weiteren Beiträgen zu zeigen, wie auch die anderen philosophischen Begriffe im Licht der chemischen Sphäre neu gedeutet werden können. Das wird exemplarisch am Begriff der Trägheit und dort weiterführend am Begriff der Zeit ausgeführt, sowie in weiteren Beiträgen zum Chemismus und zur Teleologie (in Vorbereitung), d.h. zu den drei Kapiteln über die Objektivität in Hegels Wissenschaft der Logik.

Heute wird dagegen in Kants Tradition das mechanische Denken oder das mechanische Weltbild direkt mit dem organischen oder dem holistischen Denken konfrontiert. Daher scheint es heute eine Alternative zu sein, sich entweder für das eine oder das andere entscheiden zu müssen. Das führt in der Tendenz dazu, das mechanische Weltbild völlig abzulehnen und das holistische Weltbild zu verklären.

Ohne Zweifel ist eine Kritik des mechanischen Denkens notwendig, aber sie soll auf eine Weise erfolgen, die im Ergebnis das mechanische Denken nicht einfach für rundum falsch erklärt, sondern in der Lage ist, seine Leistungen im positiven Sinn aufzuheben. Andernfalls droht bei aller Kritik am mechanischen Denken ein Rückfall auf Positionen des Aberglaubens und Irrationalismus, gegen die sich das mechanische Denken ursprünglich zurecht entwickelt hatte.

Ohne Kritik an der Willkür und den Absonderlichkeiten des mittelalterlichen Analogie-Denkens hätte die neuzeitliche Naturwissenschaft nicht entstehen können und wäre gegenüber weltabgewandten Weltanschauungen in einer hilflosen Position geblieben. Erst nachdem es ihr gelungen war, sich innerlich zu festigen, konnte in einem weiteren Schritt in einem Gegenzug eine Selbstüberprüfung des mechanischen Denkens erfolgen, mit der verschiedene Ideen des zuvor kritisierten Analogie-Denkens neu aufgegriffen werden. Die Logik der chemischen Sphäre hat die Aufgabe, das zu leisten, ohne in Positionen des vor-aufklärerischen Denkens zurückzufallen.

Mit der Logik der chemischen Sphäre erfolgt gewissermaßen ein kontrollierter Bruch des geschlossenen mechanischen Systems. Der klassische Begriff des mechanischen (dreidimensionalen, starren) Gegenstands muss ebenso aufgegeben und durch den Begriff des Substrats ersetzt werden, wie sich weder ein rein beschreibendes (qualitatives, deskriptives, analytisches) noch ein rein messendes (quantitatives, formales, konstruktives) Denken halten lässt. Ihre Methoden erweisen sich als gebunden an den mechanischen Kontext.

Das ist die Aufgabenstellung, um die es im Kapitel über das reale Maß geht. Statt von Analogien spricht Hegel von Wahlverwandtschaften und übernimmt damit einen Fachbegriff aus der sich zu seiner Zeit neu begründenden Chemie. Stoffe sind miteinander wahlverwandt, wenn sie zu gemeinsamen Reaktionen neigen. Wahlverwandtschaften können sich wiederum ihrerseits bei Veränderung der Rahmenbedingungen wandeln, wobei es Phasen stabiler Wahlverwandtschaften und qualitativer Sprünge gibt.

Hegel hat diese Frage in die Wissenschaft der Logik aufgenommen. Er erkennt, dass alle überlieferten formalen Systeme an der Mechanik orientiert waren. Sie operieren mit autonomen, frei beweglichen Bausteinen. Sie gehen von unveränderlichen letzten Bausteinen aus. Diese können zwar ihre Eigenschaften verändern, aber nicht direkt miteinander reagieren und sich ineinander verwandeln, sondern einander nur berühren. Es ist nur ein äußerlicher Übergang vom einen zum anderen möglich.

Dagegen entwickelt sich in der chemischen Sphäre ein System von Beziehungen (Familienähnlichkeiten). Beziehungen können enger oder lockerer sein, und das Beziehungsgeflecht im Ganzen kann sich entlang von Knotenlinien verändern. Hegel will nicht die chemische Sphäre äußerlich neben die mechanische Sphäre stellen und insofern dann doch wieder dem äußerlichen, mechanischen Denken verfallen bleiben, sondern er zeigt, wie die mechanische Sphäre von sich aus in die chemische Sphäre führt. Er fragte, wie unter solchen Verhältnissen eine Wissenschaft der Logik möglich bleibt, ohne in die Beliebigkeit des früheren Analogie-Denkens zurückzufallen.

(1) In diesem Beitrag sollen in einem ersten Schritt die von Hegel herangezogenen chemischen Modelle aus heutiger Sicht dargestellt werden. Hier kann ausgegangen werden von dem ausführlichen Kommentar, den Ulrich Ruschig 1997 veröffentlicht hat (im folgenden zitiert als "R"). Das ist meines Wissens bisher die einzige Ausnahme, in der Hegels Ausführungen zur Chemie angemessen gewürdigt werden. Er ist bis ins Detail dem Stand der chemischen Forschung nachgegangen, von dem Hegel ausgehen konnte, und hat das von Hegel aufgenommene Material entsprechend dem heute erreichten Wissen präsentiert. 2012 ist von ihm eine weitere Arbeit erschienen, in der er den Schwerpunkt auf die Tonverhältnisse in der Musik legt. Auch wenn Hegel von »chemischer« Sphäre spricht, meint er damit nicht nur die Chemie, sondern alle Objekte, die wesentlich durch ihre Verwandtschafts-Verhältnisse bestimmt sind (vgl. HW 6.429, zitiert bei Ruschig 2012, S. 112).

(2) Während Hegel für die begriffliche Darstellung der Wahlverwandtschaften und Knotenlinien auf chemische Modelle zurückgreifen konnte, war ihm das bei Einführung des Begriffs des Maßlosen nur noch bedingt möglich. Das Kapitel über das Maßlose fällt entsprechend kurz und komplex aus. Im zweiten Schritt dieses Beitrags soll daher der von Hegel eingeführte diffizile Unterschied zwischen dem »abstrakt Maßlosen« der Knotenlinie und der »bloßen Ordnung« des Maßlosen am Beispiel der Quantenmechanik erläutert werden. Mit diesem Beispiel wird wesentlich klarer, warum das Verhältnis von Maß und Maßlosem nicht einfach das Verhältnis der endlichen und wahren Unendlichkeit auf einer neuen Ebene wiederholt, sondern aus der Logik der Übergänge (Lehre des Seins) hinausführt in die Logik der Relationen (Lehre des Wesens).

(3) Im dritten Schritt soll angedeutet werden, wie sich die chemische Sphäre auflöst. Erst hier zeigt sich, ob die Logik der chemischen Sphäre erfolgreich war. Nur wenn innerhalb der chemischen Sphäre auf geeignete Weise eine Ordnung gefunden werden kann, die im Moment der Auflösung in einer Weise in innere Faktoren zerlegt werden kann, dass sich der Indifferenzpunkt der Auflösung als Ausgleich der inneren Faktoren verstehen lässt, dann geht die chemische Sphäre nicht einfach spurlos unter, sondern kann übergehen in eine andere Sphäre. (Es ist eine der Aufgaben einer ausgearbeiteten Logik der chemischen Sphäre, die Eigenschaft der Auflösbarkeit genauer zu bestimmen. Vorbild kann der von Galois eingeführte Begriff der auflösbaren Gruppe sein. Weiter ist das Verhältnis der beiden Begriffe »Aufhebung« und »Auflösung« zu klären. Mir scheint die Aufhebung wiederum ein Grenzfall der Auflösung zu sein.)

Abschließend ein einleitendes Wort zum Begriff des Maßes bei Hegel. Hegel führt den Begriff ein, indem an den »Etwas – geläufiger: Dinge(n)« (HW 5.412) Maß genommen wird. Jedes Ding hat sein natürliches Maß. Das Maß eines Dinges ist seine natürliche Größe, die sich positiv von allen Abweichungen unterscheidet. Das kann die Größe und Lebensdauer eines Baumes sein, die von der Architektur berücksichtigten Maße bei einem Bauen, das dem Menschen angemessen ist, die Maße der Lebensführung oder der politischen Gestaltung. In der Realität werden aber die Dinge meist nicht so vorgefunden, wie sie ihrem natürlichen Maß entsprechen würden, sondern in der einen oder anderen Anpassung an ihre Umgebung oder auch Verzerrung. Erst wenn es gelingt, etwas nicht nur so zu sehen, wie es im Moment da ist, sondern sein ihm angemessenes Maß zu erkennen, ist das natürliche Maß gefunden. Es muss daher gelingen, etwas in einem übergreifenden Horizont zu sehen, der sowohl das Maß wie das Verfehlen des Maßes übersieht. Hegel spricht von »negativer Einheit«, die sowohl das Maß wie das Verfehlen des Maßes umfasst und das Maß gleichermaßen von innen und von außen sieht (HW 5.411).

So gesehen bildet sich ein Maß nicht einfach, indem etwas für sich ruhend und für sich allein sein natürliches Maß findet, sondern indem es den Dingen gelingt, in einen angemessenen Ausgleich mit ihrer Umgebung zu kommen. Das ist für Hegel der Übergang vom natürlichen Maß zum realen Maß: Das reale Maß ergibt sich, wenn unterschiedliche Dinge entsprechend ihren jeweils eigenen natürlichen Maßen zueinander ins rechte Maß kommen. Sie müssen in gewisser Weise zusammengehören und zueinander passen. Hegel bezeichnet das im Sprachgebrauch der romantischen Naturphilosophie als »Wahlverwandtschaft«. Ein reales Maß kann nur zwischen zwei Dingen bestehen, die miteinander wahlverwandt sind.

Chemische Modelle

Ausgehend vom heutigen Wissensstand vermag Ruschig die von Hegel herangezogenen chemischen Modelle wesentlich klarer darzustellen. Inhaltlich geht es vor allem um vier Schritte: (1) Für jeden Stoff wird untersucht, mit welchen anderen Stoffen er reagiert. Wahlverwandtschaften. (2) Trifft ein Stoff auf zwei oder mehrere wahlverwandte Stoffe, dann setzt sich der reaktionsstärkste von ihnen durch und verdrängt die anderen. Ist diese Kraft der Verdrängung eine eigenständige Qualität? Kann der Anteil (die Konzentration) eines reaktionsschwächeren Stoffs am Gemisch kontinuierlich so lange erhöht werden, bis eine Reaktion mit ihm zustande kommt? Hegel ist von beidem überzeugt und sieht bei Veränderung der Zusammensetzung des Gemischs dieses in unterschiedliche Zustände zerfallen, die durch Knoten getrennt sind. In jedem Zustand kommt es gemäß seiner spezifischen Zusammensetzung zu unterschiedlichen Reaktionen. (3) Der Begriff der Zustände wird erweitert auf die Aggregat-Zustände, wie sie am Beispiel des Wassers bekannt sind (Eis, Flüssigkeit, Dampf). Hier wird nicht der Anteil eines Stoffes erhöht, sondern die Temperatur. (4) Das Beispiel der Temperaturerhöhung führt zur Idee der Maßlosigkeit, wenn die Temperatur so stark erhöht wird, dass sich der Stoff völlig auflöst und zerstört wird. Ruschig ergänzt weitere Beispiele.

Wahlverwandtschaften

Experimentell kann beobachtet werden, mit welchen anderen Stoffen ein bestimmter Stoff reagiert. Die Ergebnisse werden in Reaktionsgleichungen aufgeschrieben. Ruschig findet bei Hegel drei wichtige Beispiele.

Neutralisationen der Schwefelsäure

Schwefelsäure kann durch Natronlauge, Kalk, Magnesia oder Ammoniak neutralisiert werden. Hier gelten jedoch unterschiedliche Massenrelationen. »1000 g Schwefelsäure werden durch 816 g Natronlauge oder 572 g Kalk oder 408 g Magnesia oder 714 g Ammoniak neutralisiert« (R, S. 83). Hegel kannte noch nicht die Molekül-Darstellung der Stoffe und ihre Summenformeln. Mit ihnen lassen sich die Reaktionen übersichtlich aufschreiben:

H2SO4 + 2 NaOH → 2 H2O + Na2SO4

lies: 1 Mol Schwefelsäure und 2 Mol Natronlauge ergibt 2 Mol Wasser und 1 Mol Natriumsulfat

H2SO4 + {Mg} → MgSO4 + H2

lies: 1 Mol Schwefelsäure und Magnesium ergibt 1 Mol Magnesiumsulfat und 1 Mol molekularen Wasserstoff

H2SO4 + CaCO3 → H2O + CO2 + CaSO4

lies: 1 Mol Schwefelsäure und 1 Mol Kalk (Calciumcarbonat) ergibt 1 Mol Wasser und 1 Mol Kohlenstoffdioxid und 1 Mol Calziumsulfat

H2SO4 + 2 NH3 → (NH4)2SO4

lies: 1 Mol Schwefelsäure und 2 Mol Ammoniak ergibt 1 Mol Ammoniumsulfat

Mit der Molekül-Darstellung lassen sich die Massenrelationen bestimmen (siehe z.B. den Molekulargewicht-Rechner von Tobias Schmidt). Schwefelsäure hat das Molekulargewicht 98 (2 x Wasserstoff mit Atomgewicht 1, 1 x Schwefel mit Atomgewicht 32, 4 x Sauerstoff mit Atomgewicht 16). Natronlauge hat das Molekulargewicht 40, so dass 1000 g Schwefelsäure mit 816 g Natronlauge reagieren. Dies stimmt mit dem von Ruschig genannten Wert überein. In den anderen Fällen ergeben sich dagegen Abweichungen: 1000 g Schwefelsäure reagieren mit 245 statt 408 g Magnesium, 1021 statt 572 g Kalk und 348 statt 714 g Ammoniak.

Reaktionen mit Natronlauge

Umgekehrt kann untersucht werden, was geschieht, wenn unterschiedliche Säuren mit einer bestimmten Lauge zusammengebracht werden. Nicht nur die Schwefelsäure reagiert mit Natronlauge, sondern auch die Salzsäure:

HCl + 2 NaOH → 2 H2O + NaCl

lies: 1 Mol Salzsäure und 1 Mol Natronlauge ergibt 2 Mol Wasser und 1 Mol Kochsalz

Reaktionen des Löschkalk

Ein weiteres Beispiel ist der Löschkalk (Calciumhydroxid). In diesem Fall gibt Ruschig die Reaktionsgleichungen (siehe R, S. 164):

Ca(OH)2 + CO2 ⇄ CaCO3 + H2

lies: 1 Mol Löschkalk und 1 Mol Kohlenstoffdioxid ergeben 1 Mol Calciumcarbonat und 1 Mol molekularen Wasserstoff

Ca(OH)2 + 2 HCl ⇄ CaCl2 + 2 H2O

lies: 1 Mol Löschkalk und 2 Mol Chlorwasserstoff ergeben 1 Mol Calciumchloridund 2 Mol Wasser

Ca(OH)2 + H2SO4 ⇄ CaSO4 + 2 H2O

lies: 1 Mol Löschkalk und 1 Mol Schwefelsäure ergeben 1 Mol Calciumsulfat und 2 Mol Wasser

Mit Reaktionsgleichungen werden die Ergebnisse chemischen Experimentierens protokolliert. Sie zeigen, welche Stoffe miteinander reagieren und welche Massenverhältnisse auftreten. Zum Beispiel reagiert in der ersten Zeile ein Mol Löschkalk mit einem Mol Kohlenstoffdioxid, dagegen in der zweiten Zeile ein Mol Löschkalk mit zwei Mol Chlorwasserstoff. In allen Fällen, in denen es zu einer Reaktion kommt, wird von Wahlverwandtschaft gesprochen. Die jeweiligen Stoffe ziehen sich an, finden zueinander und reagieren miteinander.

Diese Art der Reaktionsgleichungen heben die Summenformeln hervor. Sie zeigen, wie in der Reaktion zweier oder mehrerer Stoffe Atome aus den jeweiligen Molekülen ausgetauscht und aus ihnen neue Stoffe gebildet werden. Die experimentell beobachteten Massenverhältnisse in Mol können erklärt werden aus den zugrundeliegenden Verhältnissen der Atome in den beteiligten Molekülen. Zum Beispiel muss ein Mol Löschkalk mit zwei Mol Chlorwasserstoff reagieren, damit im Ergebnis Calciumchlorid entstehen kann, das zwei Chlor-Atome enthält.

Dieser Prozess wird seit der Formulierung des Pauli-Prinzips von 1924, wonach nicht mehr als zwei Elektronen ein Orbital besetzen können, nochmals genauer beschrieben als Reaktion der Ionen, aus denen sich die Moleküle zusammensetzen. Die in den Molekülen enthaltenen Atome werden aufgeteilt in Atomkerne (aus Neutronen und Protonen) und Elektronen, und die Elektronen werden wiederum gruppiert in Elektronenorbitale. Ist das äußerste Elektronenorbital teilweise unbesetzt, dann kann es zu einem Austausch kommen, bei dem ein einsames Elektron von einem Stoff sich mit dem einsamen Elektron eines anderen Stoffs zusammenschließt und dadurch ein stabilerer Zustand erreicht wird, in dem alle Elektronenorbitale voll besetzt sind. So wird z.B. die Neutralisierung von Schwefelsäure und Natronlauge aufgeteilt in eine Reaktion der jeweiligen Ionen.

Die Schwefelsäure H2SO4 setzt sich zusammen aus den Ionen 2 H+ und SO4-.
Die Natronlauge NaOH setzt sich zusammen aus den Ionen Na+ und OH-

Daraus ergibt sich die verfeinerte Reaktionsgleichung:

{2 H+ + SO4-} + {2 Na+ + 2 OH-} → 2 {H2O} + {2 Na+ + SO4-}

An dieser Gleichung ist zu erkennen, wie nicht die Atome ausgetauscht wurden, sondern sich die auf der linken Seite der Gleichung aufgeschriebenen Ionen neu miteinander kombiniert haben. Das SO4--Ion hat seine Verbindung mit den H+-Ionen verlassen und zum Na+-Ion gefunden. Die dadurch frei werdenden Ionen haben sich ihrerseits zu Wassermolekülen zusammengeschlossen. Diese Darstellung kommt dem literarischen Vorbild von Goethe wesentlich näher, bei dem sich zwei Paare treffen und wechselweise ihre Partner tauschen.

Bei genauerer Untersuchung kann die Reaktionsgleichung weiter zerlegt werden (vgl. chemie-master), doch ändert sich gegenüber Hegel nichts an der grundlegenden Idee der Wahlverwandtschaft. Niemand kann ausschließen, dass in der Zukunft nochmals eine Stufe tiefer erklärt werden kann, warum das Pauli-Prinzip gilt und dann der Ablauf bei chemischen Reaktionen weiter zerlegt werden kann in Teilprozesse. Das wird nichts am Prinzip ändern, um das es Hegel geht: Die Natur ist polar aufgebaut, wodurch es zu Anziehungskräften (Affinität, Wahlverwandtschaft) kommt.

Knotenlinien

Knotenlinien von Konzentrationen eines Stoffs in Gemischen

Hegels Ausführungen über Knotenlinien sind heutzutage nicht einfach zu verstehen, da sich hier besonders stark spätere naturwissenschaftliche Erkenntnisse hineindrängen. Auch der Kommentar von Ruschig muss daher in die verschiedenen angesprochenen chemischen Modelle auseinander gelegt werden.

Hegel hat das Bild der Knotenlinien von den Chladnischen Klangfiguren übernommen, und der Ausdruck »Knotenlinien« wird bis heute vor allem benutzt, um zweidimensionale Wellenmuster zu beschreiben, bei denen es zu typischen Knotenbildungen der Wellenzüge kommt.

Chladnische Klangfiguren

Figur 1: Chladnische Klangfiguren
»Chladnische Klangfiguren sind Muster, die auf einer mit Sand bestreuten dünnen Platte (am besten aus Metall) entstehen, wenn diese in Schwingungen versetzt wird. Dieses geschieht, indem die Platte an einer Kante mit einem Geigenbogen bestrichen oder einer schwingenden Stimmgabel berührt wird«. Sie wurden erstmals 1787 von Ernst Florens Friedrich Chladni (1756-1827) in seinem Werk Entdeckungen über die Theorie des Klanges veröffentlicht und gelten bis heute in der Atomphysik als eins der besten Mittel, das Verhalten mehrdimensionaler Wellen zu veranschaulichen. Wikipedia

An den Knotenlinien ist für Hegel zunächst einmal wichtig, dass mit ihnen ein  zweidimensionaler  Sachverhalt beschrieben werden kann, der auf zwei voneinander unabhängigen Qualitäten beruht. Seine Ausgangsfrage war, warum die Wahlverwandtschaften unterschiedlich stark sind. Zum Beispiel sagen die Chemiker, dass Schwefelsäure aus Kochsalz Salzsäure verdrängt, aber Salzsäure kann nicht aus Glaubersalz Schwefelsäure verdrängen (R, S. 132). Dies ist ein Sonderfall, der zeigt, wie komplex die Sachverhalte sein können. Kochsalz NaCl und Glaubersalz Na2SO4 reagieren sowohl mit Schwefelsäure wie auch mit Salzsäure und sind daher mit beiden wahlverwandt. Aber obwohl Salzsäure die stärkere Säure ist (ihre Säurekonstante, der pKS-Wert ist −6 gegenüber −3 der Schwefelsäure), setzt sich die Schwefelsäure durch. Das liegt in diesem untypischen Fall daran, dass die Salzsäure flüchtiger ist und daher eher entweicht als die Schwefelsäure. In diesem Einzelfall ist die Flüchtigkeit die von der Wahlverwandtschaft unabhängige zweite Qualität, warum einer der beiden Stoffe reaktionsstärker als der andere ist.

Ein typischer Fall sind dagegen die Reaktionen des Löschkalks Ca(OH)2. Der Löschkalk kann u.a. mit Kohlenstoffdioxid CO2 und mit Schwefelsäure H2SO4 reagieren, ist also mit beiden wahlverwandt. In beiden Fällen gibt es aufgrund der unterschiedlichen Molekulargewichte jeweils bestimmte Massenrelationen (Äquivalentgewichte) für die Reaktion. Die Massenrelationen legen fest, wie groß die Mengen sein müssen, wenn die Stoffe im Verlauf der Reaktion vollkommen aufgebraucht werden sollen. Aber mit den Massenrelationen lässt sich nicht die Frage beantworten, welcher Stoff reaktionsstärker ist und sich daher durchsetzt. Dafür ist eine zweite Eigenschaft notwendig. Dies ist nach neuerer Erkenntnis die Freie Bindungsenthalpie der entstehenden Stoffe, das sind in diesem Beispiel Calciumsulfat CaSO4 bzw. Calciumcarbonat CaCO3. Es wird sich die Reaktion durchsetzen, deren Endprodukte eine größere Freie Bindungsenthalpie haben. Das ist angesprochen, wenn Ruschig schreibt:

»Das Verhältnis der Freien Bindungsenthalpien von CaSO4 und CaCO3 ist nicht gleich dem Verhältnis der diese Verbindungen herstellenden Äquivalente von H2SO4 und CO2; reagiert Ca(OH)2 mit einer Mischung von H2SO4 und CO2, so ist das Gleichgewicht nicht durch jenes der Äquivalentgewichte bestimmt« (R, S. 170f).

Die Freien Bindungsenthalpien können aus Tabellen abgelesen werden (z.B. Wikibooks) und betragen für Calciumsulfat −1320,5 kJ/mol und für Calciumcarbonat 1128,8 kJ/mol. Die Säurekonstante wird mithilfe der Freien Bindungsenthalpie berechnet. Zusammenfassend schreibt Ruschig:

»Dann aber muss eine von den Massenrelationen spezifisch unterschiedene und nicht aus ihnen entwickelbare Qualität existieren, welche die Rangfolge unter den Affinitäten / Wahlverwandtschaften regelt. Diese Qualität kann quantifiziert werden: Die Freie Bindungsenthalpie ist das Maß, das angibt, welche Reaktionen bevorzugt oder benachteiligt sind und in welchem Ausmaß Bevorzugungen bzw. Benachteiligungen stattfinden« (R, S. 172).

Was die Freie Enthalpie bedeutet, wird weiter unten näher ausgeführt. Hier genügt die Erkenntnis, dass mit ihr eine unabhängige Qualität gefunden ist, mit der das Maß der Wahlverwandtschaft erklärt werden kann. Das Beispiel von Schwefelsäure und Salzsäure zeigt weiter, dass es Ausnahmesituationen geben kann, in denen andere Eigenschaften dominieren.

Zum zweiten stellt sich die Frage, ob es möglich ist, bestimmte Bedingungen zu ändern, so dass der vorher reaktionsschwächere Stoff zum reaktionsstärkeren werden kann. Das kann am einfachsten dadurch erreicht werden, dass der Anteil des reaktionsschwächeren Stoffs kontinuierlich erhöht wird, bis das Reaktionsverhalten umschlägt und der schwächere Stoff sich aufgrund seiner größeren Präsenz durchsetzen kann. Hegel bezeichnet die kontinuierliche Veränderung eines Parameters als Knotenlinie. Wenn es im Verlaufe dieser Veränderung zu qualitativen Sprüngen kommt, ergeben sich Knoten, durch die unterschiedliche Zustände voneinander getrennt sind.

Hegel wusste nicht, welche Kraft es ist, die den Übergang von einem Zustand in den nächsten entlang einer Knotenlinie bewirkt. Es genügt ihm, einen grundsätzlichen Ansatz zu finden, um rein algebraisch aus den Messergebnissen die Zweidimensionalität der Ordnungsstruktur zu erkennen. Diese Frage wurde zu seiner Zeit intensiv und konträr diskutiert. Viele Chemiker glaubten, dass es die gleiche Qualität sei, die sowohl zu einer Wahlverwandtschaft wie auch zum Umschlag von einer Wahlverwandtschaft in eine andere führen kann. Hegel erkannte, dass dies buchstäblich "rein logisch" nicht möglich ist. Etwas kann nicht zugleich eine Qualität (die Wahlverwandtschaft) und den Übergang von einer Qualität in eine andere (die Kraft, die entlang der Knotenlinie an bestimmten Stellen Knoten bildet) bestimmen. Dieser Ansatz ist im weiteren von der naturwissenschaftlichen Forschung voll bestätigt wurden, als erkannt wurde, worin der Grund der Umschläge besteht (die Entropie, siehe dazu weiter unten).

Sein Kapitel über Knotenlinien hat daher weit grundsätzlichere Bedeutung. Es zeigt, wie in einer unübersichtlichen Fülle von Mess-Ergebnissen dadurch Ordnung geschaffen werden kann, dass voneinander unabhängige Kräfte erkannt und entkoppelt werden. Er hat damit das Modell der mechanischen Freiheitsgrade (drei Raumrichtungen und drei Drehachsen) übertragen auf die Suche nach Symmetrien in nicht-mechanischen Naturwissenschaften wie der Chemie. Das ist bis heute die Vorgehensweise der Naturwissenschaft und hat sich in der Quantenmechanik völlig durchgesetzt.

Unabhängig davon, wie diese – Hegel noch unbekannte – Eigenschaft genau aussieht, hat Ruschig den grundsätzlichen Punkt getroffen, um den es Hegel geht. Er bemerkt, dass Hegel eine heute kaum mehr gebräuchliche und daher meist überlesene Formulierung wählt, die aus der Webtechnik übernommen ist. Wenn Hegel davon spricht, »das ausschließende, negative Verhalten leidet zugleich diesen Eintrag von der quantitativen Seite her« (HW 5.422, zitiert R, S. 179), erläutert Ruschig:

»Das anschauliche Bild für die Metapher 'Eintrag erleiden' stammt aus der Weberei. Demgemäß ist die qualitative Seite ('das ausschließende, negative Verhalten') von der quantitativen durchwirkt, welche als querliegender Faden das Gewebe durchschießt« (R, S. 180).


Kette und Schuss

Figur 2: Kettfaden (1) und Schussfaden (2)
»Die Kettfäden (auch Kette, Zettel, Aufzug, altertümlich Werft genannt) sind die Fäden, die in der Weberei in einem Webstuhl in Längsrichtung aufgespannt werden. Im fertigen Gewebe liegen sie parallel zur Webkante, während die Schussfäden quer dazu verlaufen« (Wikipedia).

Mathematisch gesprochen sind die Wahlverwandtschaften und der Übergang von einer Reaktion zu einer anderen voneinander unabhängig und bilden ein Kreuzprodukt. Sie lassen sich nicht auf eine gemeinsame Einheit zurückführen, sondern spannen eine zweidimensionale Fläche auf. Hierfür ist das Bild des Webens ausgesprochen anschaulich, in dem Kettfaden und Schussfaden in zwei voneinander unabhängigen Richtungen geküpft sind.

Säure-Lauge-Titration

Noch elementarer ist das Beispiel, wenn in einem Säure-Lauge-Gemisch tröpfchenweise der Anteil der Säure bzw. der Lauge erhöht wird. In diesem Fall kommt es zu markanten Umschlagpunkten, an denen sich die Farbe des Gemischs ändert. Der Umschlag der Farbe ist das Vorbild, an dem der Begriff des Umschlags von Quantität in Qualität gefunden wurde (siehe hierzu R, S. 252ff).


Farbumschläge

Figur 3: Ph-Indikatoren und ihre Farbskala
Wird einer Lauge tröpfchenweise eine Säure zugeführt (Säure-Base-Titration), verändert sich das Maß des sauren Charakters (ph-Wert). Der Farbumschlag liegt in den Bereichen des senkrechten Verlaufs des Äquivalenzpunktes. Sein Wert gilt spezifisch für die jeweiligen Stoffe. Bei Zuführung von Lackmus (Lackmus-Test) ändert sich die Farbe von rot nach blau, bei Zuführung von Methylorange von rot nach orange usw. Wikipedia

Die Ursachen für den Farbumschlag sind äußerst komplex. Das ist schon daran zu erkennen, dass die hier genannten ph-Indikatoren ihrerseits sehr komplex sind. Zum Beispiel ist Lackmus seinerseits ein Stoffgemisch aus 10 - 15 Komponenten.

Aggregat-Zustände des Wasser (Temperaturänderungen)

Etwas überraschend wechselt Hegel von den Wahlverwandtschaften der Chemie zu den Aggregat-Zuständen des Wassers. Beide Phänomene galten jedoch seinerzeit als verwandt, wie Ruschig anhand eines Zitats von Berzelius belegt. Berzelius schreibt auf den einleitenden Seiten seines Lehrbuch der Chemie:

»Diese Verwandtschaften sind von doppelter Art. Die eine, kraft welcher die kleinsten Teilchen (Moleküle) der Körper unter einander zusammenhängen, nennt man  Zusammenhangs-Verwandtschaft  oder  Cohäsionskraft. ... Die andere Art der Verwandtschaft heißt  Vereinigungs-Verwandtschaft« (Berzelius, Lehrbuch der Chemie, Bd. 1, Dresden 1825, S. 3f, zitiert R, S. 285).

Die Wahlverwandtschaften sind ein anderer Name für die Vereinigungs-Verwandtschaft. Die Aggregat-Zustände des Wassers sind das wichtigste Beispiel für die Zusammenhangs-Verwandtschaft. Im Eis sind alle Teile starr aneinander gebunden. In der Flüssigkeit gibt es einen lockeren Verband, durch den ein innerer Zusammenhang und nach außen eine Oberfläche gebildet wird. Beim Dampf ist freie Beweglichkeit und Unabhängigkeit gegeben. So hat jeder Aggregat-Zustand seine eigene Zusammenhangs-Intensität, die sich mit dem Wechsel der Aggregat-Zustände schlagartig ändert.

Ruschig kritisiert die Darstellung bei Hegel und fasst sie genauer. Der Grundgedanke von Hegel wird jedoch meiner Meinung nach dadurch nicht geändert.

»So resultiert bei kontinuierliche Wärmezufuhr eine Funktion, die streng monoton wachsend ist. Hingegen zeigt die Temperaturkurve in Abhängigkeit von der Zeit einen Knick (eine nicht differenzierbare Stetigkeitsstelle) am Kochpunkt, jedoch keinen Sprung, während andere Eigenschaften wie Dichte, Brechungsindex etc dort eine Unstetigkeitsstelle besitzen« (R, S. 286). »Die kontinuierliche Veränderung selbst (die Zufuhr von Wärme und dadurch verursacht das kontinuierliche Ansteigen des Dampfdrucks) enthält schon die beiden Qualitäten (die neue Qualität, der gasförmige Zustand, tritt eben nicht erst am Kochpunkt ein). ... Die Bewegung eines Moleküls im Flüssigkeitsverband ist durch seine kinetische Energie und die Van-der-Wals-Kräfte zu den umgebenden Molekülen bestimmt. ... Die Auflösung des Flüssigkeitsverbandes ist der 'Sprung'« (R, S. 287).

Heute können die Grenzübergänge wesentlich genauer beschrieben werden. Beim Schmelzen gibt es einen Moment, in dem sich zwar der Zustand von fest in flüssig ändert, jedoch die kinetische Energie noch nicht erhöht wird. Die Wassermoleküle befinden sich bereits in einem neuen Zustand des Zusammenhangs, nutzen ihn aber noch nicht. Experimentell konnte die Schmelzwärme (Schmelzenthalpie) gemessen werden, die für diesen Teilschritt notwendig ist, um Bindungskräfte zwischen Molekülen bzw. Atomen zu überwinden, aber die kinetische Energie noch nicht zu erhöhen. Das erklärt, warum umgekehrt im gleichen Betrag eine Erstarrungswärme abgegeben wird, wenn ein Körper kristallisiert. Dadurch kann beim Vereisen kurzzeitig die Umgebung erwärmt werden, was z.B. von Pflanzen genutzt wird, wenn sie entsprechende Bedingungen herstellen und dadurch eine lokale Wärme erzeugen.

Im flüssigen Zustand bestehen Van der Wals Kräfte. Innerhalb der Moleküle sind die Elektronen nicht völlig symmetrisch verteilt, weswegen die Moleküle an der Oberfläche eine elektrische Ladungsverteilung aufweisen und sich entsprechend gegenseitig anziehen und einen lockeren Verband bilden.

Energie und Entropie

Die chemischen Modelle haben eine Gemeinsamkeit: In allen Fällen gibt es lange Phasen, in denen sich eine bestimmte Ordnung erhält, obwohl kontinuierlich ein Stoff oder Energie zugeführt wird, bis in einem Sprung eine neue Ordnung an ihre Stelle tritt. Mit jeder Ordnung werden bestimmte Kräfte wirksam, die sich erst jetzt innerhalb dieser Ordnung entfalten können und ihrerseits durch eine Barriere gegen Auflösung geschützt sind. So gesehen ist für jede Ordnung eine bestimmte Kraft spezifisch, die nur unter diesen Bedingungen dominieren kann und ein lokales Gleichgewicht herstellt.

Systemzustände dieser Art werden systematisch von der Thermodynamik untersucht. Unter diesem Gesichtspunkt kann Hegel neu interpretiert werden.

Gibbs-Energie (Freie Enthalpie, Gibbs-Helmholtz-Energie)

Was ist die Freie Enthalpie bzw. Enthalpiedifferenz? Bereits das scheinbar einfache Beispiel der Wassererwärmung zeigt die Schwierigkeit zu verstehen, was Enthalpie ist. Was bedeutet die Aussage, dass dem Wasser »Wärme zugeführt« wird, bis es schmilzt bzw. im nächsten Sprung verdampft? Es gibt drei völlig verschiedene Verfahren, und mit der Enthalpie soll das Gemeinsame erkannt werden: (a) Dem flüssigen Wasser kann Dampf zugeführt werden, d.h. Wasser, das heißer als 100° ist. Dadurch entsteht ein Gemisch aus Wassermolekülen unterschiedlicher Temperatur, das sich auf einer mittleren Temperatur ausgleicht. Die Wassermenge ist vergrößert worden, und die am Ende erreichte Durchschnittstemperatur der größeren Wassermenge liegt über 100°, weswegen das Wasser im Ganzen verdampft. (b) Eine nicht aus Wasser bestehende Grenzfläche zum Wasser, z.B. das Metall eines Kochtopfs, kann erhitzt werden. Dadurch kommt es zu Schwingungen des Metalls. Das schwingende Metall vermischt sich nicht mit dem Wasser, aber es bringt das angrenzende Wasser ebenfalls zum Schwingen. Die Wassermenge wird nicht wie im vorher genannten Fall erhöht, aber durch die Schwingungen der Wassermoleküle wird deren kinetische Energie so weit erhöht, bis die Van-der-Waals-Kräfte überwunden sind, die den Flüssigkeitsverband des Wassers hergestellt haben. Daher verdampft das Wasser. (c) Schließlich kann ohne Zufuhr von Dampf oder Erhitzung der Außenwand die Temperatur dadurch erhöht werden, dass das Wasser zusammengepresst wird.

Daraus ergibt sich der komplexe Begriff der Gibbs-Energie. Josiah Willard Gibbs (1839-1903) hat 1876-1878 seine entscheidenden Erkenntnisse veröffentlicht, die jedoch erst in den 1890ern in Europa bekannt und dort mit ähnlichen Forschungen von Hermann von Helmholtz (1821-1894) zusammengeführt wurden. Die Gibbs-Energie ist »ein thermodynamisches Potential mit den natürlichen unabhängigen Variablen Temperatur T, Druck p und Stoffmenge n oder alternativ Teilchenzahl N« (Wikipedia). Damit fasst sie alle Parameter zusammen, mit denen einem Stoff wie Wasser Energie zugeführt werden kann und resultiert in einer einheitlichen Funktion. Sie zeigt, wie sich nach jedem Sprung ein Potentialtopf entwickelt: Die neue Ordnung erreicht ein neues lokales Minimum und ist nach außen durch Potentialdifferenzen geschützt. Das bedeutet: Sie hat zum einen die Kraft, die für ihre Umgebung spezifischen Bedingungen zu optimieren, und es ist zum anderen ein hohes Maß an Aktivierungsenergie notwendig, um die Potentialgrenzen überwinden und die Ordnung auflösen zu können.


Übergangszustand

Figur 4: Übergangszustand (Transition State)
Das Diagramm zeigt zwei lokale Minima: Den Ausgangszustand, in dem sich der Ausgangsstoff (Substrate) vor der Reaktion befindet und das neue lokale Minimum, das im Endzustand erreicht wird, wenn ein neues Produkt (Product) hergestellt ist. Im Übergangszustand ist die Freie Gibbs-Energie größer als im Ausgangs- und im Endzustand. Durch einen Katalysator kann die Aktivierungsenergie verringert werden. Quelle

Mit diesem Ansatz können die zuvor genannten chemischen Modelle einheitlich gedeutet und verstanden werden:

(a) Wenn in einem Gemisch kontinuierlich ein reaktionsschwächerer Stoff zugeführt wird, entsteht ein Übergewicht, und die Entropie (Unordnung) verringert sich. Das System bekommt die Neigung, die Entropie wieder zu erhöhen und diesen Stoff aufzulösen. Wenn bei einer Reaktion mit diesem Stoff der Zugewinn an Entropie größer ist als die bereits von Hegel betrachtete Differenz zum reaktionsstärkeren Stoff, dann kann es zu einer Reaktion kommen, da sie im Ganzen die Entropie erhöht. Das ist mit der Enthalpiedifferenz gemeint.

Atkins beschreibt einen ähnlichen Prozess: Die Selbstbeschränkung von chemischen Reaktionen. Zu Beginn vergrößert sich während einer Reaktion die Unordnung, wenn die Ausgangsstoffe und Produkte nebeneinander existieren. Werden jedoch allmählich alle Ausgangsstoffe aufgebraucht, erhält das neue Produkt ein Übergewicht und die Unordnung verringert sich wieder. Der Prozess beginnt sich selbst zu bremsen.

»Die Reaktion hat solange eine spontane Neigung zur Bildung von Produkten, bis die Zusammensetzung den Punkt erreicht hat, der einer größtmöglichen Unordnung des Universums entspricht. Dann ist die Hinreaktion nicht länger spontan. Die Produktkonzentration steigt nicht mehr weiter, und die Reaktion geht in das dynamische Gleichgewicht über. Das Produkt hat sowohl selbst die Voraussetzungen für seine Bildung geschaffen als auch seine eigene Bildung beschränkt« (Atkins, S. 109).

Das lässt sich auf den von Hegel diskutierten Fall übertragen. Die thermodynamischen Gesetze liegen den von ihm betrachteten Reaktionen und ihren Knotenlienien zugrunde.

(b) Bis ins Detail sind alle Prozesse erforscht und gemessen worden, die beim Übergang von flüssigem Wasser in Dampf auftreten, um Dampfkraftwerke optimieren zu können (siehe die aussagekräftigen Tabellen bei Wikipedia). Bei siedendem Wasser erhöht sich sprunghaft die Entropie (die Bewegung der Wassermoleküle ist im Dampf wesentlich ungeordneter als in der Flüssigkeit) und das spezifische Volumen (m³/kg) steigt steil an (der Dampf dehnt sich aus). Im Dampf bildet sich eine neue Ordnung, die wesentlich geringer ist als die Ordnung des flüssigen Wassers. Der Übergang zum Dampf setzt sich schlagartig durch, wenn der Gewinn an Entropie in der neuen Ordnung größer ist als die Energie (Temperaturerhöhung), um ihn zu erreichen.

Wasserdampf

Figur 5: Zustandsänderung von Wasserdampf bei 100 Grad Celsius und 1 bar Druck
»Bei einem normalen Umgebungsdruck von 1,013 bar (101,325 kPa) siedet Wasser bei 100 Grad Celsius. Wird dem verbliebenen Wasser darüber hinaus Energie (Wärme) zugeführt, verdampft es, ohne dass es zu einem weiteren Temperaturanstieg kommt. Aus 1 Liter (entsprechend 1 kg) Wasser entstehen 1673 Liter Wasserdampf (unter Normalbedingungen), wofür eine Energiezufuhr von 2257 kJ benötigt wird. ... Das hier abgebildete Diagramm stellt die für die Verdampfung notwendige Wärme in Form der gepunkteten blauen Fläche dar«. Wenn es nicht zur Verdampfung kommt, weil sich das Wasser in einem geschlossenen Raum befindet, dann steigt die Temperatur weiter an, bis sie am kritischen Punkt von 374,12 Grad Celsius und einen Druck von mindestens 221,2 bar den Zusammenhangscharakter der Flüssigkeit verliert und in überkritisches Wasser übergeht. Quelle

Übergang in das Maßlose

Ruschig nennt drei Modelle, an denen das Maß umschlägt in Maßlosigkeit (R, S. 311): (a) Temperatur-Erhöhung einer Flüssigkeit in einem geschlossenen System. Ist der gasförmige Zustand erreicht, gibt es keine weiteren Änderungen mehr. Insofern ist der gasförmige Zustand maßlos. (b) Wenn Uran 235 eine kritische Masse überschreitet, kommt es zur Explosion. »Er (der Uranblock) explodiert in einem prinzipiell untechnischen und so maßlosen Prozeß« (R, S. 311). Zwar ist die extreme Gewalt und Zerstörungskraft der Atombombenexplosion unübersehbar. Dennoch erscheint es mir ein von außen herangebrachtes Argument zu sein, hier von Maßlosigkeit und etwas prinzipiell Untechnischem zu sprechen. Es war eine politische Entscheidung, bereits zu einem Zeitpunkt auf Atomkraft zu setzen und sie zu nutzen, bevor sie voll verstanden und die Risiken beherrschbar waren. Bis heute ist unbekannt, ob es jemals gelingen wird, sie ohne Risiken nutzen zu können. Aber umgekehrt konnte bisher auch nicht begründet werden, warum es prinzipiell unlösbar sein soll. (c) Schwerekollaps beim Schwarzen Loch.

Weiter kann als Modell der erste Zustand gemäß der Urknall-Theorie genannt werden. In der Planck-Ära, d.h. den ersten 10-43 Sekunden nach dem Urknall, herrschte eine Temperatur von 1032 Grad Kelvin. Die Planck-Ära dauert genau so lange, bis die kleinste Einheit der Planck-Zeit erreicht ist, d.h. erstmals ein physikalisch messbares Ereignis auftreten kann. In der Planck-Ära herrschte die größtmögliche Ordnung. Seither kühlt sich das Universum ab und die Unordnung vergrößert sich.

Das Maßlose

Vom abstrakten Maßlosen zum Substrat

Die Energie-Zeit- und die Temperatur-Entropie-Funktion entsprechen bereits bis in Details der Knotenlinie, wie sie von Hegel beschrieben wird. Die Entropie ändert sich fortlaufend, aber es gibt Bereiche, in denen dennoch die Ordnung erhalten bleibt und erst an bestimmten Punkten umschlägt.

»Das Maß bestimmt sich von sich abstoßend zu anderen nur quantitativ verschiedenen Verhältnissen, welche gleichfalls Affinitäten und Maße bilden, abwechselnd mit solchen, welche nur quantitative Verschiedenheiten bleiben. Sie bilden auf solche Weise eine Knotenlinie von Maßen auf einer Skala des Mehr und Weniger. [...] Es hat eine Weile, innerhalb derer es gegen diese Veränderung gleichgültig bleibt und seine Qualität nicht ändert. Aber es tritt ein Punkt dieser Änderung des Quantitativen ein, auf welchem die Qualität geändert wird, das Quantum sich als spezifizierend erweist, so dass das veränderte quantitative Verhältnis in ein Maß und damit in eine neue Qualität, ein neues Etwas, umgeschlagen ist« (HW 5.437).

Das trifft genau auf die unterschiedlichen Ordnungen zu, wobei als »Skala des Mehr und Weniger« die Entropie bzw. Freie Enthalpie einzusetzen ist. Für Hegel ist daher bereits die Knotenlinie »bleibendes, materielles Substrat« (HW 5.436), d.h. in dieser Deutung ist die Entropie das Substrat, dessen Werte sich entlang der Knotenlinie verändern.

Was kommt dann noch hinzu, wenn Hegel im Kapitel über das Maßlose das Substrat erneut einführt? Von hier (dem abstrakten Maßlosen) nach dort (der Ordnung des Maßlosen) führt ein Weg, der (a) zum einen dem Übergang von der schlechten zur wahren Unendlichkeit entspricht, (b) zugleich aber die Sphäre des Seins und seiner Übergänge verlässt und überleitet in die Sphäre des Wesens, in der nicht mehr von Übergängen, sondern von Beziehungen gesprochen wird. Ruschig betrachtet nur den ersten Aspekt.

In den Worten von Ruschig bzw. Hegel: (a) Erneut wird ein unendlicher Progreß durchlaufen. »Das jetzt erreichte maßlose Substrat verhält sich zur anfänglichen Bestimmung des Maßlosen wie das 'wahrhaft Unendliche' zum 'Schlechtunendlichen'« (R, S. 325). (b) Es wird sich jedoch zeigen, wie sich nicht bloß das Maßlose als das Andere des Maßes ergibt, zu dem übergegangen wird. Sondern »das Maßlose (ist) gleichfalls ein Maß« (Enz. § 109, HW 8.229). Es ist jedoch ein anders bestimmtes Maß, das sich auf die Beziehungen zwischen Maßen bezieht. (Siehe hierzu auch den Beitrag Hegel und Hilbert , in dem am Beispiel der Händigkeit das Neuartige des Maßlosen als »bloßer Ordnung« demonstriert wird.)

(a) Mit der »anfänglichen Bestimmung« (R, S. 325) ist gemeint, dass entlang der Knotenlinie ein Maß dem anderen folgt, so wie auf der Geraden der natürlichen Zahlen eine Zahl der anderen folgt. Diese Bewegung ist im Ganzen maßlos. Sie überschreitet alle Grenzen, – in diesem Fall alle Maße –, und geht am Ende in Unbestimmtheit über, die bei den natürlichen Zahlen mit den drei Pünktchen ›1, 2, 3, ...‹ oder dem Symbol ∞ dargestellt wird (siehe HW 5.438f, 5.442f und R, S. 319).

»Etwas oder eine Qualität als auf solchem Verhältnisse beruhend wird über sich hinaus in das Maßlose getrieben und geht durch die bloße Änderung seiner Größe zugrunde« (HW 5.442).

(b) Wenn an einer bestimmten Zahl wie z.B. der Zahl 7 die Nachfolger-Relation erkannt wird, kann diese Relation auf alle andere natürlichen Zahlen übertragen werden. So wie die Zahl 7 die Zahl 8 als Nachfolger hat, gibt es für jede natürliche Zahl n einen Nachfolger ›n + 1‹. Die Nachfolger-Relation ist für sich betrachtet jedoch größen-los. Sie befindet sich nicht innerhalb der natürlichen Zahlen. Sie gilt  für  die natürlichen Zahlen, ist jedoch nicht ihrerseits eine natürliche Zahl. (Wird sie ihrerseits mit einer natürlichen Zahl symbolisiert, dann kann das mit der Gödelisierung verglichen werden, mithilfe derer Gödel die Paradoxien formaler Systeme gezeigt hat.)

Auch die Größe ihres Gültigkeitsbereichs kann durch keine natürliche Zahl gemessen werden, denn auch diese Zahl hätte einen Nachfolger. In der Mathematik wird daher von der Mächtigkeit gesprochen. Die Mächtigkeit erhält ein eigenes Symbol Symbol₀, welches gegenüber den natürlichen Zahlen größen-los ist. Um die Eigenschaften der natürlichen Zahlen zu erkennen, wurde übergegangen vom Raum der natürlichen Zahlen in den Raum aller Relationen zwischen jeweils zwei natürlichen Zahlen. Mathematisch ist das der Übergang von ℕ nach Symbol, dem Zahlengitter, das anschaulich sehr ähnlich aussieht wie das Kreuzmuster von Kettfaden und Schussfaden in der Webtechnik. Jede Nachfolger-Relation ist eine Relation zwischen jeweils zwei natürlichen Zahlen, z.B. die Relation (7,8) für das Beispiel, in dem die Zahl 8 als Nachfolger der Zahl 7 bezeichnet wird. Während die Zahlen 7 und 8 Elemente von ℕ sind, ist die Relation (7,8) Element von Symbol.

Diese Schreibweise ist umständlich und ungewohnt, aber sie zeigt das Wesentliche, worauf es hier ankommt: Die Nachfolger-Relation kann nicht in dem Raum liegen, dessen Elemente in Relation zueinander gesetzt werden. Sie liegt in einem größeren Raum, der den Raum der Elemente der Relation als Grenzfall enthält. Der Unterschied von ℕ und Symbol ist das Modell, an dem der Unterschied des Substrats, so wie es sich innerhalb der Knotenlinie zeigt, und des Substrats, welches von Hegel im Kapitel über das Maßlose betrachtet wird, verdeutlicht werden kann. Für das gewöhnliche Bewußtsein ist ganz selbstverständlich die Zahlengerade ℕ das Substrat der natürlichen Zahlen. Bei genauerer Betrachtung ergibt sich jedoch, dass die Eigenschaften der natürlichen Zahlen wie die Nachfolger-Relation nicht in ℕ, sondern in Symbol dargestellt werden müssen. Wenn als Substrat der Träger von Eigenschaften verstanden wird, dann ist daher entgegen der naheliegenden Anschauung Symbol das Substrat der natürlichen Zahlen, denn in Symbol liegen die Relationen und mit ihnen die Eigenschaften der natürlichenb Zahlen. Entsprechend wird sich zeigen, dass entgegen dem gewöhnlichen Bewußtsein nicht die Energie, die Entropie, die Temperatur, das Mischungsverhältnis zweier Stoffe in einem Gemisch oder eine andere Knotenlinie das Substrat der Knoten ist, sondern ein größerer Raum, der die Knotenlinie als Grenzfall enthält.

Der Begriff des Zustands in der Quantenmechanik

So wie bei den natürlichen Zahlen die Nachfolger-Relation zwischen je zwei Zahlen die Eigenschaft der natürlichen Zahlen bestimmt, ist es bei den Knotenlinien der Übergang von einem Zustand zu einem anderen.

»Damit sind die Maße und die damit gesetzten Selbständigkeiten zu Zuständen herabgesetzt. Die Veränderung ist nur Änderung eines Zustandes, und das Übergehende ist als darin dasselbe bleibend gesetzt« (HW 5.444).

Hegel geht davon aus, dass sich bei den Übergängen von einem Zustand in einen anderen auf ähnliche Weise eine bestimmte Relation wiederholt wie in der Nachfolger-Relation der natürlichen Zahlen.

»Hegel unterstellt Verallgemeinerbarkeit der Modelle für kritische Größen. Diese Unterstellung der Verallgemeinerbarkeit liegt darin begründet, dass für Hegel das Über-sich-hinaus-in-das-Maßlose-Getriebenwerden nicht mit dem jeweiligen besonderen Material und mit der besonderen Konstellation von Maßgrößen zusammenhängt, sondern an einem völlig unbestimmten, allen Maßgrößen zugrundeliegenden und für alle identischen Substrat (der 'Indifferenz)« (R, S. 312).

So wie die Nachfolger-Relation (n,n+1) zweier natürlicher Zahlen nicht ihrerseits eine natürliche Zahl oder die Menge ℕ aller natürlichen Zahlen oder die Zahlen-Gerade ist, so kann das Übergehende von einem Zustand φ in einen anderen Zustand φ' nicht seinerseits ein Zustand (Knoten) oder die Knotenlinie sein, sondern ist eine Relation (φ,φ') zwischen zwei Zuständen. Das Übergehende liegt in einem Raum, der in ähnlicher Weise die Knotenlinie übergreift, wie der Raum der Relationen Symbol den Raum der natürlichen Zahlen übergreift.

Zur Zeit von Hegel gab es hierfür noch keine mathematische Darstellung. Erst mehrere Jahrzehnte später wurde der Hilbert-Raum eingeführt, der genau das leistet. Hier ist jedoch zu beachten, dass sich zum einen Hegels Ausdrucksweise von »Knoten« und »Zustand« nicht durchgesetzt hat, und zum anderen in der Quantenmechanik der Ausdruck »Zustand« auf mehreren Abstraktionsstufen gebraucht wird: (a) Niveaus. Die Quantenmechanik bezeichnet die voneinander unabhängigen Eigenschaften eines Objekts (seine Messgrößen) sowohl als Quantenzahlen wie auch als Dimensionen (Achsen), so z.B. Ort, Impuls, Spin, Leptonenzahl. Innerhalb einer Dimension sind nur bestimmte Werte möglich, die bisweilen als Niveaus oder Zustände bezeichnet werden. (b) Vektor-Zustände. Statt von Dingen wird von messbaren Objekten gesprochen. Die Gesamtheit der Messungen in allen Dimensionen (Quantenzahlen) gilt als der Zustand des Objekts, in dem es sich zum Zeitpunkt der Messung befindet. Die Gesamtheit wird als Vektor (Liste aller gemessenen Merkmale) dargestellt. (c) Systemzustände. Es gibt übergreifende Systemzustände (vergleichbar den Aggregat-Zuständen), bei denen sich das Verhalten der messbaren Objekte ändert. Das kann darin gemessen werden, mit welcher Wahrscheinlichkeit sie ihre Eigenschaften ändern können. Die Systemzustände kommen den von Hegel gemeinten Zuständen am nächsten.

(a) Niveaus

Innerhalb jeder Dimension (Quantenzahl) sind experimentell nur bestimmte Mess-Ergebnisse nachgewiesen worden. Sie werden als Niveaus und manchmal auch als Zustände bezeichnet. Die Physiker suchen daher nach Modellen, mit denen erklärt werden kann, warum nur diese Ergebnisse auftreten, d.h. innerhalb des Modells möglich sind. Das klassische Beispiel sind die Elektronenbahnen im Bohrschen Atommodell. In diesem Modell kann sich ein Elektron nur auf bestimmten Bahnen bewegen. Wie der Sprung von einer Bahn zu einer anderen erfolgt, kann in diesem Modell nicht beschrieben werden. Die unterschiedlichen Bahnen (Niveaus, Zustände) verhalten sich mathematisch zueinander wie der Grundton und die Obertöne in der Musik. Für jedes Elektron kann indirekt gemessen werden, auf welcher Bahn es sich befindet, da beim Sprung von einer Bahn auf eine andere entweder Licht ausgestrahlt oder absorbiert wird.

Bohrsches Atommodell

Figur 6: Das Bohrsche Atommodell des Wasserstoffatoms
»Dem Elektron steht von allen klassisch möglichen Bahnen nur eine kleine Auswahl zur Verfügung. Auf diesen Bahnen behält das Elektron seine Energie, denn es erzeugt keine elektromagnetischen Wellen. Dies sind die stationären Zustände des Atoms« Wikipedia. ›n = 1‹ beschreibt den Grundzustand, ›n = 2‹ etc. die höheren Zustände (die Obertöne). Beim Sprung von einer Bahn auf eine andere (hier mit dem blauen Pfeil gezeichnet) wird eine Energiedifferenz frei oder absorbiert, die als Licht erscheint (dargestellt durch die rote Wellenlinie) und wahrgenommen werden kann.

Auch wenn das Atommodell von Bohr aufgegeben wurde, hat sich diese Methode der Modell-Bildung durchgesetzt. Wenn experimentell nur eine bestimmte Folge von Messwerten nachgewiesen werden kann, wird eine mathematische Funktion gesucht, die Werte liefert, die wie ein Grundton und seine Obertöne angeordnet sind (mathematisch handelt es sich um eine Fourier-Analyse). Diese Funktionen sind die kleinste Einheit des Hilbert-Raums, mit dem die Quantenmechanik dargestellt wird. Der Hilbert-Raum setzt sich daher aus Funktionen statt aus Punkten zusammen.

(b) Zustands-Vektoren |φ⟩

Jedes Teilchen wird beschrieben durch die voneinander unabhängigen Eigenschaften, die an ihm gemessen werden können. In der Messtheorie werden diese Eigenschaften als Messgrößen, in der Quantenmechanik als Quantenzahlen bezeichnet. Der Zustands-Vektor eines Teilchens ist die Liste dieser Eigenschaften. Sprachlich wird bisweilen nicht genau unterschieden zwischen (1) der Liste der Eigenschaften, (2) der Liste von Messwerten eines einzelnen gemessenen Objekts und (3) der Liste von Durchschnittswerten der Messungen eines Ensembles von messbaren Objekten.

(1) Systematisch ist auszugehen von der Liste der Eigenschaften. Das klassische Beispiel ist die Beschreibung des Elektronenzustands durch vier Quantenzahlen. An einem Elektron können mithilfe der heute verfügbaren Messmethoden nur vier voneinander unabhängige Eigenschaften gemessen werden. Sie werden als seine Quantenzahlen bezeichnet. Die Liste der Eigenschaften des Elektrons sieht daher so aus:

Liste der Eigenschaften des Elektrons (Elektronenzustand mit 4 Quantenzahlen)
1) die Schale n = 1,2,3, ..., auf der sich das Elektron befindet (Hauptquantenzahl)
2) das Orbital Symbol = 1,2,3,..., n−1 innerhalb der Schale n (Nebenquantenzahl)
3) die z-Komponente des Drehimpulses mSymbol = −Symbol, −Symbol+1, ..., 0, ..., Symbol−1, Symbol (magnetische Quantenzahl)
4) der Spin mS = +½, −½

Der Zustandsraum des Elektrons wird durch die vier voneinander unabhängigen Achsen n, Symbol, mSymbol, mS (Schale, Orbital, Drehimpuls, Spin) beschrieben. Jede Kombination von Schale, Orbital, Drehimpuls, Spin ergibt einen theoretisch möglichen Zustand des Elektrons. Warum es gerade diese vier Achsen gibt und warum sie voneinander unabhängig sind, wird in der Quantenmechanik nicht erklärt, sondern als experimentelles Ergebnis der Messprozesse verstanden.

(2) Jede einzelne Messung identifiziert einen Zustand und kann als ein Punkt innerhalb des Zustandsraums dargestellt werden. Das ist die Bedeutung des Zustands-Vektors im engeren Sinn. Hiermit erklärt sich auch die sprachlich in die Irre führende Bezeichnung »Quantenzahl«. Unter einer Zahl wird gewöhnlich ein bestimmter einzelner Wert (hier ein konkreter Messwert) verstanden. Die Quantenmechanik bezeichnet mit »Quantenzahl« jedoch sowohl die einzelnen gemessenen Werte wie auch die Dimensionen (Messgrößen), innerhalb derer sie gemessen wurden.

(3) Um die Verwirrung perfekt zu machen, werden häufig im Zustands-Vektor als Quantenzahlen nicht die Ergebnisse einer einzelnen Messung, sondern die statistischen Durchschnittswerte einer Vielzahl von Messergebnissen eingetragen. Eine einzelne Messung zeigt, welche Eigenschaft für das bestimmte gemessene Objekt gilt. Wenn eine Vielzahl von Messungen durchgeführt wurde, kann ermittelt werden, welche Durchschnittswerte auftreten.

In dieser Gesamtheit von Zuständen treten Zustände auf, die in der klassischen Physik als unmöglich galten. Die klassische Physik hat nur solche Zustände "erlaubt", für die sie erklären konnte, wie ein Objekt in diesen Zustand gelangen kann. Anders gesagt: Die klassische Physik hat nur solche Modelle gesucht, mithilfe derer alle Zustände erklärbar sind. Die Quantenmechanik hat diese strenge Forderung an Modelle aufgeben müssen, da sie ständig Zustände nachgewiesen hat, für die nicht erklärbar ist, wie sie erreicht werden können. Sie begnügt sich daher mit Modellen, mit denen es mathematisch möglich ist, alle Zustände zu beschreiben, die experimentell nachgewiesen werden können, auch wenn es keine Erklärungen gibt, warum diese Zustände auftreten können. (Die Quantenmechanik bewegt sich daher in einer Situation, die mit der von Tycho Brahe vergleichbar ist. Er hat alle Himmelsbeobachtungen aufgezeichnet, die er beobachten konnte. Erst nach ihm konnten Kepler und Newton Gesetze finden, mit denen die Gesamtheit der Beobachtungen beschrieben und erklärt werden konnte. Vergleichbare Gesetze fehlen bis heute in der Quantenmechanik.)

Anmerkung 1: Wenn jede Quantenzahl als eine Funktion verstanden wird, die einen Grundton und seine Obertöne beschreibt, dann ist der Zustands-Vektor ein Akkord, der aus dem Zusammenklang der Quantenzahlen besteht, die im Zustands-Vektor beschrieben werden. Zum Beispiel ist der Elektronen-Zustand mit seinen vier Quantenzahlen ein Vierer-Akkord. Wird zusätzlich die Anordnung (die Reihenfolge) der vier Töne berücksichtigt, dann ist der Elektronen-Zustand eine Melodie aus vier Tönen.

Anmerkung 2: Paul Dirac führte 1930 die Bra-Ket Darstellung ein: |φ⟩ beschreibt einen Zustand im Ganzen. Es können auch die einzelnen Quantenzahlen aufgezählt werden, also z.B. für den Elektronenzustand |n, Symbol, mSymbol, mS.

(c) Übergangswahrscheinlichkeiten ⟨φ|φ'⟩ (Wahlverwandtschaft)

Die Übergangswahrscheinlichkeiten beziehen sich auf die Zustands-Vektoren. Mit der Darstellung ⟨φ|φ'⟩ wird die Wahrscheinlichkeit beschrieben, dass ein Zustand ∣φ⟩ in den Zustand ∣φ'⟩ wechselt.

Die Übergangswahrscheinlichkeit ist die gesuchte Verallgemeinerung der Wahlverwandtschaft, mit der eine mathematische Darstellung möglich wird. Die Wahlverwandtschaft beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Stoffe miteinander reagieren und einen oder mehrere neue Stoffe erzeugen. Die Zustände vor und nach der Reaktion lassen sich als Vektor-Zustände beschreiben, wobei das Gemisch der verschiedenen Stoffe, die miteinander reagieren können, das messbare Objekt ist. Der Zustands-Vektor beschreibt den Zustand des Gemischs, d.h. die Konzentrationen der einzelnen Stoffe, die im Gemisch enthalten sind. Die Reaktionsgleichungen werden interpretiert als Übergänge von einem Zustand in einen anderen. Je größer die Wahrscheinlichkeit ist, dass zwei Stoffe miteinander reagieren, desto größer ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie in einen Zustand wechseln, der dem Ergebnis der Reaktionsgleichung entspricht. Zum Beispiel kann eine Reaktionsgleichung

HCl + 2 NaOH → 2 H2O + NaCl

lies: 1 Mol Salzsäure und 1 Mol Natronlauge ergibt 2 Mol Wasser und 1 Mol Kochsalz

"übersetzt" werden in eine Darstellung

⟨HCl, 2 NaOH|2 H2O, NaCl⟩

lies: Ein Zustand aus 1 Mol Salzsäure und 1 Mol Natronlauge geht über in einen Zustand aus 2 Mol Wasser und 1 Mol Kochsalz

Verändern sich durch die Reaktion weitere Parameter wie z.B. die Temperatur des Systems, dann lässt sich das sehr übersichtlich in dieser Art der Darstellung ergänzen.

Damit können die von Hegel betrachteten chemischen Modelle verallgemeinert werden in die Schreibweise, die für die Quantenmechanik entwickelt wurde. Hier darf der Ausdruck »Quantenmechanik« nicht verwirren. Mit dieser Methode lassen sich alle messbaren Vorgänge beschreiben, nicht nur quantenmechanische, sondern auch chemische, biologische, neurologische etc. Daher wird sie dem allgemeinen Ansatz von Hegel am besten gerecht.

Anmerkung: Da sich die Niveaus innerhalb einer Quantenzahl zueinander verhalten wie Grundton und Oberton, und da entsprechend der Zustands-Vektor eines Teilchens als Akkord verstanden werden kann, werden mit den Übergängen ⟨φ|φ'⟩ Harmonien beschrieben, bei denen ein Akkord in einen anderen Akkord übergeht. Die für die Quantenmechanik entwickelte mathematische Methode liefert die Möglichkeit, Hegels Idee folgend Wahlverwandtschaften als Harmonien darzustellen. Die chemische Sphäre ist die Sphäre der Harmonie. Dieser Gedanke ist Hegel äußerst wichtig, denn er will mit Kepler von einer übergreifenden Weltharmonie ausgehen und Raum und Zeit als Momente der Weltharmonie verstehen.

(d) Systemzustände, Makrozustände (Knotenlinien)

Abhängig vom übergeordneten Systemzustand ändern sich die Übergangswahrscheinlichkeiten. Wenn die Temperatur des Systems steigt, werden manche Reaktionen gefördert und treten häufiger auf, andere werden seltener. Ebenso können Katalysatoren in das Gemisch zugeführt oder die Anteile bestimmter Stoffe verändert werden, um den Zusand dahin zu ändern, dass bestimmte Reaktionen schneller ablaufen oder unterdrückt werden.

Die mathematische Darstellung wird zunehmend komplexer, bleibt aber eindeutig.

In einem ersten Schritt sind die Wahlverwandtschaften (Übergangswahrscheinlichkeiten) darzustellen. Wird der Raum aller Zustände mit Symbol bezeichnet, dann liegen die Übergangswahrscheinlichkeiten im Raum Symbol Symbol Symbol. Dieser Raum sei mit Symbol bezeichnet. Es gilt also: Symbol = Symbol Symbol Symbol, wobei W für Wahlverwandtschaft steht.

Wahlverwandtschaft

Figur 7: Wahlverwandtschaft
Auf der horizontalen und vertikalen Achse sind jeweils alle Zustände φ und φ' aus Symbol eingetragen. Die Gesamtheit aller Wahlverwandtschaften ist die Fläche Symbol. Jeder Punkt stellt ein Paar (φ,φ') dar, welches die Übergangswahrscheinlichkeit von φ zu φ' ist.

Im nächsten Schritt ist zu berücksichtigen, dass sich die Wahlverwandtschaften (φ, φ') verändern können, wenn sich der übergreifende Systemzustand durch die Variation eines Parameters τ verändert. Beispiele können die Temperaturerhöhung oder Zutropfen von anderen Stoffen sein.

Die folgende Figur soll veranschaulichen, wie sich für einen bestimmten Zustand φ die Übergangswahrscheinlichkeit in einen anderen Zustand φ' ändert, wenn für den Zustand φ ein bestimmter Parameter τ verändert wird.

Knotenlinie

Figur 8: Knotenlinie für eine bestimmte Wahlverwandtschaft (φ,φ')
Auf der horizontalen Achse ist ein Zustand φ eingetragen, für den sich ein Umgebungsparameter τ ändert. Auf der vertikalen Achse sind die unterschiedlichen Übergangswahrscheinlichkeiten von φ in einen bestimmten anderen Zustand φ', d.h. die Werte (φ,φ') eingetragen. Beispiel: Die horizontale Achse Symbolτ kann die Gesamtheit der Zustände des flüssigen Wassers mit jeweils unterschiedlichen Temperaturen sein. Die vertikale Achse Symbol(φ,φ') zeigt die unterschiedlichen Übergangswahrscheinlichkeiten, mit denen einzelne Wassermoleküle aus dem flüssigen in den gasförmigen Zustand wechseln. Die Knotenlinie zeigt, wie sich die Übergangswahrscheinlichkeit abhängig von der Veränderung von τ entwickelt.

Wird das verallgemeinert auf die Gesamtheit aller Zustände, ihrer Wahlverwandtschaften und Umgebungsparameter τ, dann ergibt sich der Raum Symbol, in dem alle Knotenlinien dargestellt werden können:

(k)   Symbol = Symbol Symbol Symbol Symbol Symbol

lies: eine Knotenlinie k ∈ Symbol zeigt die Veränderung einer Wahlverwandtschaft w = (φ,φ') ∈ Symbol abhängig von einem veränderten Systemparameter τ ∈ Symbol

Wichtig ist zu verstehen, dass Knotenlinien  Veränderungen  von Übergangswahrscheinlichkeiten zeigen. Innerhalb des Raums Symbol können die Umschläge von Qualitäten abgelesen werden, die Hegel gemeint hat. Von der Mathematik werden sie heute in der Katastrophentheorie untersucht.

(e) Geometrie

Die Übergänge ⟨φ | φ'⟩ können geometrisch als Abstand zwischen diesen beiden Zuständen gedeutet werden. Damit wird eine Geometrie möglich, die unmittelbar auf Wahlverwandtschaften und Knotenlinien aufgebaut ist. Die Wahlverwandtschaft wird als Abstand beschrieben, die Knotenlinie als Krümmung, entlang derer sich die Abstände ändern. Führt die Krümmung zu Brüchen, dann liegen Wechsel von Zuständen vor, um die es Hegel geht.

Mit dem Hilbert-Raum ist es gelungen zu zeigen, dass diese Geometrie eine Verallgemeinerung der euklidischen Geometrie ist und diese als Grenzfall enthält.

Anmerkung 1 (Proto-Zeit): Es fällt auf, dass in der hier betrachteten Geometrie nicht ausdrücklich die Zeit erwähnt wird. Es werden zwar Veränderungen eines Umgebungsparameters τ analysiert, aber unabhängig von einem bestimmten Zeitmaß. Der Begriff von (physischem) Raum und Zeit soll erst im weiteren aus der Gesamtheit der Zustände und ihrer Wahlverwandtschaften, Knotenlinien und Harmonien entwickelt werden. Hegel hat damit im Prinzip bereits die Lösung vorweggenommen, die heute in der Physik als Quantengravitation oder Quantisierung der Raumzeit gesucht wird. Die Quantenmechanik spricht von Quantensubstrat oder Prägeometrie. Siehe dazu z.B. Reiner Hedrich Hat die Raumzeit Quanteneigenschaften? in Esfeld (Hg.) Philosophie der Physik.

Anmerkung 2 (Wellenfunktion): In der Physik wird häufig gesagt, dass die Objekte der Quantenmechanik nicht mehr wie in der klassischen Physik sinnlich wahrnehmbare Gegenstände, sondern Wellenfunktionen seien. Beim Begriff »Wellenfunktion« wiederholt sich die Mehrdeutigkeit des Begriffs »Zustand«. Es ist zu unterscheiden: (1) Mit Wellenfunktionen können physische Wellen wie z.B. Wasser-, Schall- oder Lichtwellen beschrieben werden. (2) Mit einer Wellenfunktion kann beschrieben werden, welche unterschiedlichen Niveaus (Werte) innerhalb einer Quantenzahl (Dimension) möglich sind. (3) Sind die unterschiedlichen Niveaus innerhalb einer Dimension gefunden, dann kann mit einer Wellenfunktion die Wahrscheinlichkeitsverteilung beschrieben werden, wie sich die gemessenen Werte auf die unterschiedlichen Niveaus verteilen. Siehe hierzu Claus Kiefer Quantengravitation in Esfeld.

Anmerkung 3 (Gekrümmter Raum): Wird die Knotenlinie, entlang derer sich ein Systemparameter τ verändert, verallgemeinert und formalisiert, dann entsteht daraus die Gesamtheit der Systemparameter Symbol, die in der mathematischen Physik als »Hintergrundraum« interpretiert wird. Und so, wie die Knotenlinie als Substrat bezeichnet werden kann, neigen seit Einstein zahlreiche Physiker zu dem Kurzschluss, der Hintergrundraum Symbol sei identisch mit dem mathematischen Raum, in dem dies Geschehen dargestellt wird. Das bedeutet in der Konsequenz, dass nicht nur in der Natur Krümmungen oder zum Beispiel Ablenkungen des Lichts beim Vorbeigang an massiven Objekten wie der Sonne beobachtet und gemessen werden können, sondern auch der mathematische Raum gekrümmt sein muss, in dem dies dargestellt werden soll. Das ist so, als müsste das Blatt Papier oder der Bildschirm, auf das das Wort »rot« aufgeschrieben wird, seinerseits rot sein, um das Wort »rot« zu verstehen. – Während mit der Geometrie nur eine Krümmung dargestellt werden kann und der geometrische Raum, in dem diese Darstellung erfolgt, seinerseits nicht gekrümmt ist, muss noch etwas hinzukommen, wenn etwas "wirklich" gekrümmt ist. Es muss einen Stoff geben, der krümmbar ist. Dieser Stoff wurde historisch häufig als Äther bezeichnet. Er kommt dem von Aristoteles betrachteten Bewegungsstoff »hyle topike« (Aristoteles Metaphysik VIII 1, 1042b) nahe und wird von Hegel in der Lehre vom Begriff im Kapitel über den Chemismus als Medium eingeführt (HW 6.431). Siehe hierzu den Vortrag über die Sphäre des Begriffs (Link).

Eigenschaften des Raums der Zustände und ihrer Geometrie (das Substrat)

Wenn es auf diese Weise gelungen ist, Wahlverwandtschaften und Knotenlinien als Geometrie der Zustände zu verstehen und in einem einheitlichen Raum darzustellen, dann kann der Blick umgekehrt werden. Der Hilbert-Raum führt die Auseinanderlegung (Ur-Teilung) der Maße zu Ende. Im Hilbert-Raum liegen alle Objekte, deren Verwandtschaften als reales Maß betrachtet werden, äußerlich nebeneinander. Wenn diese äußerliche Sicht bis in diese Darstellung gebracht ist, dann kann der Blick gewendet werden von den Objekten, die im Raum angeordnet sind, zu den Eigenschaften des Raums, in dem sie dargestellt sind. Es kann gefragt werden, welche Eigenschaften ein Raum haben muss, die es ermöglichen, Wahlverwandtschaften und Knotenlinien in ihm darzustellen.

Hier von »Raum« zu sprechen ist jedoch missverständlich und wird von Hegel vermieden. Der Ausdruck »Hilbert-Raum« ist von der mathematischen Darstellung quantenphysikalischer Phänomene übernommen, doch sucht Hegel nicht einen Raum, in dem etwas äußerlich wie in ein Zimmer hineingestellt wird. Er sucht nach den Eigenschaften der unterliegenden Struktur, die nicht äußerlich gegenüber den Objekten verbleiben, die sich innerhalb der Struktur befinden, sondern im Wesen mit ihnen übereinstimmen und sie von einer anderen Seite zeigen. Aus dem Bereich der sinnlichen Wahrnehmung könnte als Analogie genannt werden, wenn eine Landschaft zu unterschiedlichen Tageszeiten bei aufgehender Sonne, strahlendem Mittag oder im Mondlicht jeweils einen eigenen Charakter annimmt. Jedes Licht lässt einen eigenen zauberhaften Zug erkennen, der nur in diesem Zustand hervortritt. Was ist dann das Übergreifende, wodurch es möglich wird, dass sich etwas in so verschiedenen Seiten zeigen kann? Das Übergreifende muss sowohl bei den Gegenständen liegen, die jeweils in unterschiedlicher Weise gesehen werden können, als auch im Licht, das die Fähigkeit hat, etwas in unterschiedlicher Beleuchtung aufscheinen zu lassen. Nach meinem Verständnis meint Hegel mit dem Substrat oder dem Maßlosen das Gemeinsame, das diesen beiden Seiten des Übergreifenden zugrunde liegt und sich in ihnen ausprägt.

Dieser Schritt kann mit Hegel als Negation der Negation oder als bestimmende Reflexion bezeichnet werden: Im ersten Schritt wurden die Maße negiert und zerlegt in ihre Bestandteile, aus deren Wahlverwandtschaften und Knotenlinien das Maß entsteht. Im zweiten Schritt kann der Blick gewendet werden von der Betrachtung der einzelnen Objekte hin zum Ganzen, innerhalb dessen ihre Ordnung erkannt wird. Dann wird das Maß nicht mehr aus den Eigenschaften der jeweiligen Objekte erklärt, sondern aus den Eigenschaften des Raums, in dem sich diese Objekte befinden.

Zum Beispiel wird in der Musiktheorie ein schöner Klang zerlegt in die einzelnen Töne, aus denen er sich zusammensetzt, und dann wird nach dem Tonsystem gefragt, in dem diese Töne liegen. Es wird gefragt, welche Eigenschaft eine Tonart haben muss, damit mit ihr schöne Klänge und Melodien erzeugt werden können. Wurde zunächst der Gesamtklang negiert, um die Intervalle und ihre harmonischen Übergänge zu finden, aus denen er aufgebaut ist, so werden dann im zweiten Schritt die einzelnen Töne und ihre Intervalle und Akkorde negiert, um das System zu erkennen, in dem sie im Ganzen angeordnet sind. Das sind Fragen des Modus, des Tonvorrats und gemeinsamer Eigenschaften, die alle Töne des Tonvorrats betreffen, etwa ihre gleichmäßige Anordnung »im temperierten System mit zwölfgeteilter Oktav« (Münch, S. 187; Münch bezeichnet einen Modus als »ein für eine Klasse von Klängen repräsentatives Gebilde«, S. 185). Wer sich einmal an ein Klavier gesetzt hat, kennt das Phänomen, dass jede beliebige Folge von Tönen, die nur auf den schwarzen Tasten gespielt wird, auf eine elementare Weise harmonisch klingt. Die Gesamtheit der schwarzen Tasten und die ihr zugrunde liegenden Regeln der Tonabstände (Pentatonik) ist ein Beispiel für ein System, dessen Eigenschaften ein bestimmtes Schönheits-Maß erfüllen (siehe musicacademy; in der systematischen Darstellung von Münch ist die Pentatonik derjenige Modus, der sich innerhalb der 66 verschiedenen Fünf-Klänge durch das höchste Maß an Gleichverteilung der 5 Töne auszeichnet).

Lassen sich übergreifende Eigenschaften bestimmen, die für jedes Substrat gelten, damit sich Wahlverwandtschaften und Knotenlinien in ihm darstellen lassen? Darauf fand Hegel offensichtlich keine Antwort in der Naturforschung seiner Zeit, zumindest gibt er in diesem Kapitel anders als in den Kapiteln über Wahlverwandtschaften und Knotenlinien keine eigenen illustrierenden Beispiele aus den Naturwissenschaften, sondern wiederholt nur am Rande den Hinweis auf die spezifischen Schweren und chemischen Stoffe, ohne das weiter auszuführen (HW 5.444). Er führt auch nicht mathematische Arbeiten an, sondern bezieht sich – ohne ihn direkt zu nennen – auf Kant (siehe hierzu R, S. 329-331). Statt von Eigenschaften des Raums, in dem die Objekte der Wahlverwandtschaften und Knotenlinien liegen, spricht Hegel von der »Materie, Sache«.

»Diese so sich in ihrem Wechsel der Maße in sich selbst kontinuierende Einheit ist die wahrhaft bestehenbleibende, selbständige Materie, Sache« (HW 5.443).

Im weiteren ergänzt Hegel, dass »diese, als bloße Ordnung, noch ganz äußerliche Einheit« als eine »immanente spezifizierende Einheit« zu verstehen ist (HW 5.445).

Mit der »kontinuierenden Einheit«, der Beharrlichkeit (dem »Bestehenbleibenden«) und der »Ordnung« greift Hegel Begriffe auf, die bei Kant eine zentrale Bedeutung haben, wenn Ordnung als Assoziation und Affinität verstanden wird.

Kontinuität: Kant ist der Überzeugung, dass jeder Wahrnehmung etwas Reales entsprechen muss, das von ihr wahrgenommen wird, das »Reale der Empfindung« (KrV B 207). Die Erregung des Sinnesorgans, wodurch eine Wahrnehmung erfolgt, ist etwas anderes als das Wahrgenommene selbst. Das Wahrgenommene ist das von Kant gemeinte Reale. Kant fragt nach einer Eigenschaft des Realen an sich, die für alles gilt, das als Reales vom Menschen wahrgenommen werden kann. Das Reale an sich kann nicht blau, wohlriechend, schönklingend oder von sonst einer Qualität sein, denn es gibt auch anderes Reales, das andere Farben, Gerüche etc. hat. Die einzige Eigenschaft, die nach Kant für alles Reale gelten muss, ist die Kontinuität. Alles Reale muss kontinuierlich sein. Denn für Kant hat jede Empfindung die Eigenschaft, dass sie sich bis ins Unendlich-Kleine verringern kann. Das ist nur möglich, wenn bereits das Reale diese Eigenschaft hat, und das gilt für alle wahrnehmbaren Qualitäten. Daher ist Kant der Überzeugung, dass es sich beim Realen um  »fließende«, »kontinuierliche Größen« handelt (KrV B 211f).

»Es ist merkwürdig, dass wir an Größen überhaupt a priori nur eine einzige  Qualität, nämlich die Kontinuität, an aller  Qualität  aber (dem Realen der Erscheinung) nichts weiter a priori, als die intensive Quantität derselben, nämlich, dass sie einen Grad haben, erkennen können; alles Übrige bleibt der Erfahrung überlassen« (KrV B 218).

Kant und Hegel übernehmen damit sachlich den von Newton eingeführten Begriff der Fluxionen. In moderner Sprachweise heißt das, dass es sich bei der gesuchten Ordnung um eine differenzierbare Mannigfaltigkeit handelt, in der Geschwindigkeiten, Beschleunigungen und auf vergleichbare Weise auch andere Eigenschaftsänderungen dargestellt werden können (Faserbündel). Ist ein Raum kontinuierlich, dann lassen sich auf die in ihm dargestellten Größen die Methoden des Differentialkalkül anwenden.

Beharrlichkeit: Die Erfahrung wiederum folgt nach Kant den Analogien der Substanz, Kausalität und Wechselwirkung. Für Kant kann nichts erfahren werden, was nicht über eine gewisse Beharrlichkeit verfügt.

»Das Schema der Substanz ist die Beharrlichkeit des Realen in der Zeit, d.i. die Vorstellung desselben, als eines Substratum der empirischen Zeitbestimmung überhaupt, welches also bleibt, indem alles andre wechselt« (KrV B 184).

Auch wenn sich etwas noch so schnell von einem Zustand in einen anderen ändert, muss der Flüchtigkeit der Zustände ein Substrat zugrunde liegen, das sich über diese Zustände hinweg erhält. Hegel übernimmt von Kant die Begriffe des Substrats und der Beharrlichkeit, überträgt sie jedoch in einen anderen Kontext. Zum einen will er den Begriff des Substrats und seiner Zustände systematisch entwickeln aus dem Gang der Wissenschaft der Logik. Zum anderen gibt er Raum und Zeit einen anderen Stellenwert als Kant. Das Substrat liegt für ihn allen Zustandsbestimmungen zugrunde, und die Zeitbestimmung ist nur ein Beispiel dafür. Für Hegel ist erst die Logik des Substrats und seiner Zustände zu erkennen, und dann ist darauf aufbauend der Begriff von Raum und Zeit zu bestimmen.

Ordnung: Um Wahlverwandtschaften und Knotenlinien zu verstehen, genügt es nicht, Kontinuität und Beharrlichkeit vorauszusetzen. Es muss hinzukommen, dass zwischen den Zuständen ein innerer Bezug besteht, durch den die Zustände aufeinander verweisen. Begriffe wie Ordnung oder Spezifikation treffen das nur unzureichend. Es könnte auch eine Ordnung oder Spezifikation gemeint sein, die rein willkürlich über eine Gesamtheit von Objekten gelegt wird. Doch Hegel geht es um eine Ordnung, die den Eigenschaften der geordneten Objekte gerecht wird. Das ist nur möglich, wenn die zu ordnenden Objekte bereits einen Bezug aufeinander enthalten, der aufgegriffen und für sich dargestellt wird. Diesem Verständnis kommen die von Kant betrachteten Begriffe der Assoziation und Affinität näher, die er in der ersten Auflage der Kritik der reinen Vernunft ausgeführt hat.

»Der Grund der Möglichkeit der Assoziation des Mannigfaltigen, sofern es im Objekte liegt, heißt die Affinität des Mannigfaltigen« (Kant KrV, A 113).

Wenn es zwischen den Objekten eines Mannigfaltigen eine Affinität gibt, dann können sie entsprechend dieser in ihnen gegebenen Bezüge assoziiert werden. Das scheint mir genau das zu treffen, was Hegel mit der Ordnung des Substrats meint. Die verschiedenen Objekte liegen nicht beliebig nebeneinander, sondern bilden entsprechend ihren Wahlverwandtschaften bestimmte Zustände. Und ebenso liegen die verschiedenen Zustände nicht beliebig nebeneinander, sondern sind entlang einer Knotenlinie geordnet. Es ist daher eine der gesuchten Eigenschaften des Substrats, dass es sich in dieser Weise ordnen lässt.

Mit Kontinuität, Beharrlichkeit und Ordnung geht Hegel auf Begriffe zurück, die bei Kant auf Präordnungen innerhalb des Realen bzw. des Mannigfaltigen zielen, auf die sich die Urteile beziehen können. Kant sprach von der »Epigenesis« und »Präformation« (KrV B 167 und KdU § 81).

Der Verstand kann nach Kant nur etwas im Realen und Mannigfaltigen erkennen, dessen Ordnung seiner eigenen Verfassung entspricht. Kant führt Prinzipien wie Kontinuität, Beharrlichkeit und Affinität daher doppelt ein: Zum einen als Präordnungen innerhalb des Realen und Mannigfaltigen, zum anderen als Prinzipien, wie die Vernunft die »Sphäre des Begriffs« bildet und nach welchen sie »dem Verstande sein Feld« bereitet (KrV, B 683 - 685). Er nennt im Einzelnen die Prinzipien der Gleichartigkeit, Varietät und Affinität (KrV B 685), Homogenität, Spezifikation und Kontinuität (KrV B 686), Mannigfaltigkeit, Verwandtschaft und Einheit (KrV B 690). Sie dienen der Vernunft als regulative Ideen und sind nicht Gegenstand des Verstandes, sondern die Prinzipien, die dem Verstand a priori vorausgehen. Der Verstand kann nur erkennen, was im Realen und Mannigfaltigen nach ähnlichen Prinzipien vor-geordnet ist.

Auf die gleiche Weise geht auch Hegel vor. Was Kant mit dem Realen meint, findet sich bei Hegel in der »Lehre vom Sein« wieder, die mit der Maßlogik und dort mit dem Begriff des Substrats abschließt. Unter diesem Aspekt kann das erste Buch der Wissenschaft der Logik so gelesen werden, dass es Schritt für Schritt schließlich zu den Prinzipien führt, mit denen Kant das Reale und Mannigfaltige bestimmt hat. Im abschließenden Teil will Hegel zeigen, wie dieser Begriff des Substrats aus sich heraus übergeht in die »Lehre vom Wesen« und im weiteren die »Lehre vom Begriff«. In diesen Lehren wird das Verhältnis vom Substrat und seinen Zuständen weiter ausgeführt. In der »Lehre vom Wesen« kehrt es wieder als Verhältnis der Substanz und ihrer Modi, in der »Lehre vom Begriff« wird die Logik der chemischen Sphäre im Kapitel über Chemismus neu aufgenommen.

Wird dies im Ganzen überschaut, dann ist die Logik der chemischen Sphäre nur ein Zustand einer tiefer liegenden Sache. Die Sache als Verhältnis von Substrat und Zuständen tritt ihrerseits in verschiedenen Zuständen auf. Der erste Zustand ist mit der Logik der chemischen Sphäre gemeint, die bei Hegel zur Lehre des Seins gehört und bei Kant als Eigenschaften des Realen und Mannigfaltigen entwickelt wird. Hier treten die Wahlverwandtschaften und Knotenlinien auf, die von der Wissenschaft der Chemie untersucht werden. Daher sind diese Beispiele für Hegel an dieser Stelle nicht einfach eine Illustration, sondern zeigen den Zustand an, in dem in dieser Lehre von Substrat und Zuständen gesprochen wird (Lehre vom Sein oder Realphilosophie, womit nicht ein bestimmtes Reales gemeint ist, sondern mit Kant die allgemeinen Prinzipien des Realen). Bereits anders verhält es sich mit der Substanz und ihren Modi, die Hegel in der Lehre vom Wesen ausführt. Und ein dritter Zustand wird erreicht, wenn in der Lehre von der Objektivität aus dem Substrat und seinen Zuständen das Medium mit seinen Krümmungen wird. Das soll an dieser Stelle nicht weiter ausgeführt werden (siehe zur Substanz und zum Medium). Es genügt der Hinweis, dass damit in einem übergeordneten Sinn die Logik der chemischen Sphäre ihrerseits zu einem Zustand eines Substrats wird, das sich in den verschiedenen Sphären des Seins, Wesens und Begriffs zeigen kann. Dieses übergeordnete Verhältnis von Substrat und Zuständen ist in meinem Verständnis die »Sache des Denkens« oder in Hegels Worten »die Sache an sich selbst, insofern sie ebensosehr der reine Gedanke ist« (HW 5.43). In diesem Sinn kann für Hegel das Denken selbst zur Sache des Denkens werden, wenn zwischen dem Denken und seinen verschiedenen Zuständen unterschieden wird. Hegel kann sich auf Aristoteles berufen, der ebenfalls den Begriff der Materie (hyle) so weit gefasst hat, dass auch eine Gedanken-Materie (hyle noete) darunter fiel. Siehe hierzu Lorenz Puntel Darstellung, Methode und Struktur und in Fortführung wie auch kritischer Auseinandersetzung Urs Richli Form und Inhalt in G.W.F. Hegels »Wissenschaft der Logik«. Es blieb Marx vorbehalten, hier die Sache wieder vom Kopf auf die Füße zu stellen, das heißt nicht die Materie als einen Zustand des Gedankens, sondern mit Aristoteles den Gedanken als einen Zustand der Materie anzusehen.

Abschließend sei eine These vertreten, wie sich für die hier genannte Ordnung eine mathematische Eigenschaft bestimmen lassen könnte. Sie muss Kontinuität und Beharrlichkeit enthalten und über sie hinausgehen. So wie die Kontinuität die Eigenschaft der reellen Zahlen und die Beharrlichkeit die Eigenschaft der Zeit ist, könnte dies die Analytizität sein. Sie stellt sicher, dass Funktionen aus konvergenten Potenzreihen gebildet werden können (Vorbild ist der Klang, der die Potenzreihe des Grundtons und seiner Obertöne ist), und sie sollte die Eigenschaft begründen, dass die für System-Veränderungen wesentlichen Erkenntnisse im Bereich der komplexen Zahlen liegen (das gilt sowohl für die Wärmeleitungs-Gleichung wie für die Schrödinger-Gleichung). Sie begründet, warum die im Hilbert-Raum dargestellten Eigenschaften nach dem Vorbild der Zerlegung der Farbe in ein Farbspektrum und eines Klangs in das Spektrum der Obertöne polarisiert werden können. Daraus ergibt sich die mit diesem Beitrag begründete, aber noch nicht konstruktiv nachgewiesene These:

Die Analytizität ist die spezifische innere Eigenschaft der chemischen Sphäre. In ihr sind Kontinuität und Beharrlichkeit aufgehoben. Sie kann philosophisch und mathematisch konstruiert und in naturwissenschaftlichen Experimenten überprüft und nachgewiesen werden. Die chemische Sphäre ist der Bereich, in dem die Analytizität gültig ist.

Diese Frage wird fortgeführt werden, wenn Hegels Ausführungen über den Chemismus in der Begriffslogik näher betrachtet werden. Als Ansatz kann bereits vorweggenommen werden, dass wesentlich für den Chemismus das Medium ist. Mit dem Verständnis der chemischen Sphäre wird die Einsicht vorbereitet, dass anders als in mechanischen Verhältnissen nicht von den voneinander isolierten Bausteinen (mathematisch gesprochen nicht von den einzelnen Zahlen oder Elementen der Geometrie wie Punkt und Strecke), sondern von dem Medium auszugehen ist, in dem sie sich befinden (mathematisch gesprochen der Strömung oder dem Raum). Mit der Analytizität könnte eine Eigenschaft gegeben sein, die das Medium bestimmt und nicht mehr nur wie die Kontinuität die Reihe der reellen Zahlen.

Anmerkung 1 (Idealismus-Vorwurf): Die von Hegel gebrauchten Ausdrücke »Materie, Sache« (HW 5.443) legen nahe, dass mit dem Substrat nicht nur Kontinuität und Beharrlichkeit gegeben sind, oder in anderer mathematischer Darstellung Analytizität, sondern auch ihre Materialität. Darauf weist Ruschig hin, wenn er die Vorgehensweise von Hegel mit der der Chemiker vergleicht. Sie stimmen für Ruschig darin überein, wenn sie von beobachtbaren Aussagen ausgehen und in ihnen Eigenschaften des zugrunde liegenden Materials erkennen.

»Die Vorgehensweise der Chemiker folgt derjenigen Hegels: zuerst ein Maßverhältnis (Äquivalentgewicht bzw. die aus diesem mittels einer Normierung resultierende Atommasse); dann das System von Maßverhältnissen (Periodensystem); daraus wird dessen Grundlage erschlossen, die Ordnungszahl. Diese ist nicht bloß regulatives Prinzip, sondern ihr liegt (Hegel: sie ist) ein materielles Substrat zugrunde (Protonen im Kern), welches in sich das Spezifikationsprinzip enthält (die Zahl dieser Protonen – eine Maßzahl, die für die qualitativ unterschiedenen Elemente jeweils spezifisch ist). Im Unterschied zu Hegel sagen aber die Chemiker: Die Ordnungszahl verweist auf (nicht: ist) die qualitative Voraussetzung des Periodensystems (die verschiedenen Elemente) und ist ein dieses spezifisch bestimmendes Maß. Jene qualitative Voraussetzung geht nicht auf in aus dem System von Maßverhältnissen zurückgekehrte (und begründete) Maßgrößen. Zudem bedarf der Moseleysche Nachweis, dass der Ordnungszahl ein 'materielles Substrat' korrespondiert, experimenteller Arbeit, in die über das bisherige System von Maßverhältnissen hinausgehende theoretische Voraussetzungen (Aufbau der Atome, Elektronenschalen) eingehen« (R, S. 230).

Ruschig hält Hegel vor, dass er nicht zwischen Sein und den sich darauf beziehenden (auf sie verweisenden) Aussagen unterscheidet. Dieser Eindruck kann entstehen, da Hegel ähnlich wie Kant nach den Ordnungen fragt, die in der Materie gegeben sein müssen, damit naturwissenschaftliche Erkenntnisse wie in der Chemie überhaupt erst möglich werden. Die von Hegel gewählte Darstellungsweise legt nahe, als könne Hegel direkt vom Substrat sprechen und nicht nur davon, wie es sich  zeigt.

Eine ähnliche Kritik trägt Ruschig bereits einleitend vor.

»Hegel erklärt das von ihm im und für den 'Fortgang' herbeizitierte Material zum lediglich illustrierenden Beispiel für eine im Begriff gegründete und auch unabhängig von den Beispielen zu konstruierende Entwicklung. ... Ohne die Beziehung auf das Material, d.i. für sich genommen, scheitern die Übergänge – die 'Entwicklung des Maßes' käme nicht vom Fleck. Jedoch 'gehen' Übergänge gerade mit dem von Hegel meist in die Anmerkungen verbannten Material, das also in Wahrheit konstitutiv für die 'Entwicklung des Maßes' ist« (R, S. 16).

Die Kritik enthält etwas Wahres. Hegel bedankt sich nicht klar genug für die Ergebnisse, von denen er ausgehen kann. Aber wenn er aus den chemischen Forschungen eine Logik der chemischen Sphäre entwickelt, geht er doch auch über sie hinaus, was Ruschig wiederum nach meinem Eindruck nicht ausreichend würdigt. Das kann mit dem Verhältnis von Tycho Brahe und Kepler verglichen werden. Brahe hat das astronomische Beobachtungsmaterial geliefert, ohne das Kepler seine Gesetze nicht hätte entdecken können. Aber diese Gesetze stehen auch nicht am Himmel geschrieben und können dort nicht wie Himmelsobjekte gesehen werden, sondern sie müssen durch eigenständige Arbeit aus ihnen gewonnen werden. Die Keplerschen Gesetze haben eine eigene Basis und sind im Prinzip auf eine unendliche Vielfalt von Welten anwendbar. Ähnlich konnte Hegel von den Beobachtungen der Chemiker ausgehen. Er hat in ihnen jedoch eine Logik erkannt, die den Chemikern noch verborgen bzw. unter ihnen umstritten war.

Anmerkung 2 (Engels): Ruschig sieht den Begriff der Materie fortgeführt bei Engels. Mit dem Begriff der Materie ist bei Hegel der dialektische Materialismus vorbereitet.

»Engels' Substrat, die Materie und ihre Bewegung, enthält demnach nicht zwei heterogene Prinzipien, nämlich Masse und Energie (wenn man es physikalisch formuliert), sondern es ist die Hegelsche 'in sich selbst continuierende Einheit', 'perennierendes Substrat', das 'an ihm selbst die Bestimmung seiender Unendlichkeit' hat« (R, S. 325 Fn. 4 mit Zitat HW 5.443).

Im Kapitel über das Maßlose will Hegel nicht mehr einzelne bestimmte Parameter τ betrachten, die sich ändern können, wie z.B. Masse und Energie, sondern die von Kant übernommenen gemeinsamen Prinzipien, die allen Knotenlinien zugrunde liegen. Mathematisch gesprochen geht es um Eigenschaften des Raums Symbol, der alle Knotenlinien enthält, und nicht um einzelne Parameter.

Allerdings besteht die Gefahr eines Missverständnisses, was mit Materie gemeint ist. (a) Materie kann zum einen die "anfassbare" Materie im Sinne der Naturwissenschaft und Technik bedeuten, woran ohne Zweifel Engels an der angesprochenen Stelle denkt. Wird näher ausgeführt, was mit Materie gemeint ist, dann werden bestimmte Eigenschaften genannt wie Ausgedehntheit oder Undurchdringlichkeit. (b) Hegel meint jedoch mit »Materie, Sache« übergreifend das Substrat, das allen Zuständen zugrundeliegt, also in heutiger Erkenntnis auch Quantenzahlen wie die Händigkeit oder den Spin, denen anders als der Undurchdringlichkeit oder der Ausgedehntheit kein eigenständiger materieller Träger referenziert werden kann (HW 5.443). Wenn er von Materie oder Sache spricht, ist damit noch allgemeiner gemeint, dass letzten Endes jede Sache des Denkens unter einem gewissen Aspekt zur chemischen Sphäre gehört, insofern nach ihren Maßen gefragt wird. Hegel nennt daher auch die Musik und den Staat als Beispiele. Es wird sich zeigen, dass auf ähnliche Weise die Logik und die Sprache selbstbezüglich zur »Sache« werden können. In logischen Schlussketten kann gefragt werden, wie eng verwandt zwei Aussagen sind, d.h. mit wie vielen Schritten sie auseinander entwickelt werden können (Komplexitätstheorie). In der Sprache werden semantische Netze untersucht, in denen die Worte einer Sprache angeordnet sind. Innerhalb eines Netzes können Worte nahe beieinander oder weit voneinander entfernt liegen. Diese Abstände können sich kontextbezogen ändern, wenn in manchen Situationen plötzlich Worte zusammen kommen, die sonst weit voneinander entfernt waren. Was in einer Situation als Sprachfehler gilt, kann in einer anderen Situation ein genialer Gedankenblitz sein. Auch in der Logik und der Sprache lässt sich daher eine Geometrie entwickeln mit Wahlverwandtschaften, Knotenlinien und Operationen entlang dieser Verknüpfungen. Das ist der Ansatz der Künstlichen Intelligenz.

Anmerkung 3 (Primzahlen): Ein Vorbild für die These der Analytizität ist die 1859 von Riemann aufgestellte Vermutung über die Primzahlverteilung. Die von ihm untersuchte Zeta-Funktion ist eine analytische Funktion im Bereich der komplexen Zahlen. Es wird vermutet, dass ihre Schnittpunkte mit der reellen Zahlenachse dort die Lage der Primzahlen bestimmt. Die Eigenschaften der Primzahlen werden damit von Riemann nicht mehr als arithmetische Eigenschaften innerhalb des Bereiches der natürlichen Zahlen untersucht, sondern in einer mindestens eindimensionalen Figur, die im umfassenden Raum der komplexen Zahlen zu suchen ist. Möglicherweise ist für eine Lösung noch weiter zu gehen und die Zeta-Funktion als Grundzustand einer komplexeren Verteilung zu verstehen, die erst im Zusammenklang mit ihren Obertönen verständlich wird.

Anmerkung 4 (Wittgenstein): Nach Hegel hat mit der Industrialisierung die Mechanik trotz der Erfolge der neueren Wissenschaften wie Chemie und Elektrodynamik einen unerwarteten Aufschwung genommen. Sie konnte daher überraschenderweise Ende des 19. Jahrhunderts nochmals zu einer Art Leitwissenschaft aufsteigen. Wittgensteins Philosophie zeigt die Faszination, die von dieser zweiten Blüte ausging. Er will im Tractatus logico-philosophicus die Logik ein letztes Mal auf die Mechanik zurückführen. Die Wahrheitsfunktion wird auf Elementarsätze angewendet. Die Frage nach den Eigenschaften des Raums, in dem sich die Elementarsätze befinden, wird noch nicht gestellt. Diese Frage entsteht erst mit einem Verständnis der chemischen Sphäre, wie es von Hegel begründet wurde.

»6 Die allgemeine Form der Wahrheitsfunktion ist [p, ξ, N(ξ)].
6.001 Dies sagt nichts anderes, als dass jeder Satz ein Resultat der successiven Anwendung der Operation N(ξ) auf die Elementarsätze ist. [...]
6.341 Die Mechanik bestimmt eine Form der Weltbeschreibung, indem sie sagt: Alle Sätze der Weltbeschreibung müssen aus einer Anzahl gegebener Sätze – den mechanischen Axiomen – auf eine gegebene Art und Weise erhalten werden. Hierdurch liefert sie die Bausteine zum Bau des wissenschaftlichen Gebäudes und sagt: Welches Gebäude immer du aufführen willst, jedes musst du irgendwie mit diesen und nur diesen Bausteinen zusammenbringen« (Wittgenstein, Tractatus logico-philosophicus).

Auflösung der chemischen Sphäre

So wie die mechanische Sphäre im Unbestimmten der schlechten Unendlichkeit ausläuft, die mit drei Pünktchen ›…‹, dem Unendlichkeitszeichen ∞ oder dem Übergang von ›n‹ zu ›n + 1‹ bezeichnet wird, löst sich die aus der mechanischen Sphäre hervorgegangene chemische Sphäre ihrerseits in Indifferenz und Neutralisierung auf, woraus die organische Sphäre hervorgeht.

Es ist die Kunst der Logik der chemischen Sphäre, Wahlverwandtschaften und ihre Knotenlinien in einer Weise zu verstehen, dass die aus ihnen hervorgehenden Indifferenzen sich im Innern in verschiedene Faktoren zerlegen lassen. Das stellt Hegel im abschließenden Kapitel über den »Übergang zum Wesen« genauer dar.

(1) Die Logik der chemischen Sphäre muss in einer Weise entfaltet werden, dass es im Ergebnis zu einer Auflösung kommt, die nicht bei einer Leeraussage wie ›0 ≡ 0‹ stehen bleibt, sondern eine Zerlegung in aussagekräftige, innere Faktoren ermöglicht.

(2) Die inneren Faktoren sind nach außen indifferent. Sie stehen im umgekehrten Verhältnis zueinander. Es muss möglich sein, sowohl diejenige Indifferenz zu finden, die sich nach innen in Faktoren zerlegen lässt, wie auch die Faktoren, die in ihrem wechselseitigen Ausgleich nach außen indifferent sind.

(3) Die inneren Faktoren sind Setzungen. Sie erscheinen nach außen indifferent und sind daher nicht direkt wahrnehmbar. Sie entsprechen insofern den von Kant eingeführten regulativen Ideen. Mit ihrer Hilfe lässt sich etwas verstehen, was für sich indifferent aussieht. Aber anders als bei Kant sind es nicht einfach Ideen, sondern einander gegenüberstehende Faktoren, die in einem Wechselverhältnis zueinander stehen. Das ist im einfachsten Beispiel das Wechselverhältnis von kinetischer und potentieller Energie am Pendel. Hegel interpretiert in diesem Sinn auch das 2. Keplersche Gesetz, das er als Wechselverhältnis von Geschwindigkeit der Planeten und ihrer Entfernung zur Sonne versteht. Die moderne Teilchenphysik arbeitet fast ausschließlich mit Setzungen dieser Art, wenn sie von Quarks oder von virtuellen Teilchen spricht, die nur als innere, nach außen einander ausgleichende Faktoren zu verstehen sind.

(4) Die zuvor betrachteten Zustände eines zugrundeliegenden Substrats erscheinen jetzt als Spezifikationen der inneren Faktoren. Je nach dem, in welchem Verhältnis die inneren Faktoren zueinander stehen, ergeben sich die verschiedenen Zustände.

Das erzeugt den Anschein, als sei die beobachtbare Realität das Ergebnis der nachträglich rein theoretisch gefundenen Spezifikation. Es kann so scheinen, dass die mit der nachträglichen Analyse gewonnenen inneren Faktoren eigenständige Subjekte innerhalb der Natur sind, die das Geschehen steuern. Einige Naturforscher sitzen nach Ruschig einem solchem Missverständnis auf und geraten damit in seiner Sicht in einen ähnlichen Idealismus wie Hegel. Viele Chemiker glaubten, dass die Schrödinger-Gleichung aus sich selbst heraus das Spezifikationsprinzip entwickelt, während sie nur eine Formel ist, um das in der Natur zu entdeckende Spezifikationsprinzip darzustellen. Ihnen gegenüber macht Ruschig zurecht geltend, dass die Gültigkeit und Nachweisbarkeit von Gleichungen dieser Art abhängig sind von den materiellen Prozessen, die mit ihnen beschrieben werden und bei deren Beobachtung sie sich überprüfen lassen.

»Substrat ist für sie (Chemiker des 20. Jahrhunderts, t.) die Energie. Die Lösung der Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffatom, welche Quantenzahlen, Eigenfunktionen und Energieniveaus ergibt, wird von ihnen fälschlich als Selbst-Spezifikation der Schrödinger-Gleichung interpretiert« (R, S. 230). »Systematisch stecken im Separationsansatz physikalische Voraussetzungen, die selbst nicht aus der Schrödinger-Gleichung folgen: Die Aufteilung in zeitabhängige und zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung wäre ohne die Existenz von in der Zeit stabilen Atomen bedeutungslos; die Einführung von Polarkoordinaten, ohne die die Differentialgleichung nicht lösbar ist, impliziert ein kugelsymmetrisches Feld; in den Hamilton-Operator geht das Coulomb-Anziehungsgesetz und damit die Konstellation Proton-Elektron ein« (R, S. 231).

Aber Ruschig scheint zu übersehen, dass es an diesem Punkt der naturwissenschaftlichen Entwicklung unvermeidlich ist, die chemische Sphäre aufzulösen und Lösungen zu setzen, die als innere Faktoren für sich anschaulich nicht nachweisbar sind, mit denen aber die in der chemischen Sphäre auftretenden Indifferenzpunkte und die aus ihnen hervorgehenden Zustände beschrieben werden können. Sie beschreiben im Prinzip eine unendliche Vielfalt von Lösungen. Das beobachtbare Material kann gedeutet werden, wenn zusätzlich bestimmte Randbedingungen erkannt und eingesetzt werden. Das gilt bereits für die Planetengesetze von Kepler. Diese Gesetze sind nicht am Himmel ablesbar. Sie gelten im Prinzip für unendlich viele mögliche Planetensysteme, und es müssen zusätzlich bestimmte Randbedingungen (wie die konkret zu messenden Daten unserer Sonne und ihrer Planeten) beobachtet und gemessen werden, um von den Keplerschen Gesetzen zu den Beobachtungsdaten zu gelangen, wie sie am Himmel gesehen werden können. Das gilt entsprechend auch für die Schrödinger- und die anderen übergreifenden Feldgleichungen.

Mit Hegel kann verstanden werden, an welchem Punkt der chemischen Sphäre Indifferenzen auftreten, die von Gleichungen dieser Art aufgelöst werden können.

Um dies zu erreichen, ist zweierlei notwendig. Das Beobachtungsmaterial muss in eine Gestalt gebracht werden, in der nicht nur Indifferenzen auftreten, sondern ihre inneren Faktoren erkennbar waren. Im Beispiel von Kepler war das das 1. Keplersche Gesetz, wonach sich die Planeten auf elliptischen Bahnen und nicht auf Kreisbahnen bewegen. Erst für elliptische Bahnen lassen sich die weiteren Keplerschen Gesetze formulieren. Und es müssen im weiteren diese Gesetze gefunden werden, im Beispiel von Kepler das 2. und 3. Keplersche Gesetze.

Daher kommt zu den bereits genannten Eigenschaften der Kontinuität, Beharrlichkeit und Affinität die Eigenschaft der  Auflösbarkeit  hinzu. Das ist im Ergebnis für mich die eigentlich spannende Frage, die sowohl eine philosophische wie eine mathematische Herausforderung ist. Der Mathematiker Evariste Galois (1811-1832) hat am Beispiel der offenen Fragen der griechischen und mittelalterlichen Mathematik zeigen können, dass bestimmte Aufgabenstellungen (wie die Quadrierung des Kreises) nur auflösbar sind, wenn sie bestimmte mathematische Eigenschaften erfüllen. Das sollte sich übertragen und anwenden lassen auf die Frage der Auflösbarkeit in der chemischen Sphäre. Für die Auflösbarkeit sollte wie für Kontinuität, Beharrlichkeit und Affinität gelten, dass sie sowohl innerhalb der Mannigfaltigkeit angelegt (präformiert) ist, wie auch zur Verfassung des Verstandes gehören muss, der eine Auflösung denken können muss. Im Einzelnen kommt Galois der hier genannten Fragestellung insofern nahe, als er Faktorgruppen betrachtet, die eine gewisse Analogie zu den hier genannten inneren Faktoren bilden könnten. Mit dieser Analogie könnte es möglich werden, für die Logik der chemischen Sphäre eine Formalisierung zu finden. Das würde bedeuten, aus den bei Galois angelegten Ideen einen eigenen Kalkül zu entwickeln, der auf ähnliche Weise über den Differentialkalkül hinausgeht, wie die chemische Sphäre über die mechanische Sphäre hinausgeht. Dann wäre positiv gezeigt, welchen Stellenwert der Differentialkalkül von Leibniz hat, wie er zur mechanischen Sphäre gehört und auf welche Weise er von einem weiter führenden Kalkül abgelöst werden kann. Erst damit wäre für mich der bei Hegel bereits implizit angelegte Gedankengang ausgeführt, der im ersten Band der Wissenschaft der Logik den Differentialkalkül innerhalb des Abschnitts über die Größe (Quantität) ausführt, über das der Abschnitt über das Maß hinausgeht und daher recht verstanden auch eine Aufhebung des Differentialkalküls erfordern und ermöglichen sollte.

Literatur

Peter William Atkins: Chemie des Wandels, Heidelberg u.a. 1993 [1991]

Wolfgang Bonsiepen: Die Begründung einer Naturphilosophie bei Kant, Schelling, Fries und Hegel, Frankfurt 1997

Michael Esfeld (Hg.): Philosophie der Physik, Berlin 2012

Georg Wilhelm Friedrich Hegel: Werke in 20 Bänden. Auf der Grundlage der Werke von 1832-1845 neu ediert. Red. E. Moldenhauer und K. M. Michel. Frankfurt/M. 1969-1971 (zitiert als HW)

Immanuel Kant: Kritik der reinen Vernunft (zitiert als KrV)

Immanuel Kant: Metaphysische Anfangsgründe der Naturwissenschaft (1786) (zitiert als MAN)
in: Akademie-Ausgabe, Bd. IV, Berlin 1911; Link Volltext

Martin Münch: Die Klaviersonaten und späten Préludes Alexander Skrjabins, Berlin 2004

Lorenz Bruno Puntel: Darstellung, Methode und Struktur, Bonn 1973

Urs Richli: Form und Inhalt in G.W.F. Hegels »Wissenschaft der Logik«, Wien, München 1982

Ulrich Ruschig 1997: Hegels Logik und die Chemie, Bonn 1997 (zitiert als R)

Ulrich Ruschig 2000: Die “Knotenlinie von Maaßverhältnißen” und materialistische Dialektik
in: Andreas Arndt, Christian Iber (Hg.): Hegels Seinslogik, Berlin 2000, S. 301-314

Ulrich Ruschig 2010: Randglossen zur "Bewegung des Begriffs"
in: Johann Kreuzer (Hg.): Hegels Aktualität, München 2010, S. 67-82; Link

Ulrich Ruschig 2012: Vom Sinn des Tones
in: Georg Mohr und Johann Kreuzer (Hg.): Vom Sinn des Hörens, Würzburg 2012, S. 109 - 126; Link

Ludwig Wittgenstein: Tractatus logico-philosophicus
in: Werke Band 1, Frankfurt am Main 1984; Link

2013-2014


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